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引導(dǎo)探究,逐層深入

2022-05-30 15:21:55張玉娥范軍
關(guān)鍵詞:探究思維

張玉娥 范軍

[摘? 要] 數(shù)學(xué)實(shí)踐活動課通過精心設(shè)計(jì)問題,引導(dǎo)學(xué)生主動探究、逐層深入,在交流互動中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題,培養(yǎng)學(xué)生的“四能”,進(jìn)而提高他們的思維靈活性和深刻性.

[關(guān)鍵詞] 探究;四能;實(shí)踐活動;思維

教學(xué)背景

七年級數(shù)學(xué)題中經(jīng)常會碰到這樣一道題:一件商品成本m元,如果按成本增加12%定價(jià),商品的售價(jià)應(yīng)該是多少?現(xiàn)在由于活動促銷,按原價(jià)的75%出售,現(xiàn)在售價(jià)應(yīng)該是多少?每件商品的盈利是多少?以這樣的題目為基礎(chǔ),在考試和練習(xí)中還會出現(xiàn)變式訓(xùn)練題:一種商品,先提價(jià)15%,以后又降價(jià)15%,現(xiàn)在的價(jià)格與原來商品的價(jià)格發(fā)生了怎樣的變化?由于初中生的生活經(jīng)驗(yàn)不足,故對于成人理解比較容易的利潤率,他們反而較難理解. 即使在講解時(shí)教師明確了如何進(jìn)行計(jì)算,學(xué)生還是覺得模糊不清,難以明晰.

鑒于上述情況,當(dāng)時(shí)學(xué)生所接觸到的有關(guān)數(shù)的計(jì)算還較少,所以筆者對這個(gè)問題并沒有深究. 在學(xué)生學(xué)習(xí)了分式計(jì)算后,筆者決定開展一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動課,來解決這道當(dāng)時(shí)困擾他們的疑難問題,幫助他們提高分析問題和解決問題的能力.

指導(dǎo)思想

教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念,以學(xué)生為主體,關(guān)注全體學(xué)生的發(fā)展,引導(dǎo)學(xué)生主動參與,積極交流合作. 在教學(xué)中通過開展教學(xué)互動,引領(lǐng)學(xué)生體會活動過程,積累活動經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)表達(dá)能力,增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心.

設(shè)計(jì)思路

通過開展數(shù)學(xué)活動,設(shè)計(jì)問題,引導(dǎo)學(xué)生針對問題進(jìn)行探究,從發(fā)現(xiàn)問題到提出問題,從分析問題到解決問題,最后交流體會,反復(fù)經(jīng)歷思維活動過程. 在相互交流中,學(xué)生加強(qiáng)課堂互動,吸取學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),不斷提升自己運(yùn)用知識解決問題的能力.

教學(xué)過程

師:同學(xué)們,我們看一下這道題目,你還知道它的答案嗎?

問題1:一種商品,先提價(jià)15%,以后又降價(jià)15%,現(xiàn)在的價(jià)格與原來商品的價(jià)格發(fā)生了怎樣的變化?

生1:價(jià)格不變.

生2:不對,價(jià)格下降了.

學(xué)生爭論不休,沒有肯定的答案.

生3:老師,我可以這樣計(jì)算,設(shè)原來的價(jià)格為a,則現(xiàn)在的價(jià)格為a(1+15%)(1-15%)=0.9775a

師:很好,那么我把這道題目變一下,大家看看答案又是什么?

問題2:一種商品,先降價(jià)15%,以后又提價(jià)15%,現(xiàn)在的價(jià)格與原來商品的價(jià)格發(fā)生了怎樣的變化?

生1:肯定是提高了.

(不一定吧,也許是不變,學(xué)生竊竊私語,有的學(xué)生開始安靜下來進(jìn)行列式計(jì)算. )

生4:老師,我列出了式子,a(1-15%)(1+15%)=0.9775a

師:剛才兩個(gè)問題讓我們知道所有的數(shù)學(xué)問題不能想當(dāng)然解決,應(yīng)該通過計(jì)算,用數(shù)據(jù)說話. 為什么剛才兩種情況都是降價(jià)呢?請大家討論,注意用數(shù)據(jù)說話,可以舉例說明.

第一小組:我們組列舉了一個(gè)特殊值,假設(shè)商品原價(jià)是100元,第一種是先提價(jià),商品價(jià)格變?yōu)?15元,接著在115元的基礎(chǔ)上降價(jià),降價(jià)比提價(jià)要多,所以最終商品價(jià)格下降了. 第二種是先降價(jià),商品價(jià)格變?yōu)?5元,接著在85元的基礎(chǔ)上提價(jià),提的價(jià)比降的價(jià)少,所以最終價(jià)格也是降低了.

(聽完第一組的匯報(bào),學(xué)生又開始討論,第二組率先舉手. )

第二小組:我們組沒用取特殊值,假設(shè)商品原價(jià)是a元. 先降價(jià),下降了a的15%,降得多,價(jià)格變?yōu)?.85a;再提價(jià),價(jià)格提高了一個(gè)較小數(shù)的15%,提得少,因此價(jià)格比原來降低了.

師:很好!我們可以看到不管是先提后降還是先降后提,只要提和降的百分率相同,價(jià)格都會比原價(jià)低,但是問題1和問題2最終的價(jià)格一樣嗎?

生4:價(jià)格一樣,因?yàn)榱械膬蓚€(gè)式子按照乘法交換律是相等的,所以結(jié)果自然相等.

師:是的,如果提價(jià)和降價(jià)的百分率變了,會影響比較的結(jié)果嗎?

問題3:如果提價(jià)和降價(jià)的百分率都為10%,大家覺得結(jié)果是什么呢?

(學(xué)生不再脫口而出,開始低頭計(jì)算. )

生5:結(jié)果還是比原價(jià)低,a(1+10%)(1-10%)=a(1-10%)(1+10%)=0.99a

師:從這里我們可以看到不管是先提價(jià)還是先降價(jià),只要提價(jià)和降價(jià)的百分率相同,總價(jià)都會比原價(jià)低,而且提價(jià)和降價(jià)的百分率越高,與原價(jià)的差距越大. 讓我們好奇的是最終的價(jià)格和百分率有什么關(guān)系呢?請大家討論一下.

生6:我們可以利用平方差公式發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系,當(dāng)百分率為10%時(shí),最終價(jià)格是a(1+10%)(1-10%)=a(1+0.1)·(1-0.1)=a(1-0.12)=a(1-0.01)=0.99a;當(dāng)百分率為15%時(shí),最終價(jià)格為a(1+15%)(1-15%)=a(1+0.15)(1-0.15)=a(1-0.152)=0.9775a

師:非常好,如果我們把百分率用x來表示,你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎?

生6:應(yīng)該可以這樣表示a(1+x)(1-x)=a(1-x2).

師:好的,現(xiàn)在對于降價(jià)和提價(jià)百分率一樣的情況,我們已經(jīng)很清楚了,價(jià)格都會比原價(jià)低. 如果想讓變化后的價(jià)格和原價(jià)一樣,百分率就不能一樣,那么提價(jià)和降價(jià)的百分率之間應(yīng)該是什么關(guān)系呢?

問題4:一種商品,先提價(jià)25%,再降價(jià)20%,現(xiàn)在的價(jià)格與原來的價(jià)格發(fā)生了怎樣的變化?

(學(xué)生討論之后,在黑板上進(jìn)行展示. )

生7:我們把原價(jià)看成1,變價(jià)后的價(jià)格可以表示為1×(1+25%)(1-20%)=1×1.25×0.8=1,所以價(jià)格和原來是一樣的.

師:怎么樣才能使價(jià)格不變,大家發(fā)現(xiàn)其中的秘密了嗎?

生8:我知道了,一開始提價(jià)之后,價(jià)格變高了,再降價(jià)的百分率就要少一些,這樣價(jià)格就不會改變.

生9:我發(fā)現(xiàn)(1+25%)(1-20%)=1.25×0.8=1,所以價(jià)格是不變的.

師:大家的觀察都很仔細(xì),想保持原價(jià),在先提后降時(shí),降價(jià)的百分率要比提價(jià)的百分率小. 如果先降后提,想保持原價(jià),那么百分率又是什么關(guān)系呢?

(馬上就有學(xué)生舉手回答. )

生10:先降后提,因?yàn)橐婚_始價(jià)格降低了,所以在提價(jià)時(shí)百分率只有高一點(diǎn),才能保持原價(jià).

生11:我們從數(shù)據(jù)計(jì)算也可以這樣看,(1+25%)(1-20%)=(1-20%)(1+25%)=1,通過乘法交換律發(fā)現(xiàn)結(jié)果不變,我們也可以理解為先降價(jià)20%,再提價(jià)25%,這樣結(jié)果不變,回到原價(jià).

師:這樣看來,只要保持降價(jià)百分率比提價(jià)百分率低,就能保持原價(jià)不變. 至于是先降價(jià)還是先提價(jià),其實(shí)都沒有關(guān)系.

(學(xué)生一致表示同意. )

師:我們還需要考慮一種情況,只知道一個(gè)百分率,但是又要保持價(jià)格不變,怎樣才能很快算出另一個(gè)百分率呢?有沒有一個(gè)公式可以直接套用呢?

問題5:一個(gè)商品,如果先提價(jià)百分率為x,再降價(jià)百分率為y,要想保持價(jià)格不變,兩個(gè)百分率之間應(yīng)該是什么關(guān)系?

(學(xué)生經(jīng)過較長時(shí)間的討論,最后選出幾位代表發(fā)言. )

生10:我們仿照問題4可以這樣列出一個(gè)算式:(1+x)(1-y)=1,因此1-y=,通過化簡可以得出y=.

師:太厲害了,這個(gè)算式可以在我們知道提價(jià)百分率的情況下,輕松算出降價(jià)的百分率. 如果我們知道的是降價(jià)百分率,需要去算提價(jià)百分率,這時(shí)該如何操作呢?

生9:老師,這非常簡單,我們同樣可以利用上面的算式進(jìn)行化簡計(jì)算,x=.

生8:這些式子太麻煩了,我們也記不住,我覺得不如這樣統(tǒng)一,x-y=xy. 也就是說提價(jià)百分率比降價(jià)百分率要高出兩個(gè)百分率的乘積.

(這些算式還是太復(fù)雜了. )

生12:老師,上面的計(jì)算結(jié)果雖然是對的,但是過程太麻煩了,有沒有更加簡單的方法呢?

師:我們一起看黑板,還是按照單價(jià)1進(jìn)行計(jì)算,如果說一種商品提價(jià)25%之后,需要降價(jià)多少百分率才能跟原價(jià)一樣呢?首先提價(jià)后的價(jià)格為1×(1+25%)=,要想回到原價(jià),需要乘以它的倒數(shù),也就是1-,相當(dāng)于降價(jià)了20%. 我們也可以換個(gè)數(shù)據(jù)試一下,假如降價(jià)25%,要提價(jià)多少,才能回到原價(jià)?降價(jià)后的價(jià)格為1×(1-25%)=,恢復(fù)到原價(jià)也就是乘以它的倒數(shù),也就是1+. 通過這兩個(gè)舉例,你們發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎?你能用字母表示這種關(guān)系嗎?

生13:我們可以用字母這樣表示,假如提價(jià),那么就要降價(jià),如果降價(jià),則應(yīng)該提價(jià).

師:很好. 我們檢驗(yàn)一下能不能用它解決具體的問題呢?

問題6:一種商品,提價(jià)了10%,現(xiàn)在活動結(jié)束恢復(fù)原價(jià),應(yīng)該降價(jià)多少百分比?(精確到0.1%)

(學(xué)生思考后紛紛得出答案9.1%.)

師:這節(jié)課就上到這里,大家覺得自己探究出來的結(jié)論是不是印象特別深. 各位同學(xué)的表現(xiàn)都非常棒,積極參與討論,踴躍思考. 希望大家能記住這種探究方法,在以后的學(xué)習(xí)中也能積極主動地參與探討.

教學(xué)反思

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,教師的教學(xué)應(yīng)圍繞學(xué)生的具體學(xué)情來展開. 在本課中,教師通過設(shè)計(jì)一組問題,引導(dǎo)學(xué)生主動探究,充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性,展開師生互動或生生互動. 在交流互動中,學(xué)生展現(xiàn)了從發(fā)現(xiàn)問題到提出問題,從分析問題到解決問題的能力,與新課標(biāo)的要求是不謀而合的,這也是我們想要取得的教學(xué)效果.

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