形式多樣的一次函數應用題

游淑溶

在中考試卷中，一次函數應用題的呈現方式是形式多樣的，下面舉例說明.

一、純文字的形式呈現

例1 （2022·四川·瀘州）某經銷商計劃購進A，B兩種農產品. 已知購進A種農產品2件，B種農產品3件，共需690元；購進A種農產品1件，B種農產品4件，共需720元.

（1）A，B兩種農產品每件的價格分別是多少元？

（2）該經銷商計劃用不超過5 400元購進A，B兩種農產品共40件，且A種農產品的件數不超過B種農產品的件數的3倍. 如果該經銷商將購進的農產品按照A種每件160元，B種每件200元的價格全部售出，那么購進A，B兩種農產品各多少件時獲利最多？

解析：（1）設B種農產品的價格為x元/件，則由“購進A種農產品1件，B種農產品4件，共需720元”可知A種農產品的價格為（720 - 4x）元/件，根據“購進A種農產品2件，B種農產品3件，共需690元”，列方程為2（720 - 4x） + 3x = 690，解得x = 150，則720 - 4x = 120. 即A，B兩種農產品每件的價格分別是120元和150元.

（2）設購進A種農產品m件，則購進B種農產品（40 - m）件. 若用5400元購進A，B兩種農產品共40件，則有120m + 150（40 - m） = 5 400，解得m = 20. 由“用不超過5400元購進A，B兩種農產品共40件”可得120m + 150（40 - m） < 5 400，∴m ≥ 20. 同理，由“A種農產品的件數不超過B種農產品的件數的3倍”，可知m ≤ 30，∴20 ≤ m ≤ 30. 設全部售出后獲利為w元，則w = （160 - 120）m + （200 - 150）（40 - m） = ?- 10m + 2 000. ∵ - 10 < 0，∴w隨m的增大而減小，∴當m = 20時，w取最大值，最大值為1 800元，此時40 - m = 20. 即購進A，B兩種農產品各20件時獲利最多.

二、文字加圖象的形式呈現

例2 （2022·浙江·麗水）因疫情防控需要，一輛貨車先從甲地出發運送防疫物資到乙地，稍后一輛轎車從甲地急送防疫專家到乙地. 已知甲、乙兩地的路程是330 km，貨車行駛時的速度是60 km/h. 兩車離甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數圖象如圖1. （1）求a的值；（2）求轎車離甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數表達式；（3）求轎車比貨車早多長時間到達乙地.

解析：（1）易知折線是貨車離甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數圖象，由圖象可知，貨車行駛90 km用了a h，而貨車行駛時的速度是60 km/h，因此a = 90 ÷ 60 = 1.5（h）.

（2）易知折線是轎車離甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數圖象，由圖象可知，轎車用（3 - 1.5）h走了150 km，因此轎車行駛時的速度是150 ÷ （3 - 1.5） = 100（km/h），轎車用（t - 1.5）h離甲地的路程為s km，所以轎車離甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數表達式為s = 100（t - 1.5），即s = 100 t - 150；

（3）由圖象可知，貨車在中途停了2 - 1.5 = 0.5（h），因此貨車從甲地行駛到乙地所需的時間為330 ÷ 60 + 0.5 = 6（h），而轎車從甲地行駛到乙地所需的時間為330 ÷ 100 = 3.3（h），則6 - （3.3 + 1.5） = 1.2（h），所以轎車比貨車早1.2 h到達乙地.

三、文字加表格的形式呈現

例3（2022·四川·南充）南充市被譽為“中國綢都”，本地某電商銷售真絲襯衣和真絲圍巾兩種產品，它們的進價和售價如下表. 用15 000元可購進真絲襯衣50件和真絲圍巾25件. （1）求真絲襯衫進價a的值. （2）若該電商計劃購進真絲襯衣和真絲圍巾兩種商品共300件，據市場銷售分析，真絲圍巾進貨件數不低于真絲襯衣件數的2倍. 如何進貨才能使本次銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

解析：（1）根據“用15 000元可購進真絲襯衣50件和真絲圍巾25件”可得方程：50a + 80 × 25 = 15 000，解得a = 260. 即真絲襯衫進價a的值為260.

（2）設購進真絲襯衣x件，則購進真絲圍巾（300 - x）件.

根據“真絲圍巾進貨件數不低于真絲襯衣件數的2倍”，則300 - x ≥ 2x.

∴當x ≤ 100時，真絲圍巾進貨件數不低于真絲襯衣件數的2倍.

設本次銷售獲得利潤為w元，則w = （300 - 260）x + （100 - 80）（300 - x） = 20x + 6 000. ∵20 > 0，∴w隨x的增大而增大，∴當x = 100時，w取最大值，最大值為8 000元，此時300 - x = 200.

因此，當購進真絲襯衣100件、真絲圍巾200件時，才能使本次銷售獲得的利潤最大，最大利潤是8 000元.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區城西實驗學校）