遇等腰需分類

劉頓

一、遇到邊，需分類

例1 （2021·青海）已知a，b是等腰三角形的兩邊長，且a，b滿足[2a-3b+5] + （2a + 3b - 13）2 = 0，則此等腰三角形的周長為（ ）.

A. 8 B. 6或8 C. 7 D. 7或8

解析：∵[2a-3b+5] + （2a ?+ ?3b - 13）2 = 0，∴[2a-3b+5=0，2a+3b-13=0，]解得[a=2，b=3.]

若以b為底，則三邊長為2，2，3；若以a為底，則三邊長為2，3，3.

∵2 + 2 > 3， 2 + 3 > 3， ∴等腰三角形的周長為7或8. 故選D.

二、遇到角，需分類

例2 （2021·黑龍江·牡丹江）過等腰三角形頂角的頂點的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的底角為 .

解析：①如圖1，在△ABC中，AC = BC，AD = CD，CD = BD，

∴AD = CD = BD. 設∠A = x°，易得x = 45，

則原等腰三角形的底角是45°.

②如圖2，在△ABC中，AB = AC，BD = AD，AC = CD，

∴∠B = ∠C = ∠BAD，∠CDA = ∠CAD.

∵∠CDA = 2∠B，∴∠CAB = 3∠B.

∵∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，∴5∠B = 180°，∴∠B = 36°，

∴原等腰三角形的底角為36°. 故應填45°或36°.

三、遇到高，需分類

例3 等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為50°，試求頂角的大小.

解析：△ABC是等腰三角形，且∠BAC為頂角，CD是腰AB上的高.

（1）當等腰三角形是銳角三角形時，如圖3，∠ACD = 50°，則∠BAC ?= 40°.

（2）當等腰三角形是鈍角三角形時，分兩種情形：

如圖4，當∠BCD = 50°時，∠B = 40°，∴∠BAC = 180° - 2∠B = 100°；

如圖5，當∠ACD = 50°時，∠CAD = 40°，∴∠BAC = 180° - ∠CAD = 140°.

故這個等腰三角形頂角的度數為100°或140°或40°.

四、遇到中線，需分類

例4 在△ABC中，AB = AC，AC上的中線BD把三角形的周長分為24 cm和30 cm兩個部分，求三角形的三邊長.

解析：設三角形的腰AB = AC = x，如圖6，

若AB + AD = 24 cm，則x + [12]x = 24，解得x = 16.

∵△ABC的周長為24 + 30 = 54 （cm），

∴三邊長分別為16 cm、16 cm、22 cm.

若AB + AD = 30 cm，則x + [12]x = 30，解得x = 20.

∵周長為24 + 30 = 54 （cm），∴三邊長分別為20 cm、20 cm、14 cm.

∵16 + 16 > 22，14 + 20 > 20，

∴三角形的三邊長分別是16 cm、16 cm、22 cm或20 cm、20 cm、14 cm.

五、遇到垂直平分線，需分類

例5 等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為40°，求此等腰三角形的頂角.

解析：當等腰三角形的頂角為銳角時，如圖7，

∵EF為AB的垂直平分線，∴∠AEF = 90°.

∵∠AFE = 40°，∴∠A = 50°.

當等腰三角形的頂角為鈍角時，如圖8，

∵EF為AB的垂直平分線，∴∠AEF = 90°.

∵∠AFE = 40°，∴∠EAF = 50°，

∴∠BAC = 180° - 50° = 130°.

綜上所述，此等腰三角形的頂角為50°或130°.

分層作業

難度系數：★★★★ 解題時間：8分鐘

在△ABC中，∠ACB = n°（0 < n < 180），點D，E在直線AB上，且AD = AC，BE = BC，試用含n的式子表示∠DCE的度數．