2022年新高考Ⅱ卷數學試題評析

羅文軍

摘? ?要：2022年新高考Ⅱ卷以《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂本）和《中國高考評價體系》為依據，著重考查了考生對高中數學必備知識、基本方法和基本技能的掌握情況，突出考查考生的獨立思考能力、閱讀理解能力、運算求解能力、邏輯思維能力、空間想象能力、數學建模能力、創新能力、分析問題和解決問題的能力。試題涉及的高中數學必備知識面廣，保持了2021年新高考Ⅱ卷突出對函數與導數、三角函數與解三角形、解析幾何、立體幾何、概率與統計和數列等高中數學主干知識重點考查的特色，彰顯基礎性、綜合性、創新性和選拔性，整套試卷落實了《中國高考評價體系》中的“一核、四層、四翼”的考查要求，落實了立德樹人的根本任務，有利于高校選拔優秀人才，對中學素質教育的實施具有積極的導向作用，對中學數學開展教育教學改革具有很好的促進作用。

關鍵詞：高考;評析;素養

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1009-010X（2022）26-0009-08

一、整體評價

2022年使用教育部考試院命制的新高考Ⅱ卷的省市有海南、遼寧和重慶。2022年新高考Ⅱ卷以《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂本）和《中國高考評價體系》為依據，著重考查了考生對高中數學必備知識、基本方法和基本技能的掌握情況，突出考查考生的獨立思考能力、閱讀理解能力、運算求解能力、邏輯思維能力、空間想象能力、數學建模能力、創新能力、分析問題和解決問題的能力。試題涉及的高中數學必備知識面廣，保持了2021年新高考Ⅱ卷突出對函數與導數、三角函數與解三角形、解析幾何、立體幾何、概率與統計和數列等高中數學主干知識重點考查的特色，彰顯基礎性、綜合性、創新性和選拔性，整套試卷落實了《中國高考評價體系》中的“一核、四層、四翼”的考查要求，落實了立德樹人的根本任務，有利于高校選拔優秀人才，對中學素質教育的實施具有積極的導向作用，對中學數學開展教育教學改革具有很好的促進作用。

二、數學卷試題布局及特征分析

從附表可以看出，2022年新高考Ⅱ卷共有8道單項選擇題、4道多項選擇題、4道填空題和6道解答題。選擇題第1、2、4、5、6、9、11題，填空題第13題，解答題第18題、第19題源于課本或者歷年高考真題，注重基礎，注重對基本方法的考查。第3題、7題、8題、9題、10題、12題、15題、16題、17題、18題、20題、21題、22題都考到了函數與方程思想。第3題、7題、10題、11題、15題、16題、20題和21題都考查了數形結合思想。第6題、7題、8題、9題、12題、15題、17題、18題、21題和22題都考查了化歸與轉化思想。第14題、17題、21題和22題都考查了分類討論思想。解答題的考查內容和順序有所調整，2021年新高考Ⅱ卷解答題的順序為第17題數列、18題解三角形、19題立體幾何、20題解析幾何、21題概率與統計、22題函數與導數，2022年新高考Ⅱ卷解答題的順序為第17題數列、18題解三角形、19題概率與統計、20題立體幾何、21題解析幾何、22題函數與導數，調整了立體幾何、解析幾何和概率與統計試題的順序。

三、部分試題賞析

例1（3題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構AA′、BB′、CC′、DD′，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1、CC1、BB1、AA1是舉，OD1、DC1、CB1、BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為■=0.5，■=k1，■=k2，■=k3，已知k1、k2、k3成公差為0.1的等差數列，且直線OA的斜率為0.725，則k3=（? ?）

A.0.75? ? ?B.0.8? ? ?C.0.85? ? ?D.0.9

解：由題設OD1=DC1=CB1=BA1=d，由題設CC1=k1DC1=k1d=（k3-0.2）d，BB1=k2CB1=（k3-0.1）d，AA1=k3BA1=k3d，又因為，

kOA=■

=■=0.725

解得k3=0.9，故選答案D.

【賞析】本題以中國古代建筑中的舉架結構為背景，以探索創新情境為載體，考查了等差數列的定義、直線斜率的定義和解直角三角形，考生在讀懂題目的基礎上，抓住題目中的關鍵信息，設這些相等的步的數值為d，再根據舉步之比把舉用步表示，運用等差數列的定義把k1和k2都用k3表示，再根據直線的斜率定義表示出直線OA的斜率，最后通過運算可以求出k3的值。本題以中國建筑藝術文化為情境，以舉架結構為載體，設計新穎，面向全體考生，重基礎、重創新、重生產和生活實際，考查了考生的直觀想象、數學運算、邏輯推理和數學建模的核心素養。試題的設計讓考生感受到我國古代建筑文化的博大精深，體會到中國古建筑的對稱美與和諧美以及其中蘊含的“注重現實和天人合一”的哲學思想。本題還可以引導考生通過了解中國古代建筑文化，體會數學知識方法在認識改造現實世界中的重要作用，體現了理性思維、數學文化的學科素養和數學的人文價值，落實了應用性和創新性的考查要求，落實了數學文化內涵的整體育人功能，落實了立德樹人的根本任務。

例2（7題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為3■和4■，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（? ?）

A.100π B.128π C.144π D.192π

解：由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為■=3，下底面所在平面截球所得圓的半徑為■=4，如圖3，

設球的半徑為R，則軸截面中由幾何知識可得■+■=1或■-■=1，解得R=5，所以該球的表面積為4πR2=4π×25=100π.

故選：A.

【賞析】試題以正三棱臺的外接球為背景，以課程學習情境為載體，棱臺的外接球問題在近五年的全國各省市高考題中均沒出現過，因此說本題背景具有一定的新穎性，需要考生將學過的處理棱錐的外接球的方法遷移過來，即將空間問題轉化為平面幾何問題，最后將幾何量集中在一個梯形中。本題考查了正弦定理、正三棱臺的幾何性質、球的幾何性質以及球的表面積公式，體現了高考試題注重在知識交匯處命題的特點，難度比較大。本題以課程學習情境為載體，對考生分析問題和解決問題的能力有比較高的要求，具有很好的區分度和選拔功能。

例3（8題）已知函數f（x）的定義域為R，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，則■f（k）

A.-3? ? ?B.-2? ? C.0? ? ?D.1

解：令y=1，則f（x+1）+f（x-1）=f（x），

即f（x+1）=f（x）-f（x-1），

f（x+2）=f（x-1）-f（x），

f（x+3）=f（x+2）-f（x+1），

f（x+3）=f（x），

則f（x+6）=-f（x+3）=f（x），f（x）的周期為6，

令x=1，y=0得f（1）+f（1）=f（1）×f（0），

解得f（0）=2，又f（x+1）=f（x）-f（x-1），

f（2）=f（1）-f（0）=-1，f（3）=f（2）-f（1）=-2，

f（4）=f（3）-f（2）=-1，f（5）=f（4）-f（3）=1，

f（6）=f（5）-f（4）=2，

■f（k）=1-1-2-1+1+2=0，

■f（k）3×0+f（19）+f（20）+f（21）+f（22）

=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=-3.故選：A.

【賞析】本題是一道抽象函數問題，以探索創新情境為載體，要求考生在讀懂題目的基礎上，通過推理論證得出函數f（x）的周期，計算出該抽象函數的部分函數值，從而得出解答.本題考查了考生的邏輯思維能力與運算求解能力，具有很好的區分度。

例4（10題）已知O為坐標原點，過拋物線C：y2=2px（p>0）焦點F的直線與C交于A、B兩點，其中A在第一象限，點M（p，0）.若AF=AM，則（? ）

A.直線AB的斜率為2■

B.OB=OF

C.AB>4OF

D.∠OAM+∠OBM<180°

解法1：如圖4，

∵F（■，0），M（p，0），且AF=AM，

由題設可得xA=■=■，

∴A（■，■），

由拋物線焦點弦的性質可得xA·xB=■，

則xB=■，則B（■，-■），

∴kAB=kAF=■2■，故A正確;

OB=■=■，

OF=■，OB≠OF，

故B錯誤;

AB=■+■+p=■>2p=4OF，

故C正確;

因為■（-■p，-■p），

■（■p，-■p），

■·■=-■+■>0

所以∠OAM為銳角，

■=（-■p，■p），

■=（■p-，■p），

■·■=-■+■>0

∠OAM，∠OBM均為銳角，

可得∠OAM+∠OBM<180°，故D正確.

故選：ACD.

解法2：同解法1可得，xA=■，

由拋物線焦半徑公式可得，

AF=xA+■=■+■=■，

由拋物線焦點弦性質，■+■=■，

可得■+■=■，

所以解得BF=■，

所以AB=AF+BF

=■+■=■，4OF=2p，

所以AB>4OF，

故答案C正確;

設直線AB的傾斜角為α，由題設0<α<■，由拋物線焦半徑公式可得

AF=■=■，

解得cosα=■，

所以k=tanα=■=■2■，

故答案A正確;

在△OBF，由余弦定理可得，

OB=■

=■≠OF，

故答案B錯誤;

在△OAF中，由余弦定理可得，

OA2=AF2+

OF2-2AFOFcos（π-α）=■，

在△BFM中，由余弦定理可得，

BM2=BF2+FM2-2BFFMcos（π-α）=■，

OA2+OB2-AB2

=■+■-■<0，

故∠AOB>■，

AM2+BM2-AB2

=■+■-■<0，

故∠AMB>■，

所以∠AOB+∠AMB>π，

所以∠OAM+∠OBM<π，

故答案D正確.

【賞析】試題考查了拋物線的焦點弦和焦半徑的性質，以課程學習情境為載體，考查了考生對直線與拋物線的通性通法的掌握情況;考查了數形結合思想及化歸與轉化思想;考查了運算求解能力、邏輯思維能力;考查了考生分析問題和解決問題的能力。拋物線的焦點弦問題在課本中有相關例子，本題立足于對基礎知識和基本方法的考查，注重對關鍵能力的考查，突出對數學運算、邏輯推理和直觀想象等數學核心素養的培養，試題解法多樣，有利于不同學習程度的考生作答，試題具有很好的區分度和選拔功能。

例5（14題）曲線y=lnx過坐標原點的兩條切線的方程為_____________，___________.

解：當x>0時，y=lnx，設切點坐標為（x0，lnx0），y′=■，切線的斜率k=■，切線方程為y-lnx0=■（x-x0），又切線過原點，-lnx0=-1，x0=e，切線方程為y-1=■（x-e），即x-ey=0，當x<0時，y=ln（-x），與y=lnx的圖像關于y軸對稱，切線方程也關于y軸對稱，切線方程為x+ey=0.綜上所述，曲線y=lnx經過坐標原點的兩條切線方程分別為x-ey=0，x+ey=0，故答案為：x-ey=0，x+ey=0.

【賞析】試題考查利用導數的幾何意義研究曲線的切線方程，以課程學習情境為載體，考查了分類討論思想、函數的對稱性、運算求解能力、邏輯推理和數學抽象的核心素養。試題設計了兩空，加大了試題的區分度，題目側重于對函數與導數知識的理解和應用，對中學數學函數與導數的教學具有積極的引導作用。

例6（17題）已知an是等差數列，bn是公比為2的等比數列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4.

（1）證明：a1=b1;

（2）求集合k∣bk=am+a1，1≦m≦500中元素的個數.

解：（1）證明：設等差數列an的公差為d，

an=a1+（n-1）d，bn=b1qn-1=2n-1b1，

由題設可得a1+d-2b1=a1+2d-4b1（i）a1+2d-4b1=8b1-a1-3d（ii），

由（i）可得，d=2b1，

代入（ii）可得a1+4b1-4b1=8b1-a1-6b1，

得a1=b1;

（2）由（1）知，d=2b1=2a1，

am=a1+（m-1）d=a1+（m-1）2a1=（2m-1）a1，

bk=2k-1b1=2k-1a1，因為bk=am+a1，

所以2k-1a1=（2m-1）a1+a1=2ma1，

即2k-1=2m，即m=2k-2，又1≦m≦500，

故1≦2k-1≦500，

又因為k∈N*，28=216，29=512，

所以1≦2k-2≦28，所以2≦k≦10，

故集合k∣bk=am+a1，1≦m≦500

=2，3，，4，5，6，7，8，9，10，

所以k∣bk=am+a1，1≦m≦500，中元素個數為9個.

【評析】本題以課程學習情境為載體，考查了等差數列的通項公式、等比數列的通項公式、集合以及指數函數的單調性。考查考生對數列、集合與函數等高中數學必備知識的掌握程度和靈活應用能力。本題體現了高考試題注重在知識交匯處命題的特點，考查了運算求解能力和邏輯思維能力，對高中數學數列部分的教學有積極的導向作用。

例7（19題）在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：

（1）估計該地區這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）;

（2）估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間[20，70）的概率;

（3）已知該地區這種疾病的患者的患病率為，該地區年齡位于區間[40，50）的人口占該地區總人口的16%.從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間[40，50），求此人患這種疾病的概率（以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001.）.

解：（1）由頻率分布直方圖得該地區這種疾病患者的平均年齡為：■=5×0.001×10+15×0.002×10+25×0.012×10+45×0.023×10+55×0.020×10+65×0.017×10+75×0.006×10+85×0.002×10=47.9歲.

（2）該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間【20，70）的頻率為：（0.012+0.017+0.023+0.020+0.017）×10=0.89，

∴估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間【20，70），的概率為0.89.

（3）設從該地區中任選一人，此人的年齡位于區間【40，50）為事件B，此人患這種疾病為事件C，則P（C∣B）=■=■≈0.0014.

【賞析】試題以某地區進行流行病學調查為背景，體現了命題以社會生活實踐情境為載體。第（1）問和第（2）問旨在考查考生對頻率分布直方圖的理解和掌握情況以及用樣本數字特征估計總體數字特征、用頻率估計概率的方法。第（3）問考查了條件概型的應用，著力考查了考生的閱讀理解能力、分析和處理數據的能力、運算求解能力;考查了數學運算、數據分析和數學建模的核心素養;考查了考生的數學應用意識。本題可以使考生體會到概率與統計知識在社會生活實踐中的應用價值，對概率與統計學的教學改革具有促進作用。

例8（21題）已知雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的右焦點為C（2，0），漸近線方程為y=±■x.

（1）求C的方程;

（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A、B兩點，點P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1>x2>0，y>0.過P且斜率為-■的直線與過Q且斜率為■的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①M在AB上;②PQ∥AB;③MA=MB.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

解：（1）由題意可得■=■，■=2，

解得a=1，b=■，

因此C的方程為■-y2=1，

（2）設直線PQ的方程為y=kx+b，（k≠0），將直線PQ的方程代入■-y2=1可得（3-k2）x-2kbx-b2-3=0，

∴x1+x2=■，x1x2=-■，

∴x1-x2=■

=■，

設點M的坐標為（xM，yM），

則yM-y1=■（xM-x1）yM-y2=■（xM-x2），

兩式相減可得y1-y2=2■xM-■（x1-x2），

∴y1-y2=k（x1-x2），

∴2■xM=■（x1+x2）+k（x1-x2），

解得xM=■，

兩式相減可得2yM-（y1+y2）=■（x1-x2），

∵y1+y2=k（x1+x2）+2b，

∴2yM=■（x1-x2）+k（x1+x2）+2b，

解得yM=■，

yM=■xM，其中k為直線PQ的斜率;

若選擇①②：設直線AB的方程為y=k（x-2），并設A的坐標為（x3，y3），B的坐標為（x4，y4），

則y3=k（x3-2）y3=■x3，

解得x3=■，y3=■，

同理可得x4=■，y4=■，

∴x3+x4=■，y3+y4=■，

此時點M的坐標滿足yM=k（xM-2）yM=■xM，

解得xM=■=■（x3+x4），

yM=■=■（y3+y4）

∴M為AB的中點，即MA=MB;

若選擇①③：

當直線AB的斜率不存在時，點M即為點F（2，0），此時不在直線y=■x上，矛盾，當直線AB的斜率存在時，設AB直線的方程為y=m（x-2）（m≠0），并設A的坐標為（x3，y3），B的坐標為（x4，y4），

則y3=m（x3-2）y3=■x3，

解得x3=■，y3=■

同理可得x4=■，y4=■，

此時xM=■（x3+x4）=■，

∴yM=■（y3+y4）=■，

由于點M同時在直線y=■x上，

故6m=■·2m2，解得k=m，

因此PQ∥AB.

若選擇②③：設直線AB的方程為y=k（x-2），并設A的坐標為（x3，y3），B的坐標為（x4，y4），

則y3=k（x3-2）y3=■x3，

解得x3=■，y3=■，

同理可得x4=■，y4=■，

設AB的中點C（xC，yC），

則xC=■（x3+x4）=■，

yC=■（y3+y4）=■，

由于MA=MB，故M在AB的垂直平分線上，即點M在直線y-yC=■（x-xC）上，

將該直線y=■x聯立，

解得xM=■=xC，yM=■=yC

即點M恰為AB中點，故點M在直線AB上.

【賞析】本題是一道結構不良試題，以探索創新情境為載體。這道題的模式是給出三個條件，讓考生選擇把其中兩個作為條件，另一個作為結論，并進行證明。本題考查了雙曲線的幾何性質、直線與雙曲線的位置關系;考查了設而不求思想、方程思想以及化歸與轉化思想;考查了運算求解能力和邏輯思維能力，具有很好的選拔功能，落實了服務選才的功能。