考研數學背景下行列式計算的歸納解析

呂軍 庫福立 黃華

摘 要：線性代數是考研數學的一個考查內容，而行列式又是線性代數中的一個重要組成部分，其在求解線性方程組等問題上有較廣泛的應用.因而掌握行列式的定義及計算就顯得尤為重要，行列式的計算特別是高階行列式的計算較為復雜，但又具有一定的規律性和技巧性.本文對高階行列式的結構特點進行歸納分析，并給出相應的計算方法，旨在為考生在計算行列式時提供一定的幫助.

關鍵詞：行列式;上（下）三角行列式;范德蒙德行列式;性質

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）27-0035-03

行列式是線性代數中的基本內容，最初源于對線性方程組的求解，是由德國數學家萊布尼茨和日本數學家關孝和于17世紀先后提出.當然行列式的應用不僅在于求解方程組，在物理學、力學、工程技術等方面都有著重要的應用.

對于一般的低階（二階或三階）行列式，可以直接利用對角線法則來計算，但對于高階（四階及以上）就沒有那么簡單.考生因高階行列式的形式較為復雜，所以在計算時會感覺較為吃力.雖然高階行列式結構較復雜，但是在計算時還是能夠根據其自身具有的特點來選擇適當的方法求解，這樣會使其計算變得更加簡單，起到事半功倍的效果.其實無論是低階還是高階行列式，其計算的中心思想就是“降階”和“化零”.本文在其中心思想下對高階行列式的計算進行了歸納總結，這樣會使考生在面對高階行列式時能夠運用巧妙的計算方法，從而提高行列式計算的能力.

1 行列式的定義

定義1 由n個自然數1，2，…，n組成的一個沒有重復的有序數組i1i2…in稱為一個n級排列.n級排列一共有n！個.

定義2 在一個n級排列中，如果一個較大的數排在一個較小數之前，就稱這兩個數構成一個逆序.一個排列中逆序的總數，稱為這個排列的逆序數，用τ（i1i2…in）表示排列i1i2…in的逆序數.

定義3 由n2個元素aij（i，j=1，2，…，n）組成的記號

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.工程數學—線性代數[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 李學銀，盛集明.線性代數及其應用[M].北京：科學出版社，2018.

[3] 譚俊艷，鄒輝，呂學琴.高階行列式計算方法解析[J].教育教學論壇，2020（9）：262-265.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-06-25

作者簡介：呂軍（1988.4-），男，湖北省鄂州人，碩士，講師，從事分形幾何與小波分析研究.

庫福立（1986.1-），男，湖北省麻城人，碩士，講師，從事調和分析與小波分析研究.

黃華（1981.9-），男，重慶市秀山人，碩士，副教授，從事模糊數學與智能計算研究.

基金項目：新疆維吾爾自治區教研教改項目（PT-2021012）;

新疆農業大學校級教改立項（XJJY2020072）;

新疆農業大學校級教改立項（2021ZHGG07）