判定三角形全等的常見類型

俞連山

一、平移全等模型

例1 如圖1，點(diǎn)A，B，D，E在同一條直線上，AB = DE，AC[?]DF，BC[?]EF. 求證：△ABC≌△DEF.

解析：根據(jù)已知條件，利用“ASA”即可證出△ABC≌△DEF.

∵AC[?]DF，∴∠CAB = ∠FDE.

∵BC[?]EF，∴∠CBA = ∠FED.

∵∠CAB = ∠FDE，AB = DE，∠CBA? = ∠FED，

∴△ABC≌△DEF（ASA）.

反思：可將圖1看作是△ABC沿AB方向平移AD的長(zhǎng)度得到的全等三角形模型. 常見的平移全等三角形模型的呈現(xiàn)形式有圖1、圖2兩種.

二、翻折全等模型

例2 如圖3，已知AB = DC，∠A = ∠D，AC與DB相交于點(diǎn)O. 求證：∠OBC = ∠OCB.

解析：∵∠A = ∠D，∠AOB = ∠DOC，AB = DC，

∴△AOB≌△DOC（AAS），

∴OA = OD，OB = OC，∴AC = DB.

在△ABC與△DCB中，∵AB = DC，∠A = ∠D，AC = DB，

∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠OBC = ∠OCB.

反思：可將圖3看作是△AOB和△ABC分別繞著BC的垂直平分線翻折得到的兩組全等三角形. 常見的翻折全等三角形模型的呈現(xiàn)形式除圖3中的兩種外，還有圖4中的三種.

三、“手拉手”模型

例3 已知：在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC. 如圖5，已知點(diǎn)D在BC邊上，∠DAE = 90°，AD = AE，連接CE. 試探究BD與CE的關(guān)系.

解析：∵∠EAC + ∠DAC = ∠EAD = 90°，

∠BAD + ∠DAC = ∠BAC = 90°，∴∠BAD = ∠CAE.

∵AB = AC，∠BAD = ∠CAE，AD = AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD = CE， ∠ACE = ∠ABD = 45°，

∴∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = 45° + 45° = 90°，

∴BD⊥CE，且BD = CE.

反思：探究BD與CE的關(guān)系，既要考慮數(shù)量關(guān)系，又要考慮位置關(guān)系，謹(jǐn)防漏解. 連接DE，可知△ABC和△ADE是兩個(gè)等腰三角形，這種由兩個(gè)頂角相等且共頂點(diǎn)的等腰三角形組成的圖形，可稱為“手拉手”模型（左手拉左手，右手拉右手）. 常見的“手拉手”全等三角形模型如圖6所示.

四、“一線三直角”模型

例4 如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，EF是由線段AB平移得到的，△DEF是以EF為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)F恰好在BC邊上，點(diǎn)D恰好在AC的延長(zhǎng)線上. （1）求證：∠ADE = ∠DFC;（2）求證：CD = BF.

解析：（1）∵∠EDF = 90°，∴∠ADE + ∠ADF = 90°.

∵∠ACB = 90°，∴∠DFC + ∠ADF = 90°，

∴∠ADE? = ∠DFC.

（2）連接AE. 由平移性質(zhì)得AE[?]BF，AE = BF，

∴∠EAD = ∠ACB = 90°，

∵∠DCF = 180° - ∠ACB = 90°，

∴∠EAD? = ∠DCF.

∵△DEF是等腰三角形，∴DE = DF.

∵∠ADE? = ∠DFC，∴△AED≌△CDF，

∴AE = CD，∴CD = BF.

反思：圖7中出現(xiàn)三個(gè)直角，它們的直角頂點(diǎn)都在同一條直線AD上，我們稱之為“一線三直角”全等三角形模型，其常見的呈現(xiàn)形式有圖8中的兩種.

五、倍長(zhǎng)中線模型

例5 如圖9，在△ABC中，AB = 6，AC = 4，AD是中線，求AD的取值范圍.

解析：要求AD的取值范圍，需要將AB，AC和AD轉(zhuǎn)化為同一個(gè)三角形的三邊，再利用三角形三邊關(guān)系定理來解決.

延長(zhǎng)AD到E，使DE = AD，連接BE.

∵AD = DE，∠ADC = ∠EDB，CD = BD，

∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC = BE = 4.

在△ABE中，∵AB - BE < AE < AB + BE，

∴6 - 4 < AE < 6 + 4，即2 < AE < 10，∴1 < AD < 5.

反思：當(dāng)題目中出現(xiàn)三角形一邊上的中線時(shí)，可構(gòu)造倍長(zhǎng)中線全等三角形模型，再運(yùn)用全等三角形知識(shí)來解決問題.

分層作業(yè)

難度系數(shù)★★★解題時(shí)間：10分鐘

1. 如圖10，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90°. 連接BE，CD，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)P. 求證：BP⊥CD. （答案略）

2. 如圖11，在△ABC中，∠BAC = 90°，E為邊BC上的點(diǎn)，且AB = AE，D為線段BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AE，過點(diǎn)A作AF[?]BC，且AF，EF相交于點(diǎn)F. （1）求證：∠C = ∠BAD;（2）求證：AC = EF. （答案略）

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)城西實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

答案速遞

第25頁(yè)：1.12;25;26;60，61 2. （1）√（2）×

3. （1）AC2 + CE2 = 2x2- 16x + 90

（2）當(dāng)A，C，E三點(diǎn)共線時(shí)，AC + CE的值最小，最短距離為10.

（3）如右圖，最小值為13.

第31頁(yè)： 8. [（a2-b2）（a2+b2）（|a|>|b|） ，0（|a|=|b|） ，（b2-a2）（a2+b2）（|a|<|b|）]

第35頁(yè)：1. C? ? 2. 90°