關于“滾動摩擦”若干問題的思考

余建剛

一、問題的提出

李政道博士在一次訪問中說：“求學問，先學問，只學答，不學問，非學問。”其義是“做學問先要學‘怎么問，如果在學校只學‘如何答，那不是做學問。”李政道回憶起自己在美國讀研究生時，其導師、著名物理學家費米每周都要花半天時間跟他討論，為的就是讓他學會獨立思考，自己找答案。有一次，費米問李政道太陽的中心溫度是多少。李政道答道，大概一千萬攝氏度吧。費米就問：“你有沒有自己演算過？”李政道說：“沒有，因為計算比較復雜。”費米告訴他，一定要經過自己的思考和計算，才能接受別人的結論。

眾所周知，滾動軸承廣泛應用于交通運輸以及機械制造工業等等，大大地減少摩擦力的影響。在高中階段的學生，尤其是物理尖子生，對“滾動摩擦”非常感興趣，但鑒于高中教材關于“滾動摩擦”的介紹篇幅太小，學生常會產生以下困惑。

（1）在無動力條件下，剛性圓柱（球）沿水平面做無滑滾動，為什么會越轉越慢，是克服摩擦力做功？

（2）自行車胎氣不足時，為什么踩起來會費力些，主要的影響因素是什么？

（3）“滾動”一定比“滑動”要省力嗎？

為回答此三問，筆者嘗試從學生視角出發，深入剖析問題，挖掘其物理本質，希望撥開云霧見“真知”。

二、“滾動摩擦”的模型構建

在無動力條件下，剛性圓柱（球）沿水平剛性面做無滑滾動，為什么會越轉越慢？對于這個問題，不少高中生感到困惑，其原因是模型構建出問題。多數高中生建立的模型受力分析如圖1所示，乍一看，似乎沒問題，剛性圓柱（球）在水平地面上受到重力，地面的支持力和摩擦力，方向均正確。但假如該同學受力分析正確，那么倘若以圓柱體的軸心為轉軸進行力矩分析，發現摩擦力產生的是動力矩（如圖1摩擦力矩為順時針方向），根據轉動定律M=fR=Ic β，得角加速度β>0，又β=，故得出結論剛性圓柱（球）繞軸轉動的角速度不斷增加。在無動力條件下，圓柱（球）越滾越快，這顯然是荒謬的，那么問題出在哪呢？

究其原因在于剛體只是一個理想模型，滾動物體和地面都不能是絕對的剛體，在真實情況中，滾動物體和水平面都可能發生形變，而滾動過程可能會導致支承面形變的不對稱。為了簡單，下面我們討論滾動物體為剛性、支承面發生微小形變的情況。

當放在支承面上的圓柱（球）靜止時，支承面由于受到圓柱（球）的壓力而形變，圓柱與平面的接觸處不再是一個點而變成一個圓弧面，支承面的變形是對稱的，如圖2（a）所示，剛性圓柱的接觸面受到圓弧面施加的力N，方向沿豎直向上，即為支持力;支持力N與重力G在同一豎直線上。即靜止時，支承面作用于剛性圓柱（球）的接觸面上的合力與重力二力平衡。

當圓柱（球）質心C以速度vc向前運動時，由于剛性圓柱向前滾動，支承面形變不對稱，接觸處前方的支撐面微小隆起，而使支撐面作用于物體的合彈力N的作用點從最低點向前移，即支承面形變不再對通過重心C的豎直線對稱。這種形變的差異其實非常微小，圖2（b）所示為“放大”后形變的圖，其“宏觀”形變類似在用搟面杖搟面片時看到的現象。這時，支承面對圓柱的作用力F的等效作用點也會向前移動，且作用力F的方向也不再沿豎直方向而向后傾斜。作用力F的豎直分量可以視為支持力N，水平分量可以視為靜摩擦力f。作用力F對質心形成逆時針的力矩，使圓柱（球）的角速度減小;水平分量靜摩擦力f使質心運動速度vc減小。角速度ω和質心速度vc同步減小，圓柱得以繼續保持無滑滾動，越滾越慢。

值得一提的，真實情況是可能地面和圓柱面都同時發生形變，或者某一種形變為主導作用，但共同特征都是支承面對圓柱（球）的作用點從最低點向前移，彈力N作用點前移，N與重力G不在一條直線上，形成了一個阻礙滾動的力偶矩，這就是實際情況下的滾動摩擦。從能量角度分析，圓柱（球）動能之所以減少并不是圓柱（球）克服靜摩擦做功，動能之所以耗散是圓柱（球）滾動過程向前擠壓接觸面時，介質的非彈性形變造成機械能的耗散。

三、“滾動摩擦”的定量分析

上文已回答了本文的第一個問題，第二個問題“當自行車胎氣不足，為什么踩起來很費力？”我們可以把這個問題簡化為使滾輪保持以一定角速度不變持續滾動所需外力大小問題，所需外力大則費力。