大概念引領下的數學原理課教學探究

劉鐵智 呂增鋒

【摘 要】從知識點教學走向學科大概念教學是解決數學原理課“沒什么好教”的有效途徑。大概念引領下的數學原理課教學策略是：首先，立足“是什么”的大概念，解讀數學原理的育人功能；其次，立足“如何學”的大概念，構建宏大的數學原理學習場景；最后，立足“學得怎么樣”的大概念，在遷移應用中獲得數學原理。

【關鍵詞】大概念；計數原理；數學原理教學；數學育人

根據教學內容把數學課堂教學進行分類，一般可以分為概念課、習題課、公式課、定理課、原理課等課型。相對于其他課型，純粹的數學原理課比較少，在高中數學中只有兩個基本計數原理、立體幾何的三個基本事實、充要條件等。此外，數學原理課內容往往比較簡單，就拿兩個基本計數原理來說，就是小學階段加法運算與乘法運算的簡單推廣，學生在理解上不會有太大難度，這也無形中讓教師產生“沒什么好教”的錯覺。因此，在數學原理課教學中，原理建構通常都被一帶而過，很多教師都把重心放在原理的應用上，通過大量的例題與習題進行鞏固提升，硬生生地把原理課上成了習題課，數學原理課應有的育人功能無法得到充分發揮。因此，筆者建議教師應從數學育人的角度重新審視數學原理課的教學策略。

一、大概念及大概念教學的內涵

大概念指的是反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它具有生活價值［1］，是居于學科基本結構的核心概念或若干居于課程核心位置的抽象概念整合相關知識、原理、技能、活動等課程內容要素，形成有關聯的課程內容組塊［2］。大概念的“大”不是指“龐大”，因此，不能以所包含的知識范圍的大小來判斷一個概念是否是大概念。這里的“大”指的是“核心”“高位”或“上位”，即學科領域中最精華、最有價值的核心內容，是力圖對學生的認知基礎進行集成與融合的概念，具有較強的遷移價值。比如，函數是刻畫客觀世界變化規律的重要模型；平面向量是溝通代數、三角、幾何的橋梁；解析幾何的核心是用代數方法解決幾何問題；等等。這些都可以稱為數學中的大概念。大概念能夠解釋較大范圍內的一系列相關現象、事實以及相互關系；能將較大范圍內分散的知識和事實聯結為有結構、有系統的整體；能作為一種解釋模型，賦予個別的、具體的事實以深層的意義。按照大概念的教學功能來分，可以被分為指向“學什么”“如何學”“學得怎么樣”的大概念。當然這些指向有的是明指，有的是暗指，比如，幾何學是認識現實世界的基石明指幾何學是基石，暗指幾何學在數學中的基石作用；又比如，用空間角來刻畫垂直關系明指空間角的重要作用，暗指證明垂直需要找到相應的空間角。

大概念教學則是以大概念為錨點組織教學的一種方式，其一般操作步驟如下。首先，用大概念統攝與組織教學內容，能夠使離散的事實、技能相互聯系、結構化，并被賦予一定意義。其次，大概念教學強調引導學生超越對知識和技能的學習，走向那些超越時空和情境所存在的、可遷移的觀點和思想［3］，從而促使深度學習的發生。最后，大概念教學有明晰的學習目標，有效的表現性任務，有利于學生自主、合作、探究學習，完成學習成果。在大概念教學中，教師要成為學科教學的專家，不僅要知道教什么，還要知道為什么而教；不僅要理解學生，也要理解設計，包括單元設計、活動設計、問題設計等，用自己豐富的專業知識引領學生像專家那樣思考，使學生也成為學習的專家。大概念教學結構、聯系、遷移的基本特征，使其可以直指數學原理的中樞，不僅可以讓學生更好地理解數學原理，而且有助于在原理教學中實現由知識教學向素養培育的跨越。下面筆者以“兩個基本計數原理”為例，談談大概念引領下的數學原理課教學。

二、大概念引領下的數學原理課教學

（一）立足“是什么”的大概念，解讀數學原理的育人功能

眾所周知，對教學內容的解讀是教學設計的基礎，解讀是否到位，不僅關系到能否真正發揮教材的作用，還會直接影響到課堂教學的質量。不同于一般的教學內容，數學原理往往具有內容的基礎性和運用的無意識性并存的特點，即數學原理本身簡單，學生平時也在運用，但這種運用是一種無意識的運用，學生不會把這種運用上升到數學原理的高度去理解。因此，在對數學原理的解讀中，不要局限于對零碎知識點的剖析，而是要立足“是什么”的大概念的前提下，在關注“四基”“四能”的同時，著重分析其潛在的育人功能，以育人功能來統領知識與方法，從而喚醒學生主動提煉數學原理、運用數學原理的意識。

常用的指向“是什么”的大概念有“數學是模型”“數學是工具”“數學是運算”“數學是推理”等。“兩個基本計數原理”是為“計數”服務的，分類計數原理解決問題是將一個復雜問題分解為若干類別，然后分類解決，各個擊破；分步計數原理是將一個復雜問題的解決過程分解為若干步驟，先對每個步驟進行細致分析，再整合為一個完整的過程。由此，可以得到計數原理“是什么”的大概念，即計數原理是實現科學計數的方法與策略。于是，在這個大概念的引領下再對教學內容進行解讀的話，本節課的核心內容及育人功能就很清晰，即“一個中心”“兩個原理”“三個關鍵”“四個素養”，如圖1，其中“四個素養”指的是育人功能。

圍繞“是什么”的大概念來進行教學分析，不僅可以明確數學原理的本質，而且還能解決數學原理解讀中存在的邏輯混亂、顧此失彼、視角單一等一系列問題，從而實現教學分析完整化、系統化。

（二）立足“如何學”的大概念，構建宏大的數學原理學習場景

不可否認，數學原理本身往往比較簡單，內容也比較單薄，但這并不意味著數學原理的教學就可以不用遵循意義建構的方法與原則，其教學過程就可以簡化為教師呈現原理，學生記憶原理與運用原理。事實上，數學原理的形成都需要經歷從具體到抽象的過程，要讓學生真正了解原理的來龍去脈，必須要依托數學大概念，因為數學大概念本身就是對課程標準、核心素養、教學重難點、評價標準等深度提煉的結果，其所展現出來的“如何學”的內涵可以有效調動學生學習的內在驅動力。

常用的指向“如何學”的大概念有“數學重在理解”“用聯系的觀點看數學”“數學要關注應用”“數學要凸顯文化價值”等。計數問題不僅與生活息息相關，而且歷史悠久。早在數字出現之前，古人就開始結繩計數，其原理是把繩結與要計數的對象對應起來，體現了數學的映射思想；隨著數字的發明，古希臘的數學家開始構形計數，用鵝卵石把數字按照一定形狀排列出來，就形成了所謂的形數，比如三角形數、四邊形數、五邊形數等，再通過圖形的幾何特征來計數，我國古代的垛積數采用的也是相同的方法；隨著運算的發展就進入了算法計數的時代，各種算法的出現加快了計數的效率。由此可見，盡管兩個基本計數原理只是加法運算與乘法運算的推廣，但其背后蘊含著豐富的數學文化。因此，計數是一種文化應該成為如何學習本節內容的大概念。在這個大概念的引領下，就可以構建生成“兩個基本計數原理”的三大學習場景，即生活中的計數、計數的歷史、計數的原理（如圖2所示），從而使本節課的學習成為一場數學文化的盛宴。

在“生活中的計數”場景中，教師可以設計以下問題引發學生對于生活中“計數”需求的思考。

問題1-1 我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成。第一部分為用漢字表示的省、自治區、直轄市簡稱和用英文字表示的發牌機關代號。第二部分為由阿拉伯數字和英文字母組成的序號，其中，序號的編碼規則為：

（1）由10個阿拉伯數字和除0之外的24個英文字母組成；

（2）最多只能有2個英文字母。

如果某地級市發牌機關采用5位序號編碼，那么這個發牌機關最多能發放多少張汽車號牌？

問題1-2 某運動會上，8名男運動員參加100米決賽，其中甲、乙、丙三人必須在1，2，3，4，5，6，7，8八條跑道的奇數號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有? ?種。

問題1-3 用0，1，2，3，4五個數字，

（1）可以排成多少個三位數字的電話號碼？

（2）可以排成多少個三位數？

（3）可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？

問題1-4 如果數量很少，可以一個一個的數；如果數量很多，還能一個一個地去數嗎？

在“計數的歷史”場景中，通過介紹繩結計數、構形計數、算法計數三種計數方法來呈現計數的歷史脈絡。其中，繩結計數是人類最原始、最簡單的計數方法，對應的計數原理就是逐個數，特點是操作簡單，但效率低；構形計數指的是通過把數字按照一定的規律排列成幾何圖形，再利用圖形的性質進行計數，古希臘的“形數”和我國古代的“垛積術”均屬于這類計數的范疇，其特點是化數為形，巧妙構造；算法計數借助比較成熟的運算法則與技巧進行計數，程序化、高效化是其最顯著的優點，尤其進入信息時代，算法計數成為發展趨勢，而本節課的兩個原理正是算法計數的理論基礎。

在“計數的原理”場景中，讓學生經歷原理的形成、原理的比較、原理的推廣、原理的應用的完整過程，在豐富的生活情境中，逐步領會分類標準不重不漏、分步標準步驟完整的計數精髓。

（三）立足“學得怎么樣”的大概念，在遷移應用中獲得數學原理

數學原理往往是在運用中被感知與發現的，兩個計數原理其實就是人們在解決計數問題中的經驗與方法的總結，而且遷移應用也是衡量“理解”的一個重要指標，即把所學的知識遷移到新的環境和挑戰中，而不僅僅是知識的回憶和再現。深入的理解是獲得數學原理的前提，為了加速這個過程，教師應圍繞“學得怎么樣”大概念設計相關的啟發性問題，比如，“是否可以利用大概念來解釋問題”“是否需要對大概念做進一步完善”“能否運用大概念進行創造性活動”等［4］，從而使學生在經歷從具體到抽象的歸納，再從抽象到具體的演繹過程中實現對數學原理的自然建構。

常用的指向“學得怎么樣”的大概念既包括“四基”“四能”“三會”，還包括學習數學所具備的思維品質，比如，敢于質疑、善于思考、實事求是的精神。例如，為了區分兩個計數原理的異同，可以圍繞“三會”這個大概念設計形同質異的問題。

問題2-1 如果用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字來給座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

問題2-2 某班級有男生30名，女生24名，現從中任選1名男生或女生代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？

問題3-1 如果要求座位編號是兩位編碼，第一位是英文字母，第二位是阿拉伯數字，共能編出多少種不同的座位編號？

問題3-2 某班級有男生30名，女生24名，現從中任選男生和女生各1名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？

通過比較分析兩組問題的“異”與“同”，不僅可以讓學生體會到現實計數中“差之毫厘謬以千里”的客觀事實，幫助學生樹立仔細審題的意識，而且有助于揭示計數原理中“分類”“分步”兩個本質屬性。

例如，為了構建原理應用的路徑，教師可以圍繞“四能”這個大概念設計能夠引發學生思考的表格（見表1）。

計數原理指向的是解決問題的策略與方法，表1為計數提供了一般的路徑，實現了計數問題的算法化，尤其是學生一開始對于計數問題不熟悉的時候，這張表格可以為學生提供思維指引，可以有效避免計數的重復與遺漏。

教學是一個復雜的系統工程，每個學期、每個單元、每節課既有各自目標，又相互影響、相互制約，它們之間構成一個有機整體。在教學設計時，教師須持有這種整體的理念來規劃教學［5］。大概念引領下的數學原理教學，可以將數學原理的本身、原理育人的功能、原理的構建等都納入數學教學的大系統中去考量，從而促使知識體系結構化、整體化，有助于發展學生的核心素養。

參考文獻：

［1］劉徽.“大概念”視角下的單元整體教學構型：兼論素養導向的課堂變革［J］.教育研究，2020（6）：64-77.

［2］呂立杰.大概念課程設計的內涵與實施［J］.教育研究，2020（10）：53-61.

［3］劉徽.大概念教學：讓教育新理念真正落地［J］.上海教育，2020（11）：1.

［4］何美婕，劉徽，蔣昕昀.大概念教學應用階段的教學設計［J］.上海教育，2020（11）：58-60.

［5］邵朝友，韓文杰，張雨強.試論以大觀念為中心的單元設計：基于兩種單元設計思路的考察［J］.全球教育展望，2019（6）：74-83.

（責任編輯：陸順演）