O2O教學背景下基于HPM的數學教學淺探

趙嘉璐 馬瑞華

摘? 要：文章以高等數學課程內容為例結合O2O教學背景，從數學學科歷史發展性、內容抽象性以及教學對象情志方面著手分析HPM與數學教育間的關系。HPM融入數學教學既符合生物發生學的歷史相似性，又賦予數學內容人文色彩，有利于促進個體學習積極性。O2O教學背景下的教學活動突破了時間空間限制，為數學史的融入提供了便利，提升了教學效率，為HPM融入數學教學活動提供了更加有效的渠道。

關鍵詞：HPM；O2O；核心素養；高等數學

中圖分類號：G640? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2022）29-0116-04

歷史的發展揭示了思想產生的源頭、引發深入研究的原因、對其他領域的影響。文化自歷史中辯證發展，以教育為主要手段與途徑進行傳承、延續。舒默在嵌入式信念系統模型中提道：文化背景一定程度影響個體知識學習信念［1］。當下社會中大量的知識文化信息影響個體，影響個體的認知、行為、價值觀的建立。現代社會教育是個體信息接觸的主要平臺，因此文化教育較大程度地影響了個體認知信念的建構。

現代數學因其歷史發展原因，使得人們對于數學的認知傾向于“天經地義”的、沒有“瑕疵”的真理，也因此學生更傾向于直接使用。然而不知知識產生原因，那么知識遷移便具有一定的局限性。數學知識的高度抽象性又使得數學晦澀難懂，學生便會產生畏難情緒，不愿深入思考，甚至直接不思考。以現實情況來看，大部分學生對于數學只是攝入式的獲取、拒絕思考，更不用說了解其前因后果以求擴展遷移面了，這也是致使大部分學生的應用能力有所欠缺、知識遷移能力較為局限的原因之一。但從數學發展歷史中可以窺知，數學的展開并不是邏輯的［2］，現在所使用的公式、定理有許多是數學家通過直覺、猜測、論證、運算得到的；也有一部分數學公式、定理是在歷史的漫長發展中經過反復推敲、修改甚至推翻重新構建而來的。從歷史角度來看，數學似乎也不那么“冷冰冰”“高高在上”了，抽象邏輯科學也變得具有“人情味兒”了。

曾經有位數學基礎相對扎實的學生問道：“為什么老師提出方法后很容易就能解決問題，而自己想破腦袋都不知道采用哪種方法呢？”事實上，正是前期缺乏歷史文化教育，使得學生并不清楚思想緣何而來、有何妙用，自然遷移應用能力就受到了限制。在高校數學常為公共必修基礎課程，因其作為眾多應用學科的基礎科目，為專業課學習奠基，數學遷移能力的限制會影響專業課程的學習，因此數學遷移能力的提高對大學生而言至關重要。

一、研究綜述

（一）HPM研究

HPM問題研究早在19世紀便已被歐美數學家以及教育家所關注，研究內容主要可分三大類：史料研究、關系研究與應用研究。數學史料研究，數學科學因其生于生活之經驗，自古時便已產生。公元前四百年左右，古希臘學者歐德莫斯（Eudemus of Rhodes）便開始研究數學史，并初具系統，如History of Arithmetic、History of Geometry等大多數是系統的數學史著作。除此之外對于數學史料研究多以古代數學史著作記載中的難題解決為主，如汪曉勤通過古希臘幾何難題中的問題挖掘史料（如梅內克繆斯螺線、埃拉托色尼滑動框數列問題）［3］。數學教育與數學史的雙向關系研究。早在十九世紀人們便在研究數學史過程中意識到數學史之于數學教育、數學教育之于數學史的價值。1855年，泰爾康創辦的數學史刊物中也發表了許多教育取向的數學史文章，如“Calculer”一詞的起源、伯努利家族的族譜等；美國數學家卡約黎的《美國數學的教學與歷史》《初等數學史及其教學啟示》等，對于數學史與教育之間的關系進行了論述，認為回顧歷史、名人軼事可以使問題求解與幾何證明不再枯燥，可以從情志上提高學生的積極性及學習興趣，使學生意識到數學是一門不斷進步的生動科學［3］。HPM的應用研究。如宋乃慶對HPM融入數學課程做了分析，認為HPM融入數學課程應確立價值、選擇內容、轉化形態、總結反思，并舉例說明，對數學課程中HPM的應用給出了指導性的理論基礎。

（二）O2O模式

隨著信息技術的發展與社會發展的需要，信息技術教學成為高校教學的基礎模式之一，其中O2O（Online To Offline）教學模式成果顯著，成為現代智慧教育應用較廣的信息化教學模式。O2O模式雖產于商業貿易，但其線上線下有機結合的特殊模式使得教學效果更加深化。高校數學課程普遍具有時間緊任務重的特點，而O2O模式則可有效解決這一問題。

事實上，O2O教育模式在我國已發展多年，隨著線上教育需求的增加，各方學者逐漸意識到O2O教育模式的可發展性，開始重視線上線下的融合教學。涂頻基于智慧背景對O2O教育模式進行分析探索，為后續實踐教學提供了方法基礎；韓淑珍、馬燕基于O2O模式在TPACK理念指導下構建了O2O微課課堂教學模式，為信息化教學提供新型教學方法等。

二、數學學科特性

（一）數學的歷史發展特性

邏輯思維總是借助于概念、判斷、推理進行思考的，而直覺思維則不受邏輯約束，對事物或現象本質直接進行領悟［4］。數學因其客觀規律性使得邏輯性成為該學科的基本特性，然而數學并非簡單的定理到定理，數學也具有直覺特性，邏輯通常是遲于直覺的，且邏輯體系的建立通常是不容易的。

整數的定義、分式的定義、幾何定義等等，相對于邏輯的理論到理論的推理，更偏向于現實經驗規律的總結，具有直覺思維特性；無理數、復數、符號代替系數、微積分的概念等等，均在直覺型概念提出后許久被提出，具有邏輯思維特性。

數學知識體系具有歷史發展一致性，總是以簡單的、可觀察的、可總結的經驗性知識為基礎，經由一定的判斷、推理、驗證形成更加復雜的概念、定理、公式等內容。在此過程中也不乏直覺猜想以縮小結論范圍，減小邏輯驗證工作量的操作，這也說明直覺比邏輯更有力量，不能輕易否定直覺的作用。

（二）數學的內容抽象特性

抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質性的特征，而舍棄其非本質特征的過程，最終以概念、判斷、推理等思維形式，反映事物的本質和規律的方法［5］。而數學普遍被定義為研究現實中數量關系和空間形式的科學，因此數學的研究對象是本不存在于現實世界的，由符號、方法、概念構成的抽象內容，而其金字塔型抽象結構使得數學具有高度抽象性。因而奠定了人們對數學的普遍認知——一門抽象學科。

數學的抽象主要有兩種形式：難以想象的、非現實體驗的。如圍棋競技，古語云：“千古無同局”，便是對圍棋布局種類數進行難以想象的抽象性描述。再比如歐幾里得空間Rn（n＞2）中，任意兩個有界集（有內點）可等度分解，就如一個豌豆切割為無窮多塊，按體積可重新組裝為太陽，即豌豆和太陽可以等度分解。

數學內容的抽象性是以可直觀體驗的、能想象的內容，逐漸剝離其現實性，抽象為符號、概念、定理的描述；由直覺的體驗、簡單的想象向非直觀的推理論證、難以想象的理論發展。在此過程中的邏輯思維方法是形成抽象理論的重要方式，因此直觀的總結性經驗向非直觀的邏輯理論建立是抽象性形成的必然過程，也與知識的歷史發展軌跡相統一，其抽象性的發展也具有一定的歷史發展特征。

三、HPM在數學教育中的應用

HPM（History and Pedagogy of Mathematics）是通過數學史料與數學教育及其關系，從而豐富數學教學方法及手段的研究［3］。數學知識內容較多，且多由具象簡單的內容逐步到抽象復雜的內容發展，體系較為復雜，多呈金字塔型。在認知學中普遍認為個體知識認同是在發展過程中實現高度聯系的。知識體系復雜性及高度關聯性是數學內容教學的主要特征之一，HPM將數學史與數學教育緊密聯系，從史學角度賦予數學教學以新生命，追溯問題本源同時通過記錄數學家在形成數學思想過程中所產生的影響，利用史料解釋數學的人性。數學史不僅僅是歷史，更是科學實驗的成敗史，在失敗與成功中必定能夠感悟真理，獲得思想上的發展，因此數學歷史文化學習的引入就顯得尤為重要。

生物發生學認為個體學習過程具有歷史相似性，即個體的成長過程要經歷種族成長的所有階段，順序相同，歷時不同［5］。在知識習得過程中，學生所遇到的難題往往也是知識創建者經過長期思索，克服困難后所得的。因此，數學歷史的了解能夠幫助學生更加深刻的理解數學緣起及數學思想，且數學知識發展的難易脈絡也會導致對應知識掌握難易程度。如原始時期計數以十根手指或腳趾為計數工具，今天計數系統中印度發明的十進制即是由此而來，如一百即十個十；現代原始部落中售賣物品要一個一個賣，“收入=單價×個數”的乘法運算卻會把他們搞糊涂，從而懷疑自己被騙。從這兩個例子中便很容易能看得出知識發展的復雜程度是有一定歷史軌跡的，數學知識的獲得過程也是遵循其歷史發生過程的，數學教學過程也應當依照數學知識發生過程進行，循序漸進，這樣才有助于學生數學知識域的形成。

數學史可以讓學生看到歷史先賢是如何有趣地取得舉世聞名的成就的，真實的數學創造史可以拉近學生與數學家的距離，讓學生理解數學的內容，了解數學的“人格魅力”。開普勒作為世界著名的數學家、天文學家，幼年喪父，不惑喪妻兒。但他卻將數學應用于挑選二次婚姻候選人，以滿足他的婚姻方程，他將適于成婚的女士素質列表評分，最終得分最高者卻出于感性拒絕了他，不得已與得分較少者成婚，在婚禮上因對婚宴供應酒商給出酒桶體積存疑，得出積分計算法，兩年后著述《測量酒桶體積新方法》，積分由此發展，但這樣的科學家也曾給出過行星模型這樣的謬誤模型。又如伽利略發現的擺運動科學定律，只因一次參觀時無聊便盯著擺動吊燈，發現吊燈擺動弧度大和小似乎所花時間是相等的，于是他便利用自己的脈搏核實推斷，最終通過實驗驗證了這一理論的準確性。數學知識與定理的獲取似乎也不總是嚴肅的，但卻總是嚴謹的，數學家并不總是正確的，但卻總是敢于嘗試的。因此在教學過程中對于抽象性較高內容，若了解其發生過程并非一帆風順的，則個體的畏難情緒可有效得到緩解，可培養學生迎難而上的鉆研精神。

四、基于HPM的數學教學案例

數學教學應遵從數學歷史發展脈絡這是毋庸置疑的，近現代以來的數學教材在編纂時容易忽視知識習得的歷史相似性。當下的數學課程教學時間緊任務重，因此有效的理解教學內容將達到事半功倍的效果。縱觀現代教育模式發展，社會發展總是影響著時下教育發展。

結合HPM的數學教學在豐富學生的歷史文化知識同時，在情感層面上也極大地降低了學生的畏難情緒，同時還會提高課堂的幽默性、趣味性，增加學生的學習熱情。而O2O教學突破時間空間限制，同時現代網絡這個世界最大的教學資源庫的使用也使得學生的信息收集與篩選能力得以鍛煉。現以完整的教學過程為載體，在不同階段適當組織HPM內容的融合設計教學案例，在此附上函數的極限內容以四個階段進行說明：

（一）課前預習

線上發布課程預習任務，明確學習目標，同時附加數學主題發展史料，通過分組討論完成預習任務。如函數極限問題，可引入“劉徽割圓”問題及“第二次數學危機”使學生對于極限產生直覺感知，便于理論知識的理解。

（二）課中講授

課堂上通過小組反饋預習成果，通過學生講述分享，了解極限的由來，其后，教師引導學生走向嚴謹的理論體系中去［6］。可采用順應式提出新的問題，如承接上述問題，可引出像素、分辨率問題，一幅圖像分成100、1000個小格子清晰度不同，并隨著格子個數增大而越清晰，圖像越接近于真實的圖像，從而引出共性問題的解決思路——極限思想，并入極限定義。而著名的柯西收斂準則即對極限進行了嚴格論證，從而建立極限理論，解決了“第二次數學危機”，此時提出柯西收斂準則讓學生對后續該理論的學習產生興趣。

（三）總結鞏固

總結理論知識，在此可通過重構歷史與數理邏輯序列，結合學生認知水平，通過應用練習鞏固知識。如結合時代背景研究流言傳播問題、市場經營穩定性問題等等。讓學生體會極限思想在現代社會背景下的應用與發展。

（四）課后應用

總結所學，自主選擇主題進行極限思想應用練習，比如連續復利問題、城市廢棄物管理問題等實際情境問題，培養學生發現問題的眼光、解決問題的能力。

參考文獻：

［1］ Schommer，M.. Explaining the Epistemological Belief System：Introducing the Embedded Systemic Model and Coordinated Research Approach［J］. Education Psychologist，2004（39）：19-29.

［2］ Kline，M.. Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times［J］. Nature，1979（04）：229.

［3］ 汪曉勤. HPM：數學史與數學教育［M］. 北京：科學出版社，2017.

［4］ 吳念陽，李艷，徐凝婷. 上下意象圖式向抽象概念映射的心理現實性研究［J］. 心理科學，2008，31（03）：4.

［5］ 高巍. 抽象危險犯的概念及正當性基礎［J］. 法律科學（西北政法學院學報），2007（01）：70-74.

［6］ 趙祥輝. 高校“以學生為中心”教學改革理念：意義、困境與出路［J］. 中國高等教育評論，2020，13（02）：54-65.

（薦稿人：高改良，廣東科技學院督導，教授）

（責任編輯：汪旦旦）