化歸思想在高中數學教學中的應用

陳建友

摘 要：化歸思想是解決問題的一種重要思想，用于高中數學教學中可指引學生盡快地找到解題思路，提高解題效率與解題能力。教學實踐中應基于對化歸思想理論知識的認真學習，做好教學內容的認真規劃，將化歸思想融入相關教學內容中，深化學生對化歸思想的理解，提高學生運用化歸思想解決數學問題的能力。

關鍵詞：化歸思想;高中數學;教學;應用

化歸思想是轉化與歸結的簡稱[1]。一些看似復雜的問題運用化歸進行合理的轉化，可化難為易，柳暗花明，迅速地找到解決問題的切入點。高中數學教學中應認識到化歸思想的重要性，通過理論的講解，化歸思想的具體應用，使學生親身體會化歸思想在解題中的作用，增加化歸思想學習的自覺性，增強化歸思想的靈活應用意識。

一、在零點教學中的應用

直接轉化是進行化歸的常用方法，是化歸思想的具體體現，指將問題轉化為基本定理、基本公式、基本圖形問題[2]。結合自身教學經驗不難得知直接轉化在零點問題中應用廣泛，因此，教學實踐中應注重直接轉化的有效融入，提高學生對化歸思想的認識。

零點是高中函數部分的重要知識點，在高中數學日常測試以及高考中時常考查。相關題型主要有判斷零點個數、判斷零點所在區間等。其中判斷零點所在區間運用零點存在定理進行分析。在進行零點知識教學中為使學生掌握直接轉化的相關細節，應做好基礎知識的講解[3]。課堂上通過鼓勵學生開展自主學習活動，并給予針對性的引導，使學生吃透零點的含義，使學生認識到零點不是“點”，而是一個“數”，從函數角度來看指函數圖像與軸交點的橫坐標;從方程角度來看其是方程值為零的實數根。另外，因直接轉化是將問題轉化后更好地運用零點存在定理，因此，教學實踐中應做好零點存在定理的教學。課堂上從學生熟悉的函數圖像入手，運用多媒體屏幕展示某二次函數的圖像，而后拋出如下問題要求學生思考：1.函數圖像在哪個區間有零點？2.函數圖像存在零點時其有什么特點？3.怎樣使用數學語言刻畫函數存在零點？課堂上如此引發學生思考，歸納出函數零點存在定理，更容易加深學生印象與理解。

待學生理解與掌握函數零點存在定理后，應注重相關例題講解，為學生展示如何運用轉化思想通過函數零點存在定理求解數學問題。例如，課堂上給出三個函數，要求學生比較三個函數零點之間的大小關系。顯然解題時需要將問題轉化為求函數零點所在區間問題，而判斷函數零點所在區間需要運用函數零點存在定理。在該思路指引下，先觀察給出的函數解析式能否直接看出其零點，若不能則運用所學知識先判斷函數單調性，在此基礎上嘗試進行取點，代入到函數解析式之中，比較函數值和零的大小關系，當滿足函數值大于零、小于零時則可斷定零點就在該區間內，最終不難比較出零點的大小關系。

如此先夯實基礎，再借助問題引導學生采用直接轉化分析問題，幫助其積累解題經驗的同時，能夠體會到運用直接轉化解決問題的成就感，以高漲的熱情學習化歸思想。

在數學知識教學中，數學思想貫徹整個學習過程，需要凸顯數學知識主線，加深學生體驗和感悟，深入理解數學內在關聯，走出數學學習的困局，引導學生開展深入學習，為高效課堂奠定基礎。

二、在向量教學中的應用

數與形之間的轉化是化歸思想中極具代表性的化歸方法。高中數學很多問題的解決過程中都能看到數形轉化的身影。高中數學中數與形之間的轉化方法主要有：根據題干創設的問題情境畫出相關圖形，運用圖形性質解答問題;將圖形中的特點轉化為具體坐標，借助坐標運算解答問題。前者體現的是由“數”向“形”的轉化，后者體現的是由“形”向“數”的轉化。

向量是高中數學重要基礎知識，涵蓋的概念與相關運算法則較多。解決向量問題依據的理論為向量的幾何運算、向量的坐標運算以及相關定理[4]。無論是根據問題中對向量的描述畫出對應向量，借助圖形求解相關參數，還是構建坐標系將向量放到坐標系運用坐標運算進行解題，體現的均是“數”和“形”之間的轉化。由此可見，數形轉化是解決向量問題的重要方法。高中數學教學中為使學生能夠靈活地運用數形之間的轉化求解向量問題，應做好這一化歸方法在教學中的滲透。一方面，為學生講解向量的加減運算時應注重設計基礎性問題，及時組織學生開展訓練活動，使學生掌握向量加減運算法則之間的差異，能夠搞清楚畫向量時的起始位置，避免張冠李戴。同時，積極聯系所學的已有知識儲備設計問題，引導學生運用化歸思想，從幾何視角分析向量問題，有效突破其定式思維，更好地激活其解題思維[5]。另一方面，針對部分與向量相關的幾何問題，采用向量的加減運算難以作答時，引導學生及時改變解題思路，構建直角坐標系通過坐標運算進行解答，將向量問題轉化為數學問題進行求解。

例如，課堂上為學生展示求解向量模的取值問題，要求學生思考、作答。部分學生運用數量的向量積以及相關運算法則進行解答，雖然能夠求解出最終結果，但是較為煩瑣。課堂上引導學生運用數形轉化進行分析。學生通過相關運算構建向量相關的內在聯系，畫出已知對應的幾何圖形，結果可直觀地看到向量的模取得最大以及最小值時的情況，運用幾何性質經過簡單的計算也得出了正確結果。

如此開展教學活動使學生體會到了數形轉化在解題中的便利，給其以后解答類似問題帶來良好啟示，使其在以后解題中少走彎路，提高效率。

三、在導數教學中的應用

構造轉化是解決數學問題又一常用的轉化方法。該轉化方法難度較大，需要學生具備良好的抽象以及概括能力[6]。學生一旦找到正確的構造思路，解答問題也就順理成章。構造轉化法能夠解決很多高中數學問題，其中在解答導數比較大小相關的習題時加以巧妙地運用可確保問題得以順利突破。因此，在進行導數部分教學時應注重構造轉化法的應用。

基于以往教學經驗，認識在導數教學中應用構造轉化法時應注重做好以下內容：其一，夯實導數基礎。靈活運用構造轉化法的基礎是牢固掌握與導數相關的概念、運算法則，深入理解其本質。教學實踐中應注重借助多媒體技術通過動態展示直線與函數圖像的關系，使其深入理解導數的真正含義。同時，要求學生采用對比記憶法牢記求導計算公式，尤其復合函數的求導公式，避免記混淆。其二，做好例題展示。為提高學生運用構造轉化解決數學問題的自信心，把握構造的相關思路與細節，應注重為學生講解高考真題，使學生認識到構造轉化法是高考的熱門考點，指引其在構造轉化法的學習上多下功夫，多花精力，爭取掌握不同題型的構造思路。其三，開展專題訓練。為提高學生運用構造轉化法解答導數問題的靈活性，應注重及時組織學生開展專題訓練活動，為學生設計不同的問題情境，學生通過運用構造轉化法，運用函數性質順利地解答，幫助其積累豐富的應用經驗。

例如，課堂上可以給出導函數與導數之間的關系式，要求學生比較不同自變量下的函數值的大小關系。顯然解答該類問題采用常規思路難以有效的突破。課堂上可引導學生認真觀察給出的導函數與導數之間的關系式，聯系記憶的求導計算公式，通過逆向推理構造出新的函數，判斷構造函數的單調性。一般情況下構造的新函數往往是單調的，此時只要比較給出自變量的大小也就得出了對應函數值的大小關系。

導數知識教學中通過構造轉化法的灌輸，提高學生的應用意識。同時，通過開展針對性的專題訓練活動，使學生親身體會構造轉化法的應用過程，通過不斷的揣摩與總結，實現構造轉化法應用水平的不斷提升。

數學是一門系統化的學科，數學知識之間聯系密切，利用化歸思想引導學生感受新舊知識的聯系，通過分析知識之間的聯系和差異，幫助學生完善知識結構，深層次理解數學知識內容。

四、在三角函數教學中的應用

能夠體現化歸思想的方法較多，其中換元法時常被應用在解題中。學生對換元法并不陌生，在以往的數學學習過程中多少有所接觸。運用換元法解答數學問題，可減少參數個數，能夠直觀地揭示參數之間的內在聯系，使得復雜問題變得簡單化[7]。高中數學教學中為使學生牢固掌握換元思路、換元技巧以及換元細節，應在講解高中數學知識時有針對性地灌輸換元法。

三角函數是高中數學中的重要函數類型，屬于一種有界函數。部分高中數學習題并不是直接考查三角函數性質，而是將三角函數與其他函數進行復合，考查學生綜合分析問題的能力。解答該類問題的常用方法為換元法。實踐中為提高學生運用換元法解題的正確性，一方面，考慮到部分三角函數習題并不是直接能夠換元轉化，而是要求學生運用三角函數恒等式進行相關的轉化運算后才能進行換元，因此教學實踐中通過與學生進行互動，使學生掌握三角函數的恒等變形公式。在此基礎上為學生講解換元法解答三角函數問題時的注意事項，即將三角函數的定義域考慮在內，保證換元的等價性。同時結合具體例題講解，使學生認識到換元前后保持等價的必要性，否則可能得出錯誤結果。不僅如此，為更好地加深學生印象，應注重教學思路的創新，尤其在講解相關習題時可故意示錯，要求學生認真觀察解決過程，思考換元法應用得是否正確。當發現解題錯誤后要求其進行改正，如此能夠加深學生認識，提醒其避免以后犯下類似錯誤。

例如，在課堂上為學生展示以三角形為背景的三角函數問題，為學生講解如何進行換元，如何進行解答等。當然在解題的過程中可故意出錯，如在換元的過程中沒有考慮某一角度是否滿足構建三角形的條件，而得出錯誤結果。課堂上給學生預留思考討論時間，分析使用換元法解題的過程是否正確，如果錯誤該如何改正等。學生認真觀察，聯系所學不難得出換元前后并不等價，如此啟發其在換元的過程中一定要認真分析自變量范圍。如此將換元法融入三角函數教學中并通過示錯，提醒學生運用換元法轉化的注意事項，可給學生帶來不一樣的學習體驗。

五、在立體幾何教學中的應用

動靜轉化是一種解決高中數學運動類問題的重要轉化方法。眾所周知，高中數學部分習題會涉及一些運動的元素，對學生的想象能力要求較高。在動靜轉化解題方法指引下，運用所學分析運動對象與靜止對象之間的內在聯系，借助一些靜止對象便可順利解決問題。高中數學教學中應認識到動靜轉化在高中數學哪些知識點中應用較為廣泛，做好充分的教學設計將該化歸思想滲透教學的各個環節中，使學生牢固地掌握動靜轉化的常規處理方法[8]。

立體幾何是高中數學的重要知識點，習題情境更是復雜多變。其中點、線、面運動相關習題時常在測試以及高考中見到。針對這一情況，立體幾何教學中應注重動靜轉化知識的講解。一方面，注重運用多媒體技術為學生講解動靜轉化的相關例題，通過多種角度動態地展示運動對象的運動過程，使其對創設的問題情境有更為清晰的認識，更好地把握運動對象的運動規律，在頭腦中清晰地構建相關運動模型，尤其通過動靜轉化順利求解問題，使學生樹立動靜轉化的意識，不至于在解答相關問題時一頭霧水。另一方面，課堂上注重給學生預留空白時間，引導學生圍繞動靜轉化開展學習與討論活動。總結動靜轉化常用的數學知識點、動靜轉化常用的轉化思路等。

例如，在課堂上為學生展示動點在正方體棱上運動的問題并且在運動的過程中滿足一定條件，要求某一立體幾何圖形體積的最值。講解該問題時可借助屏幕為學生直觀展示動點的運動路徑，給學生帶來視覺上的沖擊，使其在思考的過程中更具方向性與目的性。學生通過觀察可以看到動點運動時達到某一點，立體幾何圖形體積達到最大或最小。而后要求其使用立體幾何知識進行證明。如此進行教學便完成動靜之間的轉化，即將運動的點轉化為靜止的點，根據立體幾何圖形體積計算公式便可順利解答。如此將動靜轉化融入立體幾何知識教學中可增加學生解答運動類數學問題的自信心，為其數學解題能力的提升打下堅實基礎。

在化歸思想應用時，應當遵循數學化、熟悉化以及簡單化的原則，通過對數學知識和問題進行觀察，借助化歸思想實現復雜問題向簡單問題的轉化，借助直觀的展示，使得數學知識更加形象，提高課堂學習效果。

結束語

化歸思想在高中數學中占有重要地位。很多數學問題的解答都離不開化歸思想的有力支撐。高中數學教學實踐中應注重總結化歸思想常用的轉化方法，并結合教學內容的講解，使學生扎實地掌握，并在解題中加以運用。文章探討了零點教學、向量教學、導數教學、三角函數教學、立體幾何教學中融入直接轉化、數形轉化、構造轉化、換元轉化，以及動靜轉化等轉化方法獲得良好效果，可結合實際情況加以借鑒。

參考文獻

[1]趙芳.淺談化歸思想在高中數學教學中的應用[J].試題與研究，2022（1）：28-29.

[2]舒華瑛.轉化與化歸思想在高中數學解題教學中的應用研究[J].延邊教育學院學報，2021，35（6）：190-195.

[3]王明建.數學思想在高中數學教學中的應用[J].廣西教育，2021（26）：124-125.

[4]王勃.化歸思想在高中數學解題過程中的應用[J].吉林教育，2021（15）：75-76.

[5]張海鵬.化歸思想在高中數學教學中的應用[J].高考，2020（36）：54-55.

[6]王成強.化歸思想在一類函數問題中的應用[J].中學數學研究，2020（11）：44-46.

[7]李德愿.化歸思想在高中數學教學中的應用[J].數理化解題研究，2020（27）：8-9.

[8]蔡娟蘭.淺議化歸思想在高中數學解題過程中的應用[J].黑河教育，2020（7）：18-20.