從經驗出發逐步提高思維水平

錢蔚

美國心理學家奧蘇伯爾曾說過，影響學習的最重要因素就是學生已經知道了什么，要探明這一點，應就此進行教學。建構主義學習理論認為，學生并不是空著腦袋進教室的，在平時的生活和以往的學習中，學生必定積累并形成了一定的知識經驗。在教學設計中，教師應充分尊重學生已有的認知經驗和生活經驗，著眼于新舊知識之間的聯系，引導學生從已有經驗出發實現對新知的主動建構，促進學生知識、能力、思維水平的提升。

對學生來講，三角形不是新鮮事物。在一年級下學期已經直觀認識了三角形，形成了有關三角形的圖形表象。四年級下學期教師需引導學生在相對抽象的層面進一步認識三角形，探究三角形的基本特征，了解三角形底和高的含義，掌握三角形高的基本畫法。學生通過對三角形的進一步認識，不僅能使原有的經驗得到提升，而且能進一步學習和研究其他“圖形與幾何”的知識。那么，如何從學生的已有經驗出發，引導他們在掌握知識的同時增強自主學習能力并發展數學思維呢？在教學蘇教版數學教材四年級下冊“認識三角形”時，我們開展了以下教學實踐，并引發了教學思考。

一、提取經驗，在活動中思維聚焦

教師利用課件出示教材例題情境圖。

師：你們能在圖中找到三角形嗎？誰上來指一指？（用紅線描出學生指出的三角形）

師：你們在生活中也見到過三角形嗎？

師：你們很會觀察！的確，生活中的很多物體中有三角形。看！（出示圖片）你們能在這些圖片中找到三角形嗎？

（教師出示自行車、人字梯、金字塔等實物圖片，學生指出抽象出的三角形）

師：你們能在紙上畫出腦海中的三角形嗎？

（教師選取學生畫出的形狀、大小不同的三角形）

師：這些圖形形態各異，大小不一，為什么都叫作三角形？

生：它們都有3個角。

師：請你來指一指找到的3個角，其他同學也指出所畫三角形的3個角。

師：從三角形的名稱中我們就知道它們有3個角，除了“3個角”這個共同點，還有其他共同點嗎？

生：三角形都有3條邊。

（學生數一數）

師：我們找到了三角形的兩個共同特點，還有什么共同點呢？

生：它們都有3個頂點。

（學生指出頂點）

師（小結）：通過剛才的觀察、比較，我們發現三角形都有3條邊、3個角、3個頂點，這就是三角形的特征，有時三角形也叫三邊形。

【思考】認識三角形的概念之前，教師組織了三次活動：一是找，從情境圖中找出三角形;二是說，說一說在生活中見到的三角形;三是看，從教師提供的實物圖片中看到三角形。通過“精確地找”“形象地說”“直觀地看”這三項學習活動幫助學生視域融合，提取生活經驗和認知經驗，有利于學生從已有的經驗出發積極地開展探究活動。接著，教師安排了學生畫三角形的活動，讓學生頭腦中的三角形表象得以外顯，并抽象出三角形圖形。“這些圖形形態各異，大小不一，為什么都是三角形呢？”教師的及時追問，引導學生將思維聚焦于不同三角形的共同點上，在尋找共性的過程中逐步歸納出三角形的特征，深化學生對三角形的認識。

二、利用經驗，在認“高”中思維突破

師：請同學們仔細觀察這個三角形（多媒體顯示三角形的一個頂點上移兩次，如圖1、圖2），你們覺得這個三角形有怎樣的變化？

生：我覺得這個三角形變大了。

生：我覺得這個三角形變高了。

師：要使這個三角形變得更高，可以怎么辦？

生：把一個頂點繼續上移（多媒體顯示）。

師：高在哪兒呢？高是指哪條線段？能來比畫一下你們心目中的三角形的高嗎？

師：這個同學認為高是從頂點開始到對邊結束的這樣一條線段，這里有3幅圖（如圖3），你們認為哪幅圖的虛線是真正的高？

生：我覺得第2幅圖中的虛線是三角形的高。

生：我也覺得是第2幅圖。因為第1幅圖中虛線沒有與下面的邊垂直，第3幅圖中的虛線沒有從頂點開始。

師：你們觀察得真仔細，理由也非常充分！第2幅圖中的虛線就是這個三角形的高。

師：那么什么是三角形的高呢？看著圖與同桌交流。

（在學生交流的基礎上，教師揭示三角形高的定義）

師：高是從哪兒到哪兒的一條怎樣的線段？

（教師板書：高、頂點、對邊、垂直線段）

師：你們能找到三角形的頂點和對邊嗎？

（學生在黑板上指出3個頂點和3條對邊）

師（小結）：三角形有3個頂點、3條對邊，三角形會有幾條高呢？你們是怎么想的？

師：同學們，已知三角形的底在這兒（如圖4，逐一出示不在水平方向的底），底邊上的高在哪兒呢？請大家用直尺來擺一擺。

師：三角形的底和高是怎樣的關系？

生：無論三角形的底在哪兒，底和高始終是互相垂直的。

【思考】教學中，教師要讓學生用已有的知識經驗來自我建構知識。對于生活中的“高”，學生是有感覺的，如學生所言：高是一條豎直的線段。教師利用學生的生活經驗開展活動，讓學生指出心目中的三角形的高。盡管此時學生對三角形“高”的認識是有經驗的，但這只是認識“高”的基礎。為了讓學生的理論知識具象化，教師分別出示3幅圖，讓學生判斷哪幅圖展示的是三角形的高，并要求學生說明理由。此時，三角形高的要素“頂點、對邊、垂直線段”逐漸在學生頭腦中清晰起來，“頂點到對邊的垂直線段”這句話是理解三角形的高的關鍵。教學中，教師讓學生指出頂點和相應的對邊，使學生感悟到三角形有3個頂點、3條相對應的底邊;接著，教師更換三角形底邊，讓學生思考高的位置，并用三角尺比畫出三角形的高，然后畫出三角形的高。在這個教學環節中，教師給了學生思考的時間和思維轉換的空間：三角形有3條高，高與底邊始終是互相垂直的。從而讓學生走出“高是豎著的”這一生活印象，建立“高是垂直的”數學表象。在“認高”的教學中，教師一方面關照了兒童經驗，充分發掘出“知識原型”，引導學生經歷“橫向數學化”的過程，培養了學生的數學眼光，引導兒童經歷“縱向數學化”的過程，使其認知得到修正，思維得到突破。

三、鏈接經驗，在畫“高”中思維進階

師：你們會把指定底邊上的高畫出來嗎？（如圖5）你們準備用什么工具畫？先動手試一試，然后我請小老師來示范。（學生嘗試畫高）

（學生示范，邊畫邊說畫高的方法）

師：對于畫高，我感覺同學們很熟練，為什么呀？

生：畫三角形的高的方法其實就是過直線外一點畫已知直線的垂直線段的方法，我們以前學過。

師：是的，這個本領其實我們以前就會！看，（把三角形的兩條邊隱去，展示動畫畫高的過程）這不就成了以前畫垂直線段嗎？再請大家畫出圖6中每個三角形底邊上的高。

（師生展示交流：重點交流直角三角形和鈍角三角形的底和高）

師：如圖7，這個三角形的底和高有什么特點呢？

生：這個三角形是直角三角形，底和高本來就是垂直的，所以這條底邊上的高就是那條邊。

生：這條底邊上的高就是和它垂直的另一條邊，如果底是那條邊，高就是下面的一條邊。

師：這兩個同學的發現很有價值，也就是直角三角形中有兩條邊是互為底和高的。

師：它還有第三條高嗎？誰來畫一畫？

師：這條高是哪個底邊上的高？

師：這個三角形有幾條高？這幾條高有什么特點？

生：也應該有3條高，其中兩條高正好和三角形的兩條邊重合。

師：確實，一個三角形的高有3條。圖8中這個三角形的另外兩條高在哪里呢？你們會用尺子來比畫嗎？

師（小結）：三角形都有3條高，有的三角形3條高都在里面，有的三角形兩條邊互為底和高，有的三角形有兩條高在三角形的延長線上。

師：如果知道了底和高，這個三角形能畫出來嗎？它們長得一樣嗎？在圖9中我們來畫一畫。

展示交流：有的學生畫出一個符合條件的三角形，有的學生畫出兩個符合條件的三角形，根據學生的展示與交流，出示圖10。

師：同學們畫的這幾個三角形都符合底是4厘米、高是2厘米的條件。我們是不是只能畫出這幾個符合條件的三角形呢？

生：我發現三角形的頂點不在格子的橫線和豎線交叉點也是符合條件的。

師：很有想法！那三角形新的頂點只要在哪里就是符合條件的？

生：只要在一條直線上。

師：是啊，三角形的頂點只要在一條直線上，高都是2厘米，因為平行線之間的距離處處相等。

師：如果頂點跑外面去了，這樣的三角形符合條件嗎？（動畫形成圖11中的三角形）

生：可以的！

師：還有這邊呢！（如圖12）

師：符合條件的三角形可以畫多少個？

生：無數個！

生：也可以這樣畫！（如圖13、圖14、圖15）

師：這樣符合條件的三角形的確可以畫無數個，它們形狀各不相同，但都是同底等高的三角形。

【思考】要讓學生理解數學知識，教師一定要充分鏈接學生已有的經驗，經歷改造、關聯、應用的過程。會畫三角形的高是本節課學生需要掌握的技能，也是教學難點。然而，畫三角形的高，本質上是和“過直線外一點向已知直線畫垂線”的方法是一致的。教學中，教師沒有直接教學生畫高的方法，而是通過布置任務：你們會畫指定底邊上的高嗎？鼓勵學生自行探索，總結畫法。“對于畫高，我感覺同學們很熟練，為什么呀？”教師有意提問，促使學生發現、聯系：原來畫高和過直線外一點畫垂直線段的方法是一樣的。教師通過動畫的形式將三角形的另兩條邊隱去再畫高，使學生深信：畫高不是新的技能，而是原先經驗的應用。在此基礎上，教師精心設計了在不同三角形中畫高以及畫指定大小的三角形底和高的練習，盡管是經驗的多次應用，但思維與技能層層遞進，促使學生對三角形的高的認識可感、可視、可生長，促使學生知識和技能的逐步深化、思維的逐步進階。

（作者單位：江蘇省無錫市查橋實驗小學）

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