勾股定理的史與今

王雪潔

勾股定理的歷史可分為三個(gè)部分：發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)、發(fā)現(xiàn)直角三角形中邊長(zhǎng)的關(guān)系、勾股定理的證明. 至今，勾股定理約有500種證法. 與勾股定理相關(guān)的知識(shí)常見(jiàn)于中考試卷中.

一、勾股數(shù)

數(shù)學(xué)史話：勾股數(shù)的發(fā)現(xiàn)時(shí)間較早，在中國(guó)的《周髀算經(jīng)》、古埃及的“紙草書(shū)”中都記述了3，4，5這組勾股數(shù)，而巴比倫泥板上最大的一組勾股數(shù)是13 500，12 709，18 541.

記憶技巧：勾股數(shù)的正整數(shù)倍也是勾股數(shù). 以奇數(shù)開(kāi)頭的勾股數(shù)，第一個(gè)數(shù)的平方等于后兩個(gè)連續(xù)數(shù)之和，如52 = 12 + 13.

中考面孔：考查勾股數(shù)的各種變形.

二、發(fā)現(xiàn)直角三角形中邊長(zhǎng)的關(guān)系a2 + b2 = c2及應(yīng)用

數(shù)學(xué)史話：有一次，畢達(dá)哥拉斯去吃大餐，餐廳地面上密鋪著正方形的大理石地磚. 大餐遲遲不上桌，他就拿起畫(huà)筆，蹲在地上，選一塊地磚，以其對(duì)角線為邊畫(huà)了一個(gè)正方形，發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形的面積恰好等于兩塊地磚的面積和. 他很好奇，于是又以兩塊地磚拼成的矩形的對(duì)角線為邊作另一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形的面積等于5塊地磚的面積，也就是以兩條邊分別為邊所作的正方形面積之和. 至此，畢達(dá)哥拉斯做出假設(shè)： 任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊的平方和.

中考面孔：求最短距離，運(yùn)用“將軍飲馬模型”，在網(wǎng)格中求線段長(zhǎng)，解直角三角形，這些題型都會(huì)用到勾股定理.

三、勾股定理的證明

數(shù)學(xué)史話：東漢末至三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅圖，利用數(shù)形結(jié)合法證明了勾股定理. 這幅圖被稱為“趙爽弦圖”. 如圖2，以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的. 每個(gè)直角三角形的面積為[ab2];中間的小正方形邊長(zhǎng)為b - a，則面積為（b - a）2. 利用同一個(gè)圖形的面積的不同表達(dá)形式，可得4 × [ab2] + （b - a）2 = c2，則a2 + b2 = c2.

中考面孔：以趙爽弦圖為基礎(chǔ)衍生出來(lái)的“一線三直角”模型，體現(xiàn)了“化斜為直”的數(shù)學(xué)思想. 在平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)中，應(yīng)用十分廣泛.

勾股定理在各國(guó)有著不同的名稱，我國(guó)以邊為名，直擊數(shù)學(xué)本質(zhì). 這種真理至上的思考方式正是數(shù)學(xué)的魅力所在. 愿同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，能夠仔細(xì)體會(huì)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)之美、創(chuàng)意之美、探索之美！

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★解題時(shí)間：2分鐘

1. 勾股數(shù)填空： 5，，13;7，24，;10，24，;11，，.

2. 判斷對(duì)錯(cuò)：（1）如果三角形的三條邊長(zhǎng)滿足a2 + b2 = c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形. （）

（2）如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么一定有a2 + b2 = c2. （）

（答案見(jiàn)第38頁(yè)）

難度系數(shù)：★★★解題時(shí)間：6分鐘

3. 唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的將軍飲馬問(wèn)題. 如圖3，點(diǎn)C為線段BD 上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B，D，作AB⊥BD，ED⊥BD，連接 AC，EC，已知 AB = 5， DE = 1，BD = 8，設(shè) CD = x，

（1）用含 x 的代數(shù)式表示 AC2 + CE2.

（2）點(diǎn) C 滿足什么條件時(shí)，AC + CE的值最小？你能求出最短距離嗎？

（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式[x2+4+（12-x）2+9]的最小值.

（答案見(jiàn)第38頁(yè)）

（作者單位：沈陽(yáng)市第一四五中學(xué)）