勾股定理中的方法與技巧

盧宗凱

一、巧用勾股數

在初中階段我們常用的勾股數有下列五組：3，4，5;5，12，13;7，24，25;8，15，17;9，40，41. 用勾股定理求第三邊時，可擴大或縮小相應的倍數.

例1 在Rt△ABC中，∠C = 90°，（1）a = 10， b = 24， c = ;（2）a = [32]， c = [52]，b = .

解析：（1）由 a = 5 × 2，b = 12 × 2，可知c = 13 × 2 = 26. 故應填26.

（2）由a = [12] × 3， c = [12] × 5， 可知b = [12] × 4 = 2. 故應填2.

二、確定圖形后用勾股

在三角形中，已知邊長未明確是直角邊還是斜邊，導致圖形的形狀不唯一，出現雙解.

例2（1）在直角三角形中，兩條邊長分別為3，4，則以第三邊為邊長的正方形的面積為 ;（2）在△ABC中，AB = 15，AC = 13，BC邊上的高AD = 12，則△ABC的周長為 .

解析：未知圖形的形狀時，同學們在畫圖的過程中一定要注意是否有雙解.

（1）未確定第三邊是斜邊還是直角邊，可分兩種情況：第三邊是斜邊，則42 + 32 = 25;第三邊是直角邊，則42 - 32 = 7. 于是以第三邊為邊長的正方形的面積為25或7. 故應填25或7.

（2）由AB =15，AD = 12，∠ADB = 90°，可得BD = 9. 未確定第三邊的高是在三角形內還是在三角形外. 如圖1，當△ABC是銳角三角形時，BC = BD + CD = 9 + 5 = 14，則△ABC的周長為42;當△ABC'是鈍角三角形時，BC' = BD - C'D = 9 - 5 = 4，則△ABC的周長為32. 故應填42或32.

三、折疊中巧用勾股定理

對有直角的圖形進行折疊時，可結合“全等三角形的對應邊相等”，并利用勾股定理求未知的邊長.

例3 長方形紙片ABCD的長AD = 9 cm，寬AB = 3 cm，將這個紙片折疊，使點D與點B重合. （1）求折疊后DE的長;（2）求以折痕EF為邊的正方形的面積.

解析：（1）如圖2，設DE的長為x cm，則AE = （9 - x） cm，

由折疊知DE = BE = x cm，在Rt△ABE中，∠A = 90°，

則AB2 + AE2 = BE2，[32+9-x2=x2]，解得x = 5，

即DE的長為5 cm.

（2）由DE = 5 cm，得AE = 4 cm，

同理，在Rt△D'BF中，設BF = y cm，則CF = （9 - y） cm.

在Rt△D'BF中，[32+（9-y）2=y2]，解得y = 5.

如圖3，過E作EM⊥BF，垂足為M，

MF = BF - BM = 5 - 4 = 1 （cm），

在Rt△EMF中，∠EMF = 90°，

則EF2 = EM2 + MF2 = 32 + 12 = 10（cm2）.

即以折痕EF為邊的正方形的面積為10 cm2.

四、遇形同勾股定理的等式，構造直角三角形

若幾條線段之間的關系不明確，但出現了邊長的平方的形式，可聯想直角三角形，并利用勾股定理去解決.

例4 如圖4，在Rt△ABC中，AC = BC，∠ACB = 90°，點P，Q在AB上，且∠PCQ = 45°. 試探究AP2 + BQ2與PQ2之間的關系.

解析：無法將AP，BQ，PQ放在一個直角三角形中，應先構造全等三角形，再把其中的兩條線段進行等量代換.

如圖5，過A作AB的垂線，并截取AE = BQ，連接PE，

易證∠EAC = ∠CAB = ∠B = 45°.

∵CA = CB，∴△CEA≌△CQB（SAS），

∴∠QCB = ∠ECA，CE = CQ.

∵∠PCQ = 45°，∴∠QCB + ∠ACP = 45°，

∴∠ECA + ∠ACP = 45°，∴∠ECP = ∠QCP.

∵CP = CP，∴△CEP≌△CQP（SAS），∴PE = PQ.

在Rt△AEP中，∠EAP = 90°，∴AP2 + AE2 = EP2，即AP2 + BQ2 = PQ2.

（作者單位：遼寧省實驗學校）