二次根式中的數學思想

楊文金

一、數形結合思想

將數量關系與幾何圖形的性質結合起來進行分析，并通過數的運算去尋找圖形之間的聯系，同時結合題中所給的已知條件去構造圖形，或結合已知圖形去尋找數量之間的關系，這種解決問題的思想即為“數形結合”思想.

例1 如圖1，實數[-5]，[15]，m在數軸上所對應的點分別為A，B，C，點B關于原點O的對稱點為D. 若m為整數，則m的值為.

解析：先求出點D表示的數，再得到m的取值范圍，最后在范圍內找整數解即可.

∵點B關于原點O的對稱點為D，點B表示的數為[15]，

∴點D表示的數為[-15].

∵點A表示[-5]，點C位于A，D兩點之間，

∴[-15

∵m為整數，∴[m=-3]. 故應填[-3].

二、從“特殊到一般”，又從“一般到特殊”的思想

從特殊去探索一般，再通過一般去研究特殊，這是數學中常用的重要思維方法. 在探索二次根式的性質過程中，就是運用“從特殊到一般”的思想方法，從具體例子猜想，并歸納二次根式的性質.

例2 觀察下列等式：x1 = [1+112+122] = [32] = 1 + [11×2];

x2 = [1+122+132] = [76] = 1 + [12×3];x3 = [1+132+142] = [1312] = 1 + [13×4];…

根據以上規律，計算x1 + x2 + x3 + … + x2020 - 2021 = .

解析：x1 + x2 + x3 + … + x2020 - 2021 = 1 + [11×2] + 1 + [12×3] + 1 + [13×4] + … + 1 + [12020×2021] - 2021= 2020 + 1 - [12] + [12] - [13] + [13] - [14] + … + [12020] - [12021] - 2021 =? - [12021]. 故應填 - [12021].

三、轉化思想

在研究和解決數學問題時，經常將復雜問題轉化成簡單問題，將疑難問題轉化成容易問題，將未解決的問題轉化成已解決的問題.

例3 設[6-10]的整數部分為[a]，小數部分為[b]，則[2a+10b]的值是（）.

A. 6? ? ? B. [210] ? C. 12? ?D. [910]

解析：首先根據[10]的整數部分可確定[a]的值，進而確定[b]的值，然后將[a]與[b]的值代入計算即可得到所求代數式的值.

易得9 < 10 < 16，所以[9<10<16]，即[3<10<4]，∴[2<6-10<3]，

∴[6-10]的整數部分[a=2]，∴小數部分[b=6-10-2=4-10]，

∴[2a+10b=2×2+104-10=4+104-10=6]. 故選A.

四、分類討論思想

有的數學問題可能有多種情況出現，在未具體指明是哪種情況時，需要對各種情況分類考慮，以保證解答完整準確，做到不重不漏.

例4 已知a，b是等腰三角形的兩邊長，且a，b滿足[2a-3b+5] + （2a + 3b - 13）2 = 0，則此等腰三角形的周長為（）.

A. 8 ? ? ? B. 6或8 ? C. 7 ? ? ? ?D. 7或8

解析：∵[2a-3b+5] + （2a + 3b - 13）2 = 0，∴[2a-3b+5=0，2a+3b-13=0，]解得[a=2，b=3.]

當b為底時，三角形的三邊長為2，2，3，∵2 + 2 > 3，∴符合題意，∴周長為7;

當a為底時，三角形的三邊長為2，3，3，∵2 + 3 > 3，∴符合題意，∴周長為8.

此等腰三角形的周長為7或8. 故選D.

五、整體思想

整體思想是從整體角度思考問題，即將局部放在整體中觀察、分析，探究并解決問題.

例5 若x = [2] + 1，則代數式x2 - 2x + 2的值為（）.

A. 7 ? ? ? ? ? ?B. 4 ? ? ? ? C. 3 ? ? ? ? ? ? ? ?D. 3 - [2]

解析：∵x = [2] + 1，∴x - 1 = [2]，∴（x - 1）2 = 2，即x2 - 2x + 1 = 2，

∴x2 - 2x = 1，∴x2 - 2x + 2 = 3. 故選C.