一元二次方程解法歸納

高冬

一元二次方程的重點與關鍵是其解法. 解方程時，須從“數”（系數）和“形”（外形）兩個角度進行分析，這樣才能事半功倍. 下面結合實例對一元二次方程的解法進行歸納.

一、直接開平方法

直接開平方法就是通過直接開平方來求解一元二次方程的方法.

例1 解下列方程：（1）2x2 - 8 = 0;（2）3（x - 1）2 - 6 = 0.

分析：（1）方程的一次項系數為0，通過移項、系數化為1，可以轉化為x2 = 4，直接開平方求解;（2）將x - 1看作一個整體，方程可以轉化為（x - 1）2 = 2，直接開平方求解.

解：（1）整理，得x2 = 4. 根據平方根的意義，得x1 = 2，x2 =? - 2.

（2）整理，得（x - 1）2 = 2. 根據平方根的意義，得x - 1 = ±[2].

移項，得x1 = 1 + [2]，x2 = 1 - [2].

點評：一般地，當一元二次方程的一次項系數為0，即ax2 + c = 0（ac < 0）或ax2 = c（ac ≥ 0），或方程通過移項等可直接轉化為（x + n）2 = p（p ≥ 0）的形式時，用直接開平方法解方程最為簡單. 要注意，開平方時，正數的平方根有兩個，是一對相反數，不要丟解.

二、配方法

配方法就是通過“配方”，把一元二次方程轉化成（x + n）2 = p的形式求解的方法. 如果p > 0，那么方程有兩個不相等的實數根， x1 = [-n+p]，x2 = [-n-p];如果p = 0，那么方程有兩個相等的實數根， x1 = x2 = -n;如果p < 0，那么方程沒有實數根.

例2 解方程4x2 - 8x - 3 = 0.

分析：方程的二次項系數為4，須將二次項的系數化為1.

解：移項，得4x2 - 8x = 3. 二次項系數化為1，得x2 - 2x = [34].

配方，得x2 - 2x + 1 = [34] + 1，則（x - 1）2 = [74].

由此可得x - 1 = ±[72]，則x1 = 1 + [72]，x2 = 1 - [72].

點評：配方法適用于所有的一元二次方程，其中，當二次項系數化為1后，一次項的系數是絕對值較小的偶數時，用配方法更簡單. 要注意，配方時，一般是把二次項的系數化為1后，在方程的兩邊同時加上一次項系數一半的平方.

三、公式法

公式法就是當一元二次方程ax2 + bx + c = 0滿足b2 - 4ac ≥ 0時，將各系數直接代入求根公式求解的方法.

例3 解方程x2 - x = 6.

分析：二次項系數為1，一次項系數為奇數，用公式法比較簡單.

解：方程化為x2 - x - 6 = 0. 其中a = 1，b = -1，c = -6. ∴[Δ] = b2 - 4ac = （-1）2 - 4 × 1 × （-6） = 25 > 0，方程有兩個不相等的實數根x = [--1±252×1=1±52]，即x1 = 3，x2 = -2.

點評：公式法適用于所有的一元二次方程，可以省略配方過程而直接求解. 當一元二次方程的系數是無理數時，或二次項系數化為1后，一次項的系數是奇數時，一般用公式法比較簡單. 要注意，用公式法求解時，要先把一元二次方程化為一般形式，將各系數代入公式時應注意符號.

四、因式分解法

因式分解法就是將一元二次方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，進而求解的方法.

例4 解方程3x（2x + 1） = 2x + 1.

分析：方程兩邊都有因式2x + 1，可以用因式分解法求解.

解：方程化為3x（2x + 1） - （2x + 1） = 0. 因式分解，得（2x + 1）（3x - 1） = 0.

于是得2x + 1 = 0或3x - 1 = 0，則x1 =? - [12]，x2 = [13].

點評：一般地，當常數項為0，或者一元二次方程兩邊含有相同的因式時，用因式分解法解方程更簡單. 要注意，方程兩邊不能同時除以含有未知數的因式，以避免丟根.

綜上所述，在解一元二次方程時，我們要從“數”和“形”兩個角度進行分析，在方法的選擇上遵循“從特殊到一般”的原則，即先判斷能否用直接開平方法或因式分解法;如果不能，再選擇配方法或公式法，對于從“形”上不好辨析的方程，一般可先將方程化為一般形式，再進行分析.

（作者單位：興城市第三初級中學）