旋轉于中考的矩形

周貴勝

圖形的旋轉是各地中考數學試卷中永恒的話題，本文選取一道中考題為例進行分析.

例 （2021·浙江·嘉興）小王在學習浙教版九上課本第[72]頁例[2]后，進一步開展探究活動：將一個矩形[ABCD]繞點[A]順時針旋轉[α]（0° < [α] ≤ 90°），得到矩形[AB'C'D']，連接[BD].

（1）探究1：如圖[1]，當[α=90°]時，點[C']恰好在[DB]延長線上[.]若[AB=1]，求[BC]的長.

（2）探究2：如圖[2]，連接[AC']，過點[D']作[D'M]∥[AC']交[BD]于點[M.] 線段[D'M]與[DM]相等嗎？請說明理由.

（3）探究3：在探究[2]的條件下，射線[DB]分別交[AD']，[AC']于點[P]，[N（]如圖[3）]，發現線段[DN]，[MN]，[PN]存在一定的數量關系，請寫出這個關系式，并加以證明.

分析：（1）設BC = [x]，由旋轉的性質得出矩形ABCD ≌ 矩形AB′C′D′，所以C′D′ = CD = AB，AD′ = AD = BC = [x]，由△BAD ∽ △BD′C′，可列比例式求解;

（2）如圖4，連接DD′，由旋轉可知△AC′D′ ≌ △DBA，可得[∠D'AC'=∠ADB]，由MD′∥AC′，得到∠MD′A = ∠D′AC′，再證出∠MDD′ = ∠MD′D，則得到DM = D′M;

（3） 由（2）可證明△NPA ∽ △NAD，[ANNP=NDAN]，連接AM，如圖5，可推導出∠NMA = ∠NAM = 2∠MDA，得出MN = AN，進而可得出結論：MN2 = NP·ND.

解：（1）設[BC=x]，

∵矩形[ABCD]繞點[A]順時針旋轉90°得到矩形[AB'C'D']，

∴點[A]，[B]，[D']在同一直線上，矩形ABCD ≌ 矩形AB′C′D′，

∴∠BAD = ∠D′ = 90°，[AD'=AD=BC=x]，D′C′ = DC = AB = 1，

∴[D'B=AD'-AB=x-1]，

又∵點[C']在[DB]的延長線上，∴∠D′BC′ = ∠ABD，

∴[△D'C'B] ∽ [△ADB]，

∴[D'C'AD=D'BAB]，∴[1x=x-11]，

解得[x1=1+52]，[x2=1-52]（不合題意，舍去），

∴[BC=1+52].

（2）[D'M=DM].

證明：如圖4，連接[DD']，

[∵D'M∥AC']，[∴∠AD'M=∠D'AC']，

[∵AD'=DA]，[∠AD'C'=∠DAB=90°]，[D'C'=AB]，

[∴△AC'D'] ≌ [△DBA]（SAS），

[∴∠D'AC'=∠ADB]，[∴∠ADB=∠AD'M]，

[∵AD'=AD]，[∴∠ADD'=∠AD'D]，

[∴∠MDD'=∠MD'D]，[∴D'M=DM].

（3）關系式為[MN2=PN?DN].

證明：如圖5，連接AM，

∵MD = MD′，AM = AM，AD = AD′，

∴△AMD ≌ △AMD′，∴∠MAD = ∠MAD′，

∵∠NMA = ∠ADM + ∠MAD，∠NAM = ∠NAP + ∠D′AM，

∴∠NMA = ∠NAM，∴MN = AN.

在[△NAP]和[△NDA]中，[∠ANP=∠DNA]，[∠NAP=∠NDA]，

∴△NPA ∽ △NAD，∴[PNAN=ANDN]，

[∴AN2=PN?DN]，[∴MN2=PN?DN].

點評：本題是矩形結合圖形旋轉的綜合題，解這類問題的關鍵是利用圖形旋轉的性質得到角相等、線段相等等條件.

（作者單位：東北育才學校初中部）