添加“數學符號” 架設思維橋梁

葛水忠

一、學生數學學習現狀分析

部分學生在數學學習過程中常常做錯題，可能是他們的觀察、記憶、思維等能力偏弱導致。比如：（1）記憶能力偏弱。部分學生記憶能力較差，特別是短時記憶保持的時間較短，嚴重影響正常思維的發散。（2）思維出現斷層。由于部分學生對知識理解片面、受思維定式影響嚴重、思維呆板，在解決問題過程中出現知識銜接障礙。學生概念模糊，分析問題不全面，受思維定式影響，往往接收不到正確的信息，導致推理失敗。針對以上存在的問題，添加“數學符號”既能及時彌補學生遺忘的“支架”，又能預防學生出現思維斷層，從而提高學生理解和獲取信息的能力，幫助學生思考問題、解決問題。

二、小學數學教學添加的“數學符號”

本文的“數學符號”是指針對某一具體數學問題，由學生或師生共同創作，使用的數字、字母、運算符號、關系符號以及字數較少的其他文字、圖形、表格等數學元素、數學信息，不是常規意義上的數學符號，而是比常規數學符號的范圍更廣。由于部分學生短時記憶保持的時間較短，思維常常被打斷而出錯。思維可視理論認為可以將原先看不見、摸不著的思維借助某種形式全部或部分呈現出來，彌補了短時記憶保持時間短的缺陷。思維具有非常豐富的內涵，它包括個體思考的維度、思考過程等豐富的心理活動，需要依托圖示、圖示組合、語言等形式展現出來。根據思維可視理論，可以將知識從“抽象”變成“具體”，從“難以理解”變成“易于表達”，從“隱性”走向“顯性”，使獲取的知識融會貫通。添加“數學符號”好像給思維建立了一個個橋墩，便于學生架起思維的橋梁，使學生的思維朝著正確的方向順利地解決問題。

三、“數學符號”的頂層設計

（一） 創設添加“數學符號”的雙路徑模式

1.“數學符號”的縱向模式

思維可視理論認為：學習者是主動在腦中建立圖式，并能依據新信息不斷地修改與完善;圖式的建構依賴于主體的經驗和認知加工的過程。添加“數學符號”的運用與完善過程大致是大腦（思維）—手（寫畫符號）—眼（看符號）—大腦（思維）的循環過程，即用符號思考——運用腦、眼、手和符號之間的互動。

2.“數學符號”的橫向模式

要使學生較好地添加“數學符號”，將數學思維真正內化成自己的解題策略，隨時隨地能應用，教師應當深入挖掘添加“數學符號”建構的路徑，幫助學生形成完整的建構體系。筆者認為可以通過以下幾方面進行添加“數學符號”的建構。

（1）學生學會模仿教師添加“數學符號”的示范，提取同類型題的數學信息，再基于自己的理解將獲取的信息添加“數學符號”。（2）教師與學生合作添加“數學符號”，針對教學難點，教師引導學生并共同商量確定，添加合適的“數學符號”。（3）學生自主添加合適的“數學符號”。學生已經經歷很多給題目添加“數學符號”的過程，已經具備添加“數學符號”的能力，也可以創造有個性的“數學符號”。

（二）添加“數學符號”的內容

通過整理，筆者發現添加“數學符號”提高解決問題的能力的范圍很廣。從教學內容上來說，添加“數學符號”不僅可以增進學生對“數與代數”及“幾何與圖形”等內容的理解，還能增強對“綜合實踐”等內容的理解。從類型來看，添加“數學符號”不僅可以促進學生理解數學概念，還能促進學生理解數學問題，從而更好地解決問題。

（三）“數學符號”的類型

以學生添加“數學符號”的功能為劃分標準，筆者將添加“數學符號”分為以下三類： 解析型“數學符號”、提示型“數學符號”、橋墩型“數學符號”。

1.解析型“數學符號”

解析型“數學符號”主要應用于對數學問題的條件與問題的分解與解讀。學生解題難，有時候就難在無法正確辨析句子的要求，閱讀審題能力欠缺。解析型符號的存在能幫助學生將隱性的條件信息“顯性”化，從而降低了解題難度。

比多比少問題是學生常見的基礎性問題，但是很多學生解題時頭腦中并不清楚究竟誰多、誰少，對題意的理解模糊導致解題錯誤。上圖用〇和漢字“大”“小”的標注法，讓學生明確題目中誰是較大數，誰是較小數，這樣就容易列出正確的算式。

2.提示型“數學符號”

提示型“數學符號”，針對易錯點，讓學生明確解題思路，提醒學生使用正確的方法解決問題。有時候學生解決問題前在大腦中要先想起一些公式、計算方法、計算目的等，這樣才可以正確地解決問題。部分學生只是憑一些零碎的經驗就列式解答，往往容易出錯。提示型符號能幫助學生回憶公式、計算方法、計算目的，把隱性的要點“顯性”化，使學生熟記這些數學要點，理清解題思路，掃清解題障礙。

3.橋墩型“數學符號”

橋墩型“數學符號”，主要是為了避免學生在思考較復雜的問題時因短時記憶保持較短而容易出錯，而添加的中間結果或其他符號。有些問題需要學生把每一步思考過程都在腦子里完成，部分學生短時記憶能力較差，在解決問題時顧此失彼，思路常常被打斷。他們在思考下一步時忘記了上一步的結果，如果學生能在適當的位置把這個中間的結果記下來，可以使學生減少錯誤。添加“數學符號”能使思考過程顯性化，學生看到添加的“數學符號”，能從這些“數學符號”出發再次開始思考、推理與操作，這樣可以大大減少出錯的可能。

例如，約分344÷4時，學生容易忘記了34÷4的余數“2”。學生可以在十位4下面添加余數“2”，方便學生把2與個位上的4合成24，再除以4。這個“2”就是我們所說的“橋墩”，它連接了34÷4商8余2和24÷4=6，使學生的思路得到暢通。

四、添加“數學符號”的教學實施策略

策略一：要針對易錯點添加“數學符號”

不要為了添加“數學符號”而添加，添加“數學符號”應該是有目的、有效果的，或是為了解析問題，或為了預防學生出現思維斷層而提示學生，或為思維增設必要的“橋墩”。學生在解決不容易出錯的問題時就不需要添加“數學符號”。遇到易錯點，教師和學生要想方設法添加合適的“數學符號”。添加的“數學符號”應當對減少錯誤、突破難點起到有效的作用。

策略二：添加“數學符號”要醒目，要能及時提示學生思考

添加的“數學符號”不能過小，使學生比較容易找到需要的信息，及時提示學生，方便學生繼續思考。我校D老師教的是二年級兩個班的數學課。其中202班（對照班）學生用教材上的方法計算多位數退位減法，201班學生用添加新的“數學符號”的方法計算。教材上的方法是：不夠減時，讓學生在前一位被減數上寫一個點，表示退一。這是傳統添加的“數學符號”，但是添加的“數學符號”不夠明顯，學生容易遺忘。添加新的“數學符號”是這樣的：不夠減時，讓學生劃掉前一位的被減數，并把前一位被減數減一的差寫在前一位上面，接著劃掉本數位的被減數，并把十加本數位被減數的和寫在本數位上面，然后開始分別相減。

照教材上學生添加的“數學符號”只是一個小小的點，學生容易遺漏，而新方法中學生添加的“數學符號”是劃掉了原來的數字，學生不會再用原來的數字去減，從而避免了錯誤。

策略三：添加“數學符號”要簡單易寫

在添加“數學符號”時，要允許學生寫得少一些，讓學生樂于添加“數學符號”，以便學生養成添加“數學符號”的良好習慣。

解答多步計算數學問題時，讓學生在每一個算式前添加該算式要計算的名稱或方法。一些聰明的學生往往明白在解決問題時自己每一步解決的是什么，而有些學生往往是通過問題中的個別信息來回答。添加了這些名稱或方法，使學生的思維有條有理，明確接下來要計算什么，為學生的思維提供正確的方向。在添加名稱或方法時不必要求添加的內容全面。在添加時，允許只寫一個字，如右題：先求長與寬的總數就寫“總：”或者“長+寬：”，再求長方形的長，就寫“長：”，然后求長方形的寬，就寫“寬：”，最后求長方形的面積，就寫“面積：”。

添加的“數學符號”多與少，這個需要根據每個學生的學習能力來確定。學習能力強的可以少寫甚至不寫，學習能力弱的要多寫，鼓勵他們把更多的思考過程寫下來。

策略四：及時拆解支架

良好的學習習慣需要長時間的培養，要養成學生添加“數學符號”的良好習慣，最好是在教學新內容時，一開始就要求學生添加“數學符號”。因為起初不添加“數學符號”，等到學生習慣了，他們就不主動、也不習慣添加了。比如圓柱和圓錐體積相等，底面積也相等的時候，通過回憶推導圓錐體積公式的實驗，畫出圓錐壓扁后的圓柱圖，使學生明白等底等積時圓柱高是圓錐高的1/3。并要求每次練習同類題目都畫上圓錐壓扁圖，使之變成習慣，使學生不斷加深圓柱和圓錐的關系而且及時提醒學生圓柱與圓錐的高之間的關系。

但是等到學生能比較熟練地分析問題、解決問題以后，就不必要求學生添加“數學符號”，而且教師要有意識地逐漸拆解思維的支架，培養學生的記憶能力和思維能力。學生一旦熟練數學問題以后，也懶得寫“數學符號”，教師就不必要求學生一定添加，如果教師硬性要求，學生往往有逆反心理，這樣就得不償失了。一部分學生很熟練，還有一部分學生不熟練，可以讓熟練的學生不添加“數學符號”，而讓不熟練的學生繼續添加。有些學生往往非常依賴添加的“數學符號”，一下子不添加了，錯誤又增加了。教師可以先讓這些學生少寫些“數學符號”，逐漸過渡到全部不寫。