挖掘“源頭” 把握方向

劉熙 劉冰楠

[摘? 要] 以2021年全國新高考Ⅱ卷（數(shù)學(xué)）第14題為例，挖掘其在教科書中的“主流源頭”和“支流源頭”，并提出備考建議：解讀文件精神，明確考查方向;回歸教科書，把握命題方向;挖掘同類素材，預(yù)測試題命制.

[關(guān)鍵詞] 高考題;數(shù)學(xué)教科書;追根溯源;備考建議

高考試題大多源于教科書例習(xí)題的改編與整合，在一定程度上體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、創(chuàng)新性的高考學(xué)科考查要求. 挖掘高考數(shù)學(xué)試題在教科書中的“源頭”，不僅可以體悟高考試題源于教科書的命制思路、了解教科書內(nèi)容的改編方式，還可以初步感知高考命題動向、把握復(fù)習(xí)重點. 以2021年全國新高考Ⅱ卷（數(shù)學(xué)）第14題（以下簡稱“新高考Ⅱ卷第14題”）為例，挖掘其在教科書中的“主流源頭”和“支流源頭”，并提出一些備考建議.

[?]試題呈現(xiàn)

（新高考Ⅱ卷第14題）寫出一個同時具有性質(zhì)①②③的函數(shù)f（x）：______.

①f（xx）=f（x）f（x）;②當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）>0;③f′（x）是奇函數(shù).

解：取f（x）=x2，則f（xx）=（xx）2=xx=f（x）f（x），滿足性質(zhì)①;f′（x）=2x，x∈（0，+∞）時f′（x）>0，滿足性質(zhì)②;f′（x）=2x的定義域為R，又f′（-x）=-2x=-f′（x），故f′（x）是奇函數(shù)，滿足性質(zhì)③. 故答案為f（x）=x2（答案不唯一，f（x）=x2n（n∈N*）均滿足）.

[?]試題評析

考生應(yīng)明確填空題的命制意圖——“側(cè)重于基礎(chǔ)知識和基本能力的考查，關(guān)注對課本知識掌握的牢固程度”[1]. 該試題要求寫出一個同時具有性質(zhì)①②③的函數(shù)，該函數(shù)類型在教科書中有所提及，而教科書中的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，滿足性質(zhì)①的僅有冪函數(shù)f（x）=xα（其中x是自變量，α是常數(shù)），由此確定函數(shù)類型. 根據(jù)性質(zhì)②，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，因此α>0. 由性質(zhì)③，可知f′（x）=αxα-1中x的指數(shù)α-1為奇數(shù)，故α為偶數(shù)，于是f（x）=x2n（n∈N*）均滿足. 此外，考生應(yīng)理性審視試題，題目要求寫出函數(shù)解析式，答案應(yīng)是熟悉的函數(shù)類型或其復(fù)合函數(shù)，因此要迅速提取已學(xué)的函數(shù)類型（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等），并對三條性質(zhì)逐一驗證，從而解決問題. 該試題解答的關(guān)鍵在于理性地選擇函數(shù)類型，對備選的函數(shù)類型要進行驗證，并做出正確的取舍.

該試題給出了明確的已知條件，考生需要結(jié)合性質(zhì)①判斷所求函數(shù)的類型，再結(jié)合性質(zhì)②③寫出符合要求的函數(shù)解析式，標準答案不唯一，屬于開放性試題中的“舉例問題”，這種試題在2021年高考數(shù)學(xué)中首次出現(xiàn)[2]. 試題聚焦“一核、四層、四翼”評價體系，立足冪函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶函數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識，打破常規(guī)，增大試題探究性，擴大開放度，體現(xiàn)創(chuàng)新性，對數(shù)學(xué)知識進行多方位、深層次的考查，滲透數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，考查邏輯推理能力、運算求解能力、創(chuàng)新能力、綜合運用知識解決問題的能力，突顯思維的創(chuàng)新性、靈活性和多樣性，體現(xiàn)“重思維、重應(yīng)用、重創(chuàng)新”的命題要求.

[?]追根溯源

1. 高考試題的“主流源頭”

高考命題應(yīng)立足學(xué)業(yè)質(zhì)量標準和課程內(nèi)容[3]. 教科書作為課程內(nèi)容的主要載體，其內(nèi)容在高考命題中占有一定的地位，大多數(shù)高考題在教科書中均可以找到“影子”. 如新高考Ⅱ卷第14題可以在教科書中尋到其“主流源頭”——人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊第74頁習(xí)題3.1第17題（簡記為“例1”）.

例1 探究是否存在函數(shù)f（x），g（x）滿足條件：

（1）定義域相同，值域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同;

（2）值域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同.

解：（1）存在. 如f（x）=x，定義域為R，值域為R;g（x）=2x+1，定義域為R，值域為R. 又如f（x）=x，定義域為R，值域為[0，+∞）;g（x）=x2，定義域為R，值域為[0，+∞）. （答案不唯一）

（2）存在. 如f（x）=x2，定義域為[0，2），值域為[0，4）;g（x）=x2，定義域為（-2，2），值域為[0，4）. （答案不唯一）

新高考Ⅱ卷第14題是該教科書原題的變式與拓展，不僅包括必備知識的加深拓展，還包括關(guān)鍵能力、學(xué)科核心素養(yǎng)等的深化. 第一，二者均為根據(jù)已知條件寫出函數(shù)解析式的題目，要求學(xué)生透徹理解函數(shù)主線的基礎(chǔ)知識，能靈活運用函數(shù)性質(zhì). 高考試題將冪函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、奇偶函數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識有機整合，注重知識的系統(tǒng)性和整體性;教科書原題重點考查函數(shù)三要素，鞏固深化教科書內(nèi)容. 這在一定程度上體現(xiàn)了高考試題是由教科書原題改編、拓展的，突出考查學(xué)生綜合運用基礎(chǔ)知識解決問題的能力，是必備知識的加深拓展. 第二，二者均屬于開放性問題中的“舉例問題”，需根據(jù)題目條件寫出符合要求的函數(shù)解析式且答案不唯一. 這不僅可以激活學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)，還可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性，且高考試題考查的知識點較多，在一定程度上增加了試題的難度. 第三，“舉例問題”打破常規(guī)，要求學(xué)生根據(jù)條件寫出函數(shù)解析式，而常規(guī)題目多根據(jù)函數(shù)解析式及相關(guān)條件推導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)，這對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)側(cè)重點有所不同. 常規(guī)題目注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，落實數(shù)學(xué)運算素養(yǎng);“舉例問題”注重培養(yǎng)學(xué)生從多角度審視問題的能力，考查學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性.

2. 高考試題的“支流源頭”

教科書的函數(shù)主線還涉及其他類型的“舉例問題”，包括構(gòu)建滿足函數(shù)解析式的問題情境、根據(jù)問題情境畫出函數(shù)圖像等. 具體如下：

例2 構(gòu)建其他可用解析式y(tǒng)=x（10-x）描述其中變量關(guān)系的問題情境. （人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊第63頁探究題）

例3 構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關(guān)系能用解析式y(tǒng)=來描述. （人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊第64頁練習(xí)第4題）

例4 構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關(guān)系能用解析式y(tǒng)=ax2（a>0）來描述. （人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊第73頁習(xí)題3.1第14題）

例5 一名心率過速患者服用某種藥物后心率立刻明顯減慢，之后隨著藥力的減退，心率再次慢慢升高. 畫出自服藥那一刻起，心率關(guān)于時間的一個可能的圖像（示意圖）. （人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊第86頁習(xí)題3.2第6題）

例6 體內(nèi)癌細胞初期增加得很緩慢，但到了晚期就急劇增加，畫一幅能反映體內(nèi)癌細胞數(shù)量隨時間變化的示意圖. （人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊第118頁練習(xí)第3題）

上述教科書原題均為開放性問題中的“舉例問題”（答案不唯一），與新高考Ⅱ卷第14題所屬主線一致. 前三題根據(jù)函數(shù)解析式構(gòu)建滿足變量關(guān)系的問題情境，后兩題根據(jù)問題情境畫出函數(shù)圖像. 滿足變量關(guān)系的問題情境、函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖像等緊密相關(guān)，命制試題時可根據(jù)考查要求將其中一方設(shè)為未知量. 新高考Ⅱ卷第14題將函數(shù)性質(zhì)作為已知條件，將函數(shù)解析式設(shè)為未知量，考查學(xué)生對基本初等函數(shù)性質(zhì)的掌握情況以及對知識的靈活運用水平;教科書的例2、例3、例4將函數(shù)解析式作為已知條件，將滿足變量關(guān)系的問題情境設(shè)為未知量，可以讓學(xué)生深度理解函數(shù)解析式，感悟數(shù)學(xué)源于生活;教科書的例5、例6將問題情境作為已知條件，將函數(shù)圖像作為未知量，可以提高學(xué)生的動手實踐能力、作圖能力，使學(xué)生體悟數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活. 上述教科書原題均為新高考Ⅱ卷第14題的“同類素材”，且契合“習(xí)題應(yīng)開發(fā)一些具有應(yīng)用性、開放性、探究性的問題”[3]的編寫建議，并發(fā)揮獨特的數(shù)學(xué)學(xué)科育人價值. 隨著試題開放度的增大，上述教科書原題在預(yù)測高考試題命制時具有一定的參考價值.

[?]備考建議

基于新高考Ⅱ卷第14題在教科書中“源頭”的挖掘，本文提出以下幾點備考建議：

1. 解讀文件精神，明確考查方向

高考評價體系是新時代高考內(nèi)容改革的理論支撐和實踐指南[4]. 在備考過程中，應(yīng)關(guān)注國務(wù)院、教育部考試中心等發(fā)布的文件以洞悉高考內(nèi)容改革方向，同時閱讀高考命題者公開發(fā)表的文章，關(guān)注他們對國家相關(guān)政策文件的解讀、對高考評價體系的認識，以及依據(jù)高考評價體系、高校人才選拔要求、國家課程標準建構(gòu)的數(shù)學(xué)命題框架，由此明確高考數(shù)學(xué)學(xué)科的考查內(nèi)容、考查要求、考查載體，以及選擇題、填空題、解答題的命制意圖等. 例如，若明晰填空題的命制意圖，新高考Ⅱ卷第14題就可以將函數(shù)類型的范圍縮小至教科書中的基本初等函數(shù)，進而一一驗證.

2. 回歸教科書，把握命題方向

歷年高考命題中有大量試題直接源于教科書或由教科書中的例習(xí)題改編而來[5]，但試題的回歸并沒有降低考查難度與深度，而是通過對教科書例習(xí)題進行變式拓廣提高了試題的綜合性和創(chuàng)新性，優(yōu)化了高考選拔功能. 在備考過程中，應(yīng)充分挖掘歷年高考試題在教科書中的“源頭”，明晰其改編方式，把握命題方向，并“結(jié)合高考命題實際，對教科書中的某些內(nèi)容進行補充、拓展、改進、增補、變式、整合等”[6]. 例如，新高考Ⅱ卷第14題是在保持例1“舉例開放”題型以及所屬主線一致的基礎(chǔ)上，對必備知識的加深拓展、對關(guān)鍵能力的深化、對學(xué)科核心素養(yǎng)的落實. 因此，備考過程中應(yīng)關(guān)注教科書中新題型的出現(xiàn)（如“舉例問題”），并嘗試對其進行改編，包括條件與結(jié)論的倒置、綜合性的增強、知識點所屬主線的改變等，加強試題的開放性和探究性，設(shè)計條件或結(jié)論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題，減少“刷題”在高考中的作用.

3. 挖掘同類素材，預(yù)測試題命制

在備考過程中，注重挖掘歷年高考試題在教科書中的“源頭”并找尋同類素材，包括題型一致（如均屬于“舉例開放”問題）、所屬主線相同、思維程序類似等，以期預(yù)測高考試題命制. 高考“通過命制開放性試題、結(jié)構(gòu)不良試題，發(fā)揮選拔功能;通過創(chuàng)新題型，對學(xué)生的創(chuàng)新能力進行考查”[4]，擴大試題的創(chuàng)新性、探究性、開放性. 新高考Ⅱ卷第14題與例2至例6均屬于開放性試題中的“舉例問題”，探究性、創(chuàng)新性、開放性較強，符合高考命題要求，因此例2至例6作為新高考Ⅱ卷第14題的同類素材（題型一致、所屬主線相同），在預(yù)測高考試題命制時具有一定的參考價值.

參考文獻：

[1]? 趙軒，任子朝，翟嘉祺. 高考評價體系的數(shù)學(xué)學(xué)科化實踐[J]. 數(shù)學(xué)通報，2020，59（10）：12-17.

[2]? 教育部考試中心. 聚焦核心素養(yǎng)，考查關(guān)鍵能力——2021年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評析[J]. 中國考試，2021（07）：70-76.

[3]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[4]? 任子朝，趙軒. 基于高考評價體系的數(shù)學(xué)科考試內(nèi)容改革實施路徑[J]. 中國考試，2019（12）：27-32.

[5]? 余小芬. 回歸教科書? 高三復(fù)習(xí)的正道——以人教版函數(shù)與導(dǎo)數(shù)為例[J]. 數(shù)學(xué)通報，2018，57（12）：9-13.

[6]? 唐永. 回歸教科書：提升學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑[J]. 數(shù)學(xué)通報，2020，59（07）：40-43+48.