類比推理在高中數學教學實踐中的應用路徑探析

周培紅

摘 要：數學是一門實用性較強且較為抽象的科目，對學習者的邏輯思維能力有較高要求。隨著教育改革的不斷深化，在高中數學教學中培養學生的邏輯思維已成為廣大教師共同關注的重點。類比推理是一種高效性的思維方式，在高中數學教育與學習中的應用較為廣泛，對促進學生思維發展及學習能力大有裨益。在實踐中教師應充分遵循高中生的身心發展特點，探尋類比推理在高中數學教學活動中的新路徑，實現教學質量的穩步提升。

關鍵詞：類比推理;高中數學;教學實踐;應用

類比推理是數學思維中的典型的邏輯推理思維方式，熟練掌握類比推理對學生理解數學公式、構建良好的數學知識體系、搭建理想思維模型有著重要的指導作用。當前，部分教師在類比推理方法的應用中仍有問題亟待解決，本文將對類比推理在高中數學教學實踐中的應用策略進行深入探究，以期實現理想化的教育目標，促進高中數學教學質量的有效提升。

一、類比推理簡介

由兩類對象具有的某些相近特征和其中一類對象的已知特征，所推理而出的另一類對象也具有此種特征的推理被稱為類比推理。如在探索求三角形面積公式的時候，學生可以利用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形。在探索梯形面積公式的時候，學生可以采取類比推理的方式，在沒有外界指導的情況下自主進行探究，將兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形，推導出求梯形面積的公式，這樣一來，知識探究思路變得更加清晰明朗。由此可見，類比推理的方式能夠幫助學生建立良好的數學思維體系，對各知識點的連接產生深刻的印象[1]。

二、類比推理在高中數學教學實踐中的應用困境

類比推理在高中數學教學實踐中有著不可忽視的地位，通過類比推理法能夠有效幫助學生搭建知識框架，完成知識的內化與理解。然而，受到現實因素的影響，部分教師在類比推理的應用中卻出現了許多問題。

從宏觀角度分析，數學是一門演繹歸納為一體的學科，部分教師常會借助教材中“推理與證明”一章，進行類比推理知識內容傳授，在其他章節中并未重視類比推理思維培養的重要作用，最終導致學生對類比推理只停留于課本的例題當中，沒有掌握并建立良好的類比推理的數學思維。

除此之外，受到傳統教育理念的影響，高中階段的大部分學生在數學課堂中常常過于依賴教師的講授，并未形成系統性的學習方法。這樣的情況下，學生想要有效實現類比推理的應用，還是較為困難的。許多學生在問題解決過程中對類比推理的基本概念模糊不清，不能及時將題目中的詞句結構進行對比分析，無法達到類比推理的運用效果。

基于以上對類比推理在高中數學教學實踐中的應用困境分析，想要實現類比推理的有機滲透，培養學生的數學思維，幫助其構建良好的知識框架，仍需教師深入研討，對高中生的身心發展特點、學習能力以及類比推理教學方法進行剖析整合，借此提升類比推理的應用價值，促進高中數學教學質量的有效提升[2]。

三、類比推理在高中數學教學實踐中的作用分析

（一）有助于對學生自主學習能力的培養

類比推理主要是借助兩個事物之間的相似之處進行推理，此種推理方式能夠幫助學生在學習的過程中逐漸開辟新思路、掌握新方法。經過長期訓練后，學生將會養成良好的類比推理思維，在解題過程中巧妙利用過往所學知識解決新的問題，解題的過程充滿趣味性，能夠使學生的創新能力以及創新思維得到有效的激發。當學生在采用類比推理法解決問題后，他們將會從中收獲成功的喜悅，學習自信心也逐漸被激發，長此以往將會使學生養成獨立自主的探究習慣，利用類比推理的方式完成基礎知識的學習與應用。

（二）促進學生對知識的全面理解

在類比推理中，學生需要將過往所學知識掌握透徹，才能夠更好地完成新知的推理。在此過程中，許多學生都會發現自己在過往知識學習中的疏漏，使得探索新知達到對舊知識進行鞏固的效果。通過這樣的方式，能夠幫助學生在類比推理的過程中搭建新知識與舊知識間的橋梁，更好地完成知識的遷移與運用，加深學生對所學知識的印象與理解，促使其更為系統性地掌握知識結構，遇到難題能夠采用類比推理的方式輕松化解。

（三）有助于學生創新思維能力的培育

在使用類比推理進行教學的過程中，學生將會在推理時產生新思路、新想法，思維能力相對于傳統課堂內也有著顯著的提升。類比推理法在不同練習題目中所采取的推理手段各不相同，能夠有助于學生從多角度更為全面地對數學問題進行思考。在類比推理的過程中，學生將會結合過往所學知識點與新的知識相關聯，極大限度地提升其解題速度，使得難題更易于突破。對正值黃金發展時期的高中生而言，采取類比推理的手段能夠幫助其在訓練中有效實現創新思維能力的培養與提升，對其日后學習發展大有裨益。

四、類比推理在高中數學教學實踐中的應用策略

類比推理是串聯新舊知識的紐帶，同時也是培養學生探究能力和創新能力的有力工具。那么，在高中數學教學實踐中如何更好地運用類比推理呢？筆者將結合實際教學案例提出類比推理在高中數學教學中應用的幾點建議，以期為廣大數學教師提供借鑒與參考。

（一）準確把握類比推理應用原則

培養以類比推理的方式解決問題是高中數學教學的重要目標[3]。想要更好地開展類比推理教學，教師應充分結合高中生的身心發展特點及認知能力，準確把握類比推理應用原則，對教學目標、教學過程予以重視，幫助學生盡快適應類比推理應用原則的應用方式，使得類比推理充分融入課堂之中。

以高二數學選擇性必修第二冊《等比數列》一課為例，結合教學內容，教師基于類比推理思想設定如下教學目標：

[知識與技能]

1.掌握等比數列的定義，在實際問題中利用合理手段判斷數列是否為等差數列。

2.了解等比數列的通項公式及推導過程，能夠利用通項公式解決實際問題。

[過程與方法]

利用類比推理的方式經歷等比數列探究過程，培養學生類比推理思維，提升其總結歸納能力。

[情感與態度]

1.通過對等比數列定義的探究，幫助學生在解題過程中養成細心觀察、善于總結的良好行為習慣。

2.利用等比數列通項公式提升學生求知探索精神，體會特殊函數的意義。

羅列教學目標后，為充分調動大家的課堂參與熱情，教師可巧妙利用情境創設的方式，結合生活中的事例引入新課。

受網絡系統的影響，B國計算機系統受到別國黑客攻擊，由第一輪攻擊開始，每一輪有一臺計算機受到病毒的植入影響，此臺計算機能夠同時感染二十臺計算機。

問：在不重復的情況下，被病毒感染的計算機數構成的數列是什么？

【教學設想】以問題為導向利用生活中的常見情境進行導入，能夠充分激發學生的探知欲望，使得數學更加貼近生活。

結合學生通過計算所反饋而來的答案，教師列舉幾組數列并引入等比數列的基本概念，當學生完成概念學習任務后，教師結合教學內容引出例題，并為學生提供解題思路。

[解題思路]

部分學生剛接觸等比數列問題時常會出現思緒混亂的情況，面對較為復雜的題目內容無法及時找出其中重點信息。教師所提供的例題所考查的是等差數列與等比數列的性質類比。教師應有意識地引導學生利用類比推理思想回顧所學等差數列知識，采取類比推理的手段，針對題干給出的信息回憶等差數列與等比數列的性質，進行類比推理，隨后得出問題答案并進行反向求導。不難發現在今年高考例題當中，對等差等比知識點的考核多由已知左右式的各項特征作為類比重點，要求學生對概念性質具有較為深刻的認知與理解。

案例中教師在明確教學目標后，始終秉持著類比推理的思想，重視等差數列與等比數列知識點間的聯絡，提供相關例題后為學生梳理解題思路，有效幫助學生掌握類比推理的運用，逐漸實現思維的延伸與拓展，幫助大家對“數列”這一章的知識內容產生更為深刻的認知與了解。

（二）將類比推理運用于概念教學

類比是數學發現的重要源泉，數學中許多定理、公式和法則都是通過類比推理而提出的。在高中數學教學當中概念是知識結構的重要組成部分，與公式及定理密切相關。在實際教學中教師應有意識地引導學生在概念學習當中結合類比推理思想，將概念視為一個龐大的整體，搭建更為完善的知識體系，借此幫助其厘清思路，降低概念學習的難度。

以高一數學必修第二冊《平面向量及其線性運算》為例，本課重點內容在于向量加減法的運算及其幾何意義以及實數與向量積的意義及運算定律。對于高中生而言，本章知識的學習較為困難，許多同學在運算過程中時常會遇到困惑與不解。針對學生在此板塊學習中廣泛出現的問題，教師應有意識地采用類比推理方法，幫助學生在實踐中利用類比推理正確理解向量相關概念。

1.向量的相等與平行

在課程開始前教師應以問題為導向，考查學生對于“向量”概念知識的基本理解，引入教材圖片內容，促使學生對“位移”與“向量”之間的關系進行重溫。

在復習鞏固完畢后，教師結合平行線定義類比向量的平行，引出向量平行概念，以類比推理的方式幫助學生明確“兩個非零向量的方向相同或相反”這一向量平行的基本概念。為進一步幫助學生鞏固所學知識，教師利用教材中的練習A板塊題目，指導學生嘗試利用平行線定義進行推理，確定其中相等及相平行的向量。

2.向量的加法

向量加減法是專題中的重點教學內容，許多同學都會被復雜的知識內容所迷惑，在多向量相加的解題過程中無法及時求得正確答案。教師可通過實例證明引入類比推理，帶領學生共同回憶所學“結合律”知識，將結合律法則與向量加法相類比，推理求得多向量任意相加的順序。通過這樣的方式，復雜的向量相加知識即可迎刃而解，學生也能夠在此基礎上進一步對結合律概念進行復習與鞏固。

3.向量的減法

與上述向量加法類比推理相同，教師可利用相反數的定義，引出相反向量概念，幫助學生通過直觀的類比轉換方式迅速掌握較為煩瑣的向量減法知識。

通過類比推理的方式，在向量章節的學習過程中，在教師的指引下，學生能夠利用平行線定義、結合律法則、相反數的定義等相關知識類比推理掌握向量的相等與平行、向量的加法、向量的減法等重點概念知識，有效達成既定教學目標，使學生的類比推理思維有所提升。

（三）將類比推理運用于練習解題

隨著教育改革的不斷深化，結合時代需求，數學這一門科目的高考考查重點也發生了相應的轉變。在高考中命題的趨勢與導向也做出了相應調整，重點在于檢驗學生的邏輯思維能力以及推理能力。為此，在實際教學當中，教師應有意識地結合教學內容引入新高考題型，帶領學生共同剖析、類比、探究，幫助其在解題過程中建立類比推理的思維，掌握類比推理在問題解決中的應用，以此幫助學生提升解題速度，為參加數學高考做好準備。

以高一數學必修第四冊《復數的運算》為例，本課重點內容在于復數的加減法、乘除法運算，以及共軛復數的基本概念。近年來復數這一知識點在高考題型中占據一定比例，許多學生由于基礎概念掌握得不夠扎實，在計算中極容易出現錯誤。在復數的加法學習中，教師可結合教學內容引入加法交換律與結合律相關知識進行類比推理，使學生明確復數的加法運算滿足交換律與結合律這一基本概念。

為便于學生理解與把握類比推理在復數的運算中的通用法則，教師應結合新高考背景下各地區經典例題進行講解，重點羅列考查復數概念的掌握以及復數加法運算知識的相關題型。根據教師所提供的題目，學生利用所學知識嘗試進行計算訓練，由教師為大家進行計時。經測驗，學生在計算中普遍花費時間較長，倘若在實際高考中極容易出現時間不夠無法完成全部題目的現象。由此問題，教師巧妙地為大家介紹類比推理方法，針對例題結合“分數的分子分母同時乘或除以一個不為0的數字，分數的大小不變”這一知識點進行類比推理，通過類比推理的方式能夠快速求出等式答案，相對于傳統求導方法便捷許多。在教師的引導下，學生開始嘗試利用類比推理思想完成后續訓練任務，甚至還有部分學生舉一反三，將此種方法運用到復數的三角形式及其運算中，結合任意角余弦、正弦定義進行類比使計算變得更為便捷流暢，建立三角形定理與復數的三角形式知識點之間的聯系。另外，在講指數冪的運算中，由初中指數的整數范圍拓展到全體實數，雖然說是擴大范圍，其實是類比初中冪的運算，也是一種類比的思想。通過這樣的方式學生在訓練中逐漸掌握類比推理的精髓，在實踐中不斷深化推理思想，最終實現學習能力的有效提升。

上述案例中可見類比推理方式能極大限度地簡化解題過程，在日常解題練習中，教師應在用此種手段幫助學生建立良好的類比推理思維，掌握類比推理解題方式，為日后參加新高考做好準備，逐漸在訓練中提升學生的解題能力[4]。

（四）將類比推理運用于幾何實例

實踐是檢驗真理的唯一標準，紙上談兵的類比推理是遠遠不能夠達到理想化的教學目標的。幾何是高中階段數學學習中的重點，在高考中有較大分值，“得幾何者得天下”，由于幾何知識較為煩瑣、復雜，許多學生在此章節的學習過程中都難以及時掌握所學知識，久而久之將會造成知識的堆砌，嚴重影響學生數學素養的全面發展。針對這一現象，教師可巧妙地在幾何板塊教學當中引入類比推理，幫助學生建立新舊知識的連接，在舊知識的指引下完成幾何學習任務，使復雜的幾何知識變得更為簡便，便于學生的理解與掌握。

以高一數學必修第四冊《平面的基本事實與推論》為例，通過本章的學習，學生已經對立體幾何具有初步的了解，為進一步發展學生的空間思維，教師可在課堂中開展幾何訓練活動，幫助學生在活動中夯實基礎，不斷提升自身解題能力。

教師帶領學生共同觀看大屏幕中所呈現的例題，此道例題中的條件因素較為復雜，為便于學生理解與掌握，教師可采用類比推理的方式適當對學生進行提點。

師：“同學們請看本題，從題中我們能夠收集到哪些信息？哪位同學嘗試回答本題重點要考查哪些知識點？”

生：“平面到空間的推論。”

師：“很好！既然已經知道所考查的重點，結合題意，在此類問題中大家可根據類比推理的思路，由平面中的性質出發，類比其在空間中相似的體的性質，根據三角形面積比可推斷……”

經教師的引導，學生恍然大悟，緊隨教師的思路得出推斷：根據兩三角形面積之比類比推理得知：空間應是體積之比。這一發現使學生的思路得到有效的拓寬，大家紛紛根據教師的指導嘗試利用類比推理的方法解析題目。

經過上述類比推理方法的引入，學生產生了全新的幾何解題思路，教師順勢出示下一道題目，引導學生根據題目中的關鍵線索寫出斜三棱柱的三個側面積與其中兩個側面所成二面角之間的關系式。在較為深層次的習題訓練當中，學生根據教師所傳授的類比推理方法猜想，類比三角形的余弦定理進行猜想迅速完成二面角之間的關系式結論。結合學生所給定的答案教師進行批閱，針對學生在解題中所頻繁出現的誤區進行講解。通過長期培訓，能夠幫助學生在類比推理中順利掌握幾何知識，建立完善的思維體系。為充分激發學生的參與意識，在班級內教師也可結合教學內容開展知識競賽活動，以小組為單位參與，幫助大家在解題中建立良好的類比推理思維，在濃厚的學習氛圍中實現教學質量的有效提升。

不難發現，將類比推理運用到復雜的幾何學習當中，能夠幫助學生順利走出幾何求導誤區，在類比中建立幾何知識與其他知識點的聯系，深刻理解幾何板塊在高中數學學習中的重要作用。

（五）將類比推理運用于知識整合

數學的學習具有一定的層次性規律，在學習新知的過程中不斷擴充并完善知識脈絡，量的積累將會有效達到質的飛躍。教師應充分發揮類比推理手段的優勢，幫助學生構建更為完善的知識脈絡，在類比的過程中建立新舊知識的聯系，實現自身綜合素養的有效提升。除此之外，為使學生養成科學、規范的復習習慣，教師也可鼓勵大家嘗試利用思維導圖的方式呈現，借機強化學生的學習能力。

以高二數學選擇性必修第二冊《條件概率與事件的獨立性》為例，在本章節中包含了條件概率、乘法公式與全概率公式、獨立性與條件概率的關系等相關知識。在進行乘法公式章節鞏固復習時，教師可借助教材中所給定的練習題目，對題目信息進行適當轉化，形成新的題目來引導學生進行訓練。

習題1.劉剛想要撥打訂餐電話訂購午飯，但在電話簿中，訂餐電話的最后一位數已經變得模糊不清，所以他想采取隨機撥號的形式進行嘗試，如何才能求出吳剛嘗試兩次都撥不對的電話號碼的概率？

在問題的導向下，學生進行實踐與嘗試。在計算完成后向教師給出自己的答案以及解題思路。結合大家的反饋，教師發現大部分學生都會采用乘法公式進行求導（如方法1）。

方法1.根據條件概率計算公式：用圓形符號代表→第一次未能撥打正確、用三角形符號代表→第二次未能撥打正確，輕松求出無法撥通電話號碼的情況有九種，利用乘法公式計算得出概率。

這樣的解法較為常見但稍顯復雜，部分學生所花費的計算時間較長。針對這種情況，教師提問其他同學是否有其他的解決方案？在教師的引導下，少部分學生發現此類問題也可采用類比推理的方式（如方法2）。

方法2.借助排列組合知識，將問題巧妙地轉化成為“將十個數字排列成數字不重復的兩位數，求某個特定數字不出現的概率”。這樣一來順利求出概率等式，與其他同學利用乘法公式計算得出概率結果相同。

為進一步鞏固學生復習成果，幫助其實現問題舉一反三能力的提升，教師也可由此例題引出思考性問題：上述習題中采用類比推理的方式利用排列組合解答較為便捷，那么什么情況下利用乘法公式能夠更具優勢呢？由此激發學生的探究意識。

將類比推理運用于知識整合當中，能夠極大限度地提升學生對知識的理解與掌握，在復習中建立新舊知識的鏈接，在腦海中構建完善的知識體系，達成理想的學習目標[5]。

結束語

綜上所述，將類比推理運用于高中數學教學當中，能夠幫助學生通過知識點所存在的異同對比，在準確凝練知識點相同屬性的基礎上，輕松便捷地掌握新知。鑒于類比推理的優勢，教師應酌情將其引入教學當中，發揮類比推理的實際作用，實現教學質量的穩定提升，促進學生學科素養的形成與發展。

參考文獻

[1]趙勤，鄭寶生.把握數學本質豐富教學內容提升課堂品位：《類比推理》課堂教學與感悟[J].中學數學研究，2020（9）：9-11.

[2]黨麗娟.類比推理在高中數學教學中的作用及應用方法[J].成才之路，2020（13）：109-110.

[3]楊紅生.類比推理在高中數學核心素養生成中的應用[J].數學大世界（上旬），2019（12）：95.

[4]譚愛軍.類比推理在高中數學解題中的應用研究[J].中國多媒體與網絡教學學報（下旬刊），2019（7）：249，251.

[5]許桉基.學好高中數學的幾個關鍵因素分析[J].數學學習與研究，2019（6）：157.