加強尺規作圖　建立幾何直觀

趙桂芳

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）“幾何更強調直觀”，更加強調通過尺規作圖等幾何作圖活動過程來實現幾何概念的直觀建立。隨著新課標的修訂，各個版本的教材也將隨之進行相應的調整與優化，但無論怎樣變化，把握尺規作圖相關內容的相互聯系和內在邏輯，以及明確尺規作圖在建立幾何直觀、發展核心素養方面的意義和價值應該成為數學教師的專業要求。

一、直觀與幾何直觀

《辭海》的釋義：直觀即感性認識，其特點是生動性、具體性和直接性。《中國大百科全書》 “哲學卷”的釋義：直觀是通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認識。西方哲學家通常認為：直觀就是未經充分邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質的認識。我國當代著名數學家徐利治教授提出：“直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。”

新課標對幾何直觀行為特征的描述如下：幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣。能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類；根據語言的描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型；利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路。建立幾何直觀有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑。

華東師范大學鮑建生教授說：“幾何直觀不僅能為學生學習幾何知識、進行幾何探究與推理提供便利，而且也能為學生理解與洞察其他更為抽象的數學內容與結構搭建橋梁，幾何直觀是啟發問題解決思路的基本策略。”東北師范大學史寧中教授指出：“在思考問題時，我們往往通過畫幾何圖形來理解問題，啟發思路，得到結論，這是直觀的三個本質功能。只有利用圖形、圖形的關系、圖形的變化和運動的軌跡來實現直觀的三個本質功能，才是幾何直觀。”可見，幾何直觀有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑。

二、尺規作圖

尺規作圖是幾何作圖的重要內容，是指用無刻度直尺和圓規進行作圖。新課標“幾何更強調直觀”，更加強調通過尺規作圖等幾何作圖活動過程來實現幾何概念的直觀建立（明確“是否存在？”如“圓的切線”等概念的建立）；更加強調基本尺規作圖的理由（明確“為什么這樣做？”）；更加強調作圖背后的思考（明確“如何想到要這樣做？”）。以第四學段為例，新課標中尺規作圖相關內容的要求及變化如下。

【學段目標】通過尺規作圖等直觀操作的方法，理解平面圖形的性質與關系。

【內容要求】與《義務教育數學課程標準（2011年版）》相比，新課標將基本作圖“作一條線段等于已知線段”下移到第二學段（3～4年級）的“圖形的認識與測量部分”，這樣就共有4個基本作圖，即作一個角等于已知角，作一個角的平分線，作一條線段的垂直平分線，過一點作已知直線的垂線；5個三角形作圖，即已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形，已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形，已知一直角邊和斜邊作直角三角形。5個與圓有關的作圖，即過不在同一直線上的三點作圓，作三角形的外接圓、內切圓，作圓的內接正方形和內接正六邊形。同時，新增“過直線外一點作這條直線的平行線”和“*過圓外一點作圓的切線”兩個內容。

【學業要求】經歷尺規作圖的過程，增強動手能力，能想象出通過尺規作圖的操作所形成的圖形，理解尺規作圖的基本原理與方法，發展空間觀念和空間想象力。

【教學提示】新課標中指出：“圖形的性質”強調通過實驗探究、直觀發現、推理論證來研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實的基礎上，從基本事實出發推導圖形的幾何性質和定理，理解和掌握尺規作圖的基本原理和方法。

可見，新課標不僅把尺規作圖作為一種幾何任務，更重要的是將它作為一種感知幾何圖形、理解圖形性質、探究幾何規律的認知工具。

著名數學教育家傅種孫先生曾指出：“幾何之務，不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然？”具體到幾何作圖，達成上述“幾何之務”則要求不僅能做出符合某種條件的幾何圖形，還要知道它的作圖根據是什么，更要明白為什么會有如此限制以及如何想出怎么進行尺規作圖，最終領會作圖的內涵。

三、尺規作圖與幾何直觀

隨著新課標的修訂，各個版本的教材也將隨之進行相應的調整與優化，但無論怎樣變化，把握尺規作圖相關內容的相互聯系和內在邏輯，以及明確尺規作圖在建立幾何直觀、發展核心素養方面的意義和價值應該成為數學教師的專業要求。

（一）尺規作圖是實現圖形變化的科學手段，直觀且準確

如作一條線段等于已知線段或作一個角等于已知角，相當于把已知線段或已知角利用圖形變換移到到另外一個位置，使用圓規直尺可以非常精確地做出來，且大小不變，既直觀又準確，比起用量角器和刻度尺來做要容易得多，也更加清晰嚴密。

（二）尺規作圖是數學中反例說明的有效手段，直觀且簡潔

數學中說明一個命題是假命題的簡單且常用方法就是舉反例，而舉反例的最有力證據之一就是畫圖。如“SSA”不能作為兩個三角形全等的判定條件，若用尺規作圖進行處理，很容易構造反例，而且論證直觀，思路清晰，具有極強的說服力。

（三）尺規作圖是基于圖形感知的結論預判，直觀且精巧

史寧中教授說：“數學直觀是對數學對象和對象之間關系的一種直觀判斷。”有時候，一道題目我們要思考很長一段時間才能得出結論，而直觀則能幫助我們快速做出判斷。

例如，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，BC=7，則sin∠ABC的值為_____________。

很顯然，這個題目需要先畫圖再分析求解，而部分學生會畫出所謂的“草圖”，然后作出BC邊上的高，用勾股定理列方程求解（如圖1）。這樣做雖然答案不受影響，但解方程的計算量較大，也易使學生對知識理解不深入和機械套用模型。

事實上，由該題題干可知，已知三邊ΔABC是完全確定的，若用尺規作圖規范畫圖，ΔABC是鈍角三角形，而已知三邊時三角形的三條高均可求，但實際求解過程中計算量的大小會有差異，哪個高相對來說更好求呢？當然是希望出現特殊角，而此三角形中是否有特殊角呢？學生直觀感知就能發現：∠B和∠C不是特殊角。若考慮到∠BAC是特殊角，可嘗試作出AC邊上的高（如圖2），由此很容易求得AD=2.5，再用面積法，可輕松求得AH的值。這樣，問題便會輕松解決。教師若能引導學生進一步探究，可能還會有意想不到的收獲（如圖3）：有60°的外角時，補出等邊三角形，又能發現兩個特殊的三角形，即三邊都是整數且有1個角是特殊角的三角形。無論是求三角形的面積，還是求某個銳角的三角函數值，所作高不同，求解的難易度會有很大的差異。像這樣，教師應借助尺規作圖培養學生的幾何直觀，引導學生在猜想中嘗試，在嘗試中發現，在發現中積累。

（四）尺規作圖是學生實際執行的操作，直觀且深刻

華東師范大學鮑建生教授說：“尺規作圖等操作活動是一種手腦并用的活動方式，可以增強大腦中不同功能區域的聯系，有助于發展學生的幾何直觀。”新課標提倡“讓學生經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”。尺規作圖中學生思考、作圖、驗證的過程正是這樣的活動，讓學生直觀地感受、直觀地體驗。一方面，便于學生在體驗中明確何為尺規作圖及其相關要求；另一方面，便于學生在操作中領會尺規作圖背后的數學思考，如 “為什么要這樣作？”“怎樣想到要這樣作？”等，在積累尺規作圖基本經驗的同時發展了其幾何直觀。

四、尺規作圖的教學實施建議

從現行教材的尺規作圖教學實施情況來看，目前尺規作圖教學多數停留在“教師示范作法，學生模仿作圖”的實施水平，僅僅表現為一種工具使用的程序性知識的學習，教學缺乏單元整體的系統設計，活動缺乏數學思維的深度參與。這實際上是對尺規作圖教學水平要求的降低（缺乏道理的解析，更缺失作法的探析），更是對尺規作圖在幫助學生有效建立幾何直觀等數學核心素養育人價值上的弱化。

基于尺規作圖的教學現狀，教師有必要按照新課標的相關要求，進一步規范與加強尺規作圖的教學與研究，整體設計尺規作圖教學，深度挖掘尺規作圖中蘊含的思維營養，充分發揮尺規作圖在建立幾何直觀等數學核心素養方面的育人價值。

（一）基于單元整體目標，明確尺規作圖的地位與價值

尺規作圖教學是單元整體教學的重要環節，教師需要明確局部與整體之間的聯系，需要在單元整體目標的統攝下明確尺規作圖教學的地位和價值。

（二）規范作圖過程的實操示范，挖掘尺規作圖背后的數學思考

尺規作圖的教學具有“動手操作”和“動腦思考”兩重教學價值。從“動手操作”的教學價值看，尺規作圖屬于程序性知識的教學，需要學生明確操作規范和操作程序，即明確尺規作圖的要求、作法、步驟以及注意事項。從“動手思考”的教學價值看，教師要讓學生去想為什么要這么做，這是尺規作圖教學促進學生思維發展的關鍵環節。

（三）培養學生有效畫圖、用圖思考、依圖想象的習慣

在尺規作圖的教學過程中，數學邏輯和數學直觀相輔相成、交織關聯。在具體的教學中，建議教師通過課程中的尺規作圖教學，讓學生逐步積累用圖形理解數學概念、探尋解題思路等活動經驗；不斷增強幾何概念、幾何關系、幾何結論等的存在感，不斷明確尺規作圖與圖形判定（定義）內在的本質聯系，逐步養成畫圖、用圖的習慣，逐步建立幾何直觀，為學生核心素養的全面提升提供支撐。

（四）讓尺規作圖教學貫穿學生整個學習過程

尺規作圖不僅是一種畫圖操作，更是一種數學思維、數學探究的過程，是知法明理的追溯。在學生學習的各環節，教師要有針對性地設計相關作圖活動，通過尺規作圖讓知識有機融合，以學生的先行獨立嘗試開路，使其經歷合情推理到演繹推理的過程，這也是幾何直觀到幾何推理的過程。以下五點建議僅供參考。

1.以尺規作圖為載體，進行新知的探索

如圖4，探索全等三角形的判定定理，可以給定一個ΔABC，明確標注出該三角形的三條邊和三個角的大小，要求學生在旁邊復制一個ΔDEF，使得ΔDEF ≌ΔABC。

教師應關注：（1）學生會怎么操作？是否能體會到尺規作圖的簡潔方便？（2）學生作圖是否規范？作圖過程中是否能發現：復制該圖形不需要所有條件都用上；（3）學生會有什么猜想？是否會主動嘗試新的做法？（4）學生會有什么樣的驗證方法？疊合法外是否能合情推理？

2.以尺規作圖為抓手，加深對命題的理解

如圖5，“邊邊角”不能作為判定兩個三角形全等的條件，教材中是用木棒拼擺舉反例加以說明的，但教師的教學不該停留于此，應進一步引導學生反思：滿足“SSA”的兩個三角形是否有全等的情況？有哪些情形？這時尺規作圖的直觀性就能發揮最大效能。

如圖6，學生將木棒拼擺的圖形抽象出這個反例后，會主動去思考：只要讓圖6中的弧線與射線BC只有一個交點即可。在尺規作圖嘗試的過程中，學生會想到圖7、圖8和圖9的情況，并能進一步總結出：若“SSA”中已知角的對邊大于或等于已知的鄰邊，三角形能完全確定；若“SSA”中已知角的對邊小于已知的鄰邊，只有直角三角形時才能完全確定。到這里，學生的思考與總結已經非常到位。但為了進一步加深理解，針對圖7，教師可以繼續追問：什么情況下角的對邊一定大于其鄰邊？這時圖10和圖11兩個特例會很容易出現（其實圖11就是“HL”）。這樣，通過作圖及反思，學生能更為深入地理解新學習的知識，同時增強思維的全面性和深刻性。

3.以尺規作圖為媒介，促進思維的深入發展

幾何作圖的教學，若教師提出作圖的目標，引導學生會從不同的角度出發，選擇不同的方法、運用不同的定理解決問題，這樣會更具開放性，更能考查學生知識運用的能力。為此，教學中教師可適時設計相關幾何作圖題，力求讓學生在作圖的過程中靈活運用新知。

例如，中考真題：用直尺和圓規作△ABC，使BC = a，AC = b，∠B = 35°，若這樣的三角形只能作一個，則a，b間滿足的關系式是__________。

顯然，本題考查的是“SSA”的深入理解和靈活應用，若“滿足SSA的兩個三角形不一定全等”這個結論是學生經歷全面的探究發現并自我總結得出的，那么解答本題就不會出現大多數學生因考慮不全面而“丟解”的情況。相反，若學生當初的學習只是機械的記憶，這道題就會是超級拉分題。

如圖12所示，本題的答案是：b ≥ a或sin35°= [ba]。

4.以尺規作圖為牽動，促進知識的建構

應該說，尺規作圖教學活動安排的時間節點不同，學生的作圖思路和作圖方法也會不同，但一定是隨著知識的增加，學生的思維更靈活更發散。以“過直線外一點作這條直線的平行線”為例，教師可以從單元整體教學的理念出發，以問題解決為驅動，以知識的整合與延展為抓手，引導學生從不同的思考方向嘗試給出具體的尺規作圖操作，感悟尺規作圖的合理性及圖形的幾何特征，形成局部的演繹體系。

如圖13～圖15，學生直接從平行線的定義、性質、判定出發，自然聯想到構造“三線八角”的解題思路，并且思維能從角一般性（一般銳角）到特殊性（直角）合理展開，實現解決問題由通法到技巧的過渡。這種靈活運用圖形的性質讓數學作圖更加簡約的方式，培養學生優化意識的同時也讓學生感受到此類作圖依然是繼承了尺規作圖的道理，培養學生邏輯推理的同時發展學生的幾何直觀。

如圖16～圖21，會有部分學生思維更加靈活，從一個點通過聯想打通數學學習的各個知識板塊之間的關聯，進而產生更多的作圖方法。這種經歷“草圖—分析—驗證—反思”的自我探究和發現的過程，是發展學生幾何直觀的良好契機。

特別要指出的是，在探析做法的過程中，教師應強調一般化的思考方法，引導學生形成一般化的思維習慣，感悟尺規作圖的合理性及圖形的幾何特征，感悟尺規作圖的魅力在于它內隱的作圖道理——圖形性質的運用。

5.以尺規作圖為工具，彰顯學科的融合

幾何直觀的養成依賴于學生對數學對象本質的認識，依賴于學生數學活動的經驗。小到學習小組或班集體的徽標，大到奧運會或國際會議的徽標，教師都可以鼓勵學生積極參與設計。如在探究性作業、實踐性作業、長周期作業等中融入這種開放性的圖案設計活動，既是作圖技能的再次鞏固，作圖道理的再次理解，作法步驟的再次實踐；又是展現學生動手操作能力，發展學生應用意識與創新意識，促進學生思維發散及語言表達的最好載體；更是滲透數學文化，發現美與創作美，落實立德樹人根本任務的最好體現。

（責任編輯：楊強）