共頂點四邊形旋轉之不變量

常斯韋

縱觀各地中考試題，四邊形旋轉是幾何壓軸題的熱點.下面向同學們介紹其中一個熱點類型——共頂點四邊形旋轉模型.

一、真題再現，感悟旋轉

例 （2021·湖南·湘潭）在數學活動課中，小輝將兩個正方形放置在直線l上.如圖1，他連接AD，CF，經測量發現AD = CF. 如圖2，若將正方形ODEF繞O點逆時針旋轉一定的角度，試判斷AD與CF還相等嗎，請說明你的理由.

分析：根據旋轉的特點可知：盡管旋轉角及圖形的位置是變量，但圖形的形狀和大小是不變量;盡管AD與CF的長度是變量，但二者的等量關系是不變的.從而可以鎖定△AOD和△COF的全等關系是不變的，解題方向即可確定.

解：AD = CF.理由：如圖2，∵∠COA + ∠COD = ∠DOF + ∠COD，∴∠AOD = ∠COF，又∵OA = OC，OD = OF，∴△AOD ≌ △COF（SAS），∴AD = CF.

點評：兩個正方形在共頂點旋轉中，雖然位置、旋轉角是變量，但正方形的邊長和內角始終是不變量.因此，可以基于這種旋轉中邊、角的不變量，通過識別（或構造）全等三角形（且旋轉變化中這種全等關系仍保持不變），得到有別于四邊形自身的新的不變量.

二、變式拓展，深悟旋轉

變式1：如圖3，判斷AD與CF的位置關系，并說明理由.

變式2：如圖4，連接CD和AF，判斷S△CDO與S△AFO的數量關系，并說明理由.

變式3：如圖5，AD與CF的交點為G，連接OG，判斷∠AGO與∠FGO的數量關系，并說明理由.

變式4：如圖6，取CD中點X，連接XO，判斷XO與AF的位置關系，并說明理由.

【答案及提示】

變式1：AD⊥CF.如圖3，由△AOD ≌ △COF，借助∠DAO = ∠FCO，可證明AD與CF的夾角為90°.

變式2：S△CDO = S△AFO.基于兩個全等三角形相等的邊AD和CF，再分別作出并證明這兩條邊上的高相等即可.

變式3：∠AGO = ∠FGO.借助角平分線判定定理，可以由△AOD ≌ △COF借助面積相等且對應邊相等，從而得到高相等（或證含這兩個高的三角形全等）.

變式4：XO⊥AF.倍延中線OX至點U，使得UX = OX，連接UC，延長XO交AF于點Y.先證明△UCX ≌ △ODX（SAS），再證明△UCO ≌ △FOA（SAS），最后證明∠OAF + ∠AOY = 90°即可.

點評：基于原題以及上述變式，進而在圖7至圖10中，盡管因為旋轉而導致圖形的位置不斷改變，但上述結論始終保持不變.

（工作單位：沈陽市蘇家屯區城郊九年一貫制學校）