再識角平分線　探尋一題多解

蔡忠平

沈陽市渾南四中李晨陽老師的直播課《再識角的平分線》，選自遼寧教育學院“遼寧省初中數學學科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實國家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學習和個性化提升。

這節直播課以角平分線為背景，通過添加適當的輔助線，構造全等三角形.由具體到抽象，由特殊到一般，蘊含了數學模型思想和數學應用意識.

模型構建

模型1：過角平分線上的點向這個角的兩邊作垂線，構造基本模型，如圖1;

模型2：角平分線遇平行線，構造“鐵三角”模型，如圖2;

模型3：在角平分線的兩側，構造全等三角形，如圖3;

模型4：作角平分線的垂線，構造等腰三角形，如圖4.

[O][B][P][A][M][C][N][O][P][Q][M][C][N][O][B][P][A][M][C][N][O][B][P][A][M][C][N]

模型應用

例1 已知：如圖5，在△ABC中，∠C = 90°，AD是△ABC的角平分線，∠ADE = 90°，EF⊥BC.求證：CD = FD.

解法1：如圖6，過點D作DG⊥AB，垂足為點G.

由已知條件可知AD平分∠BAC，DC⊥AC，

根據模型1，聯想“過角平分線上的點向這個角的兩邊作垂線”，可得DC = DG.

易證Rt△ADC≌Rt△ADG（HL），可得∠CDA = ∠GDA.

由∠ADE = 90°，可知∠GDA + ∠GDE = 90°，∠CDA + ∠FDE = 90°，則∠GDE = ∠FDE.

由∠EGD = ∠EFD，∠GDE = ∠FDE，DE = DE，可得△DEG≌△DEF（AAS）. 從而CD = DG = DF.

解法2：在AB上截取AG = AC，連接DG，如圖7，

由AD平分∠BAC，根據模型3，聯想“在角平分線的兩側，構造全等三角形”，

先證△CAD≌△GAD（SAS），可得CD = GD，∠AGD = ∠ACD = 90°，

由解法1可知∠GDE = ∠FDE，DE = DE，可證△DGE≌△DFE（AAS），得到DG = DF.

再根據CD = GD，DG = DF，從而得到CD = FD.

解法3：如圖8，延長ED，交AC的延長線于點G.

由AD平分∠BAC，∠ADE = 90°，

根據模型4，聯想“作角平分線的垂線，構造等腰三角形”.先證△ADE≌△ADG（ASA），得到DE = DG，再證明△DGC≌△DEF（AAS）， 從而證得CD = FD.

變式延伸

例2 在△ABC中，若∠C ≠ 90°，AD是∠CAB的平分線，∠ADE = 90°，EF[?]AC，點F在BD上，則CD = FD還成立嗎？

解法1：如圖9，延長AD，交EF的延長線于點G.

已知AD是∠CAB的平分線，EF[?]AC，

根據模型2，聯想構造“鐵三角”模型，則∠DAC = ∠G，

因為∠DAC = ∠DAE，所以∠DAE = ∠G，

可證△ADE≌△GDE（AAS），則DA = DG，

再證△ADC≌△GDF（ASA）， 從而CD = FD.

解法2：如圖10，延長AC，交ED的延長線于點H.

由AD平分∠CAB，∠ADE = 90°，根據模型4，聯想“作角平分線的垂線，構造等腰三角形”，可證△ADE≌△ADH（ASA），得到DE = DH. 已知EF[?]AC，可得∠DEF = ∠H.由∠EDF = ∠HDC，可證△EDF≌△HDC（ASA），于是CD = FD.

分層作業

難度系數：★★★解題時間：10分鐘

1.如圖11，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，

已知S△ADC = 14，S△ABD = 10，則△ABC的面積為（）.

A. 20? ? ? B. 24? ? C. 28? ?D. 30

2.如圖12，在△ABC中，AC = 2AB，AD平分∠BAC

交BC于點D，點E是AD上的一點，且EA = EC. 求∠ABE.

（作者單位：北票市桃園初級中學 ）