方案問題中的分析小妙招

王新華

在一次數學實踐課上，同學們開始分組討論生活中的購物方案問題.

提出問題

第一組林琳：上學期第一次購買1本A類書和3本B類書共花35元;第二次購買2本A類書和1本B類書共花20元. 下學期準備購買這兩類書共15本，且A類書的數量不高于B類書的數量，買書的花費不得多于125元，會有哪幾種購買方案？

解決問題

第五組雯雯：我先利用方程思想求兩類書的單價：設A類書的單價為x元，B類書的單價為y元，根據“購買1本A類書和3本B類書共花35元”“購買2本A類書和1本B類書共花20元”，可列二元一次方程組[x+3y=35，2x+y=20，]解得[x=5，y=10，]即可得出A，B兩類書的單價分別為5元和10元. 再利用不等關系求未知量的取值范圍：設購買A類書m本，則購買B類書（15 - m）本，根據“A類書的數量不高于B類書的數量，買書的花費不得多于125元”，可列一元一次不等式組[m≤15-m，5m+10（15-m）≤125，]解得[5≤m≤7.5]. 由m為正整數，可知m為5，6，7. 因此，共有3種購買方案：方案1是購買A類書5本、B類書10本;方案2是購買A類書6本、B類書9本;方案3是購買A類書7本、B類書8本.

第四組小銘：我想知道3種方案中，哪一種方案最省錢，誰來告訴我？

第二組小張：方案1需要 5 × 5 + 10 × 10 = 125（元）;方案2需要5 × 6 + 10 × 9 = 120（元）;方案3需要5 × 7 + 10 × 8 = 115（元）. 顯然，方案3最省錢.

第三組方芳：設買書總費用為W元，A類書買[m]本，則W = 5m + 10（15 - m） = -5m + 150，對-5m + 150來說，150減去的數越大，總費用就越小，即W隨x的增大而減小. 因為[5≤m≤7.5]，所以當m = 7時，W取最小值，此時15 - m = 15 - 7 = 8. 顯然，購買A類書7本、B類書8本時，花費115元，此方案最省錢.

提出問題

第二組俐俐：我們小組帶來一些新書，組內相互借閱. 如果每名同學分3本，那么余8本;如果每名同學分5本，那么就有一名同學分不到3本. 請問：我們小組共有多少名同學？

解決問題

第四組小奇：可以直接設元求解，設第二小組有x名同學，根據“如果每名同學分3本，那么余8本”得出小組共帶來（3x + 8）本新書，根據“如果每名同學分5本，那么就有一名同學分不到3本”，列不等式組0 ≤ （3x + 8） - 5（x - 1） < 3，解得5 < x ≤ 6.5，根據人數x為整數，可知小組共有6名同學，則3x + 8 = 26，則第二組同學帶來26本新書.

第三組小莊：可以間接設元求解，設第二小組帶來x本新書，根據“如果每名同學分3本，那么余8本”得出小組有[x-83]人，根據“如果每名同學分5本，那么就有一名同學分不到3本”，可列不等式組0 ≤ [x-5x-83-1] < 3，解得23 < x ≤ 27.5，再根據x為整數，可知x有24，25，26，27四種情況. 人數必須是整數，于是我將這四個數代入[x-83]中，當x = 26時，[x-83] = 6，只有這一種情況的結果是整數. 因此，第二組6名同學帶來26本新書.

數學課代表：無論是直接分析，還是間接分析，其解題關鍵都是抓住已知量與未知量的相等或不等關系，列出相應的方程組或不等式組，求解后分析相應的解決方案.