數學思想助解特殊平行四邊形

謝春娟

在解決特殊平行四邊形的問題中，運用數學思想常常可以迅速找到解題的途徑.下面舉例說明.

一、轉化思想

例1 （2021·重慶）如圖1，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是邊AD上一點，連接OM，過點O作ON⊥OM，交CD于點N. 若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（）.

A. 1 B. [2] C. 2 D. [22]

分析：要求正方形的邊長AB，題中有S四邊形MOND = 1的條件，因此可轉化為求S正方形ABCD，而S正方形ABCD是S△DOC的4倍，故只要求出S△DOC即可，這就需要找到S△DOC與S四邊形MOND的關系.

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠MDO = ∠NCO = 45°，OD = OC，∠DOC = 90°，∴∠DON + ∠CON = 90°.

∵ON⊥OM，∴∠MON = 90°，∴∠DON + ∠DOM = 90°，

∴∠DOM = ∠CON，∴△DOM ≌ △CON（ASA）， ∴S△DOM = S△CON.

∵S四邊形MOND = 1，S四邊形MOND = S△DOM + S△DON，∴S四邊形MOND = S△DOC，

∴S△DOC = 1，∴S正方形ABCD = 4，即AB2 = 4，∴AB = 2.

故選C.

點評：解題關鍵是要進行三個轉化：正方形ABCD的邊長與面積的轉化、正方形ABCD的面積與△DOC的面積的轉化及△DOC的面積與四邊形MOND的面積的轉化.

二、方程思想

例2 （2021·四川·遂寧）如圖2，在矩形ABCD中，AB = 5，AD = 3，點E為BC上一點，把△CDE沿DE翻折，點C 恰好落在AB邊上的點F處，則CE的長是（）.

A. 1 B. [43] C. [32] D. [53]

分析：設CE = x，則BE = 3 - x，由折疊性質可知EF = CE = x，DF = CD = AB = 5，可求得AF = 4，BF = 1. 在Rt△BEF中，由勾股定理得（3 - x）2 + 12 = x2，解出x即可.

解：設CE = x，則BE = 3 - x，

由折疊性質可知，EF = CE = x，DF = CD = AB = 5.

在Rt△DAF中，AD = 3，DF = 5，∴AF = [52-32=4]，∴BF = AB - AF = 5 - 4 = 1.

在Rt△BEF中，BE2 + BF2 = EF2，即（3 - x）2 + 12 = x2，解得x = [53].

故選D.

點評：熟練掌握矩形性質及勾股定理是解題的關鍵.

三、分類思想

例3 （2021·云南）已知△ABC的三個頂點都是同一個正方形的頂點，∠ABC的平分線與線段[AC]交于點D. 若△ABC的一條邊長為6，則點D到直線AB的距離為.

分析：將△ABC放入正方形中，分別對∠ABC = 90°，∠BAC = 90°這兩種情況進行討論;每種情況再分別對AB = BC = 6，AC = 6這兩種情況進行解答.

解：∵△ABC的三個頂點都是同一個正方形的頂點，如圖3，若∠ABC = 90°，則∠ABC的平分線為正方形ABCE的對角線，D為對角線的交點，

過點D作DF⊥AB，垂足為F，

若AB = BC = 6，則DF = [12]BC = 3;

若AC = 6，則AB = BC = [62] = [32]，∴DF = [12]BC = [322].

如圖4，若∠BAC = 90°，過點D作DF⊥BC于F.

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD = ∠CBD，∴AD = DF.

又∵∠BAD = ∠BFD = 90°，BD = BD，∴△BAD ≌ △BFD（AAS），∴AB = FB.

若AB = AC = 6，則BC = [62+62=62]，BF = 6，∴CF = [62-6].

在正方形ABEC中，∠ACB = 45°，

∴△CDF是等腰直角三角形，則AD = DF = CF = [62-6];

若BC = 6，則AB = AC = [62] = [32]，

同理可得AD = DF = CF = [6-32].

因此，點D到直線AB的距離為3或[322]或[62-6]或[6-32]

點評：解題時要結合題意分類畫出圖形.

四、模型思想

例4 （2022·四川·自貢）如圖5，矩形ABCD中，AB = 4，BC = 2，G是AD的中點，線段EF在邊AB上左右移動，若EF = 1，則GE + CF的最小值為.

分析：要求GE + CF的最小值，自然聯想到“將軍飲馬”模型，為此設法利用平移將分散的GE和CF加以“集中”，如圖6，作EE′[∥]FC，交CD于點E′，再延長GA到點G′，使AG′ = AG，連接EG′，E′G′，則GE + CF的最小值為E′G′，根據勾股定理求出E′G′，即可得到答案.

解：如圖6，過點E作EE′∥FC，交CD于點E′，延長GA到點G′，使AG′ = AG，連接EG′，E′G′，則GE + EE′的最小值即為GE + CF的最小值.

∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∠D = ∠DAB = 90°，

∴四邊形EFCE′是平行四邊形，點G與點G′關于直線AB對稱，

∴CE′ = EF = 1，EE′ = FC.

∵G是AD的中點，CD = AB = 4，AD = BC = 2，

∴DG = AG = AG′ = 1，∴DG′= 3，∴DE′= 3.

在Rt△DE′G′中，由勾股定理有E′G′ = [DE'2+DG'2=32+32=32]，

∴G′E + EE′ ≥ E′G′ = 3[2]，即G′E + EE′的最小值為3[2].

∵點G與點G′關于直線AB對稱，∴GE = G′E，

∴GE + CF的最小值為3[2].

點評：解題的關鍵是由求GE + CF的最小值，聯想并構造出“將軍飲馬”的基本模型.本題實質上是將“將軍飲馬”模型中一條線段進行平移后形成的，利用平移將它“恢復原狀”，其解題思路就會應運而生.當然，平移的方法不盡相同，隨著平移方法的不同解題過程也有簡繁之分.圖7是由另外兩種平移方法得到的“將軍飲馬”模型，請你動手解一解，并對三種方法進行比較，從中得到啟發，做到巧平移、妙解題.

[D][C][A][B][F][E][G][G'][E'] [M][F'][D][C][A][B][F][E][G][G'][G[″]][M][圖7]

（作者單位：江蘇省興化市戴窯中學）