依托數學思想方法 統領課堂深度教學

夏玉英

[摘? 要] 以結構化教學為準繩，依托數學思想方法，借助不同的分析策略從不同的角度進行探索，尋找到解決分數實際問題的有效途徑，提高學生的解題能力，提升數學素養。

[關鍵詞] 分類;轉化;類推;數形結合;數學思想方法;結構化教學

（百）分數實際問題的教學，一直以來是小學高年級教學中困擾教師的一大問題，也是學生在小學階段最難掌握的知識點，同時又是初中學習典型應用題（工程問題、行程問題、百分數系列問題等）的一個重要基礎。可以說，分數實際問題的學習，是集整個小學階段解決問題策略的綜合，是培養學生利用數量關系分析問題、解決問題的主陣地。但是在教學實踐中，發現很多學生在解題時常常無從下手，憑感覺解題，有的甚至完全靠套例題解答，問題到底出在哪里？經過對這些學生課后作業的反饋以及與他們的交流的分析，發現導致解題障礙的主要原因有：（1）對分數意義的理解仍停留在直觀理解階段，無法辨析一般分數實際問題和典型的分數實際問題的區別與聯系;（2）無法溝通典型分數實際問題和舊有知識“倍數問題”之間的聯系;（3）對于具體情境中的關鍵句，不理解分率所表述的意義，無法判斷單位“1”的量;（4）數量關系混亂，找不準量率（量額）的對應關系。

針對以上（百）分數實際問題的教學現狀的分析，結合本人長期從事高年級的實踐教學，筆者試圖以結構化教學為準繩，以數學思想方法為導引，對教學策略進行探索，尋找到分數實際問題教學的有效途徑，著實提高學生的解題能力，促進學生數學素養的全面提升。

[?]一、分類歸檔，解決“我是誰”的問題

作為教師，不管教學哪個知識點，都要站在一個制高點上分析教材的知識系統，以知識的結構化進行教學，知識只有系統化、條理化后，才有助于學生形成良好的思維結構，從而更好地掌握知識。分數實際問題具有它獨有的解題規律和系統，并不是毫無章法的，所以我們不能以點就點零散教學。在學生學習到一定的階段后，我們可運用分類思想，幫助他們將一些看似無規律的知識信息進行系統整理、歸納，并按內在聯系分門別類，努力引導學生建立一個相對完整的、合理的知識結構，幫助他們形成一個融會貫通的數學認知結構，從而提高學生的系統思維能力。

學生學習了分數意義后，在五年級下冊引入相應的分數加減法計算的實際問題，在六年級上冊引入簡單的分數乘法的實際問題。這時就可以通過以下練習，引導學生對這些分數問題進行分類歸檔：

【對比習題一】

（1）小明平均每分鐘步行千米，10分鐘可步行多少千米？1小時呢？

（2）學校食堂計劃十月份用煤噸，實際比計劃節約了，實際節約多少噸？

（3）學校食堂計劃十月份用煤噸，實際比計劃節約了噸，實際用煤多少噸？

（4）夏老師的身高是米，李正揚比夏老師矮米，李正揚的身高是多少？

（5）拖拉機耕一塊地，每小時耕這塊地的，一共工作8小時，耕了這塊地的幾分之幾？

（6）食堂有5噸煤，用去了，還剩幾分之幾沒有用完？

分數既可以表示一個數（即具體數量），又可以表示兩個量的倍比關系 （即分率）。它的意義擴展，造成分數比小數和整數難理解，不過，學生在充分理解分數意義的基礎上，都能分辨以上實際問題中的數量分數和倍比分數，并能以此分類：

第一類：（1）（3）（4）題，其中的分數作為一個數（即具體數量）存在，與整數和小數是一樣的，只是數的形式發生了變化，解答這類實際問題的思考方法與整數和小數一樣，都是借助最基本的四大類數量關系來解決。

第二類：（2）（5）（6）題，是有關倍比分數的實際問題。這幾題又可以細分為兩種情況：

一種情況：（5）（6）兩題同屬工程問題，解題列式的背后還是以四大數量關系為支撐，不過要注意區分給出的條件是數量分數還是倍比分數，煤的總數所對應的分率就是“1”，明確倍比分數（分率）與數量分數是不能直接相加減的。以上都是五年級下冊的知識點。

另一種情況：（2）題，它是本文所闡述的重點。這類的實際問題有三種基本題：①求一個數的幾分之幾是多少（求分率對應的具體量）;②已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數（求單位“1”的具體量）;③求一個數是另一個數的（百）幾分之幾（求分率）。這三種基本題是相互聯系也可以相互變換的，求解時必須明確倍比分數是一種關系，是占單位“1”的幾分之幾，是隨著單位“1”的變化而變化的，必須借助“單位1”才能算出其對應的具體量。

教師通過以上分類歸檔的教學，讓學生對所學的知識點有了初步的系統認識，初步掌握（百）分數實際問題的整體框架結構和方法結構：對不同的分數實際問題，先分析、判斷屬于哪類知識點，即歸檔，再思考需要用哪個對應的解題方法。訓練學生的系統思維，培養學生思維的深刻性，使從一開始的“生搬硬套”向“靈活運用”的轉化變為可能，為接下來更深入學習典型的分數乘除法做好鋪墊，逐步提高學生全面分析、解決分數實際問題的能力。

[?]二、類比對接，解決“從哪里來”的問題

學生對教材知識整體的框架結構、方法結構有了一定的了解，解決了“我是誰”的問題后，接下來就需要解決“從哪里來”的問題，即深入了解知識形成的過程結構的問題。

數學說到底是研究“關系”的學科，從小學教材的編排來看，分數實際問題的本質就是倍數問題的延伸和拓展，它的核心問題就是研究單位“1”、對應量、對應分率，對應著倍數問題中的1倍數、幾倍數、倍數，所以只要理清它們之間的關系，解答典型的分數實際問題，無論是解題的步驟還是分析的方法，都是有規律可循的。

學生明白了以上知識展開邏輯順序后，就可以從起始課開始，不斷地提煉、比較、呼應，引導學生主動遷移和應用過程結構，溝通新舊知識之間的聯系。在后續的同類課型練習中，可將其轉化成新的學習工具和新的認知結構，從而再復雜的分數問題都能迎刃而解。

由此筆者設計以下對比練習，借助線段圖，讓學生感受量率之間的對應關系與倍數和幾倍數之間的對應關系是一致的，打通這兩者之間的內在聯系。

【對比習題二】

（1）張伯伯家養雞18只，養的鴨是雞的3倍，張伯伯家養鴨多少只？

（2）張伯伯家養雞18只，養的鴨是雞的，張伯伯家養鴨多少只？

（1）題根據關鍵句“養的鴨是雞的3倍”，畫線段圖，可知1倍數是雞的只數，3倍這個份額對應的量是鴨的只數，數量關系：雞的只數×3=鴨的只數。同一條線段，既可以用3份來表示，也可以用鴨的具體數量54只來表示，這就叫對應，是具體數量和份額的對應（圖1），即“量”與“額”的對應。

同理，（2）題根據關鍵句“養的鴨是雞的”，可知單位“1”的量也是雞的只數，這個分率對應的量是鴨的只數。數量關系：雞的只數×=鴨的只數。同一條線段，既可以用來表示，也可以用鴨的具體數量12只來表示，這也叫對應（圖2）。逐步滲透每一個具體數量與其分率，即“量”與“率”的對應。

通過再次對比兩幅線段圖的對應關系發現：1倍數×倍數=幾倍數，單位1×分率=分率對應的具體量，此處的單位“1”相當于1倍數，幾倍數相當于比較量，分率相當于不滿1的倍數。求一個數的幾分之幾是多少（分數乘法實際問題），其實就是由“求一個數的幾倍是多少”演化而來的，所以，求一個數的幾分之幾是多少，也要用乘法來計算，其數量關系的本質是不變的。

通過以上上下位知識的對比練習，讓學生對典型的分數實際問題和倍數問題數量之間的相似性質、陌生的問題與已有的舊知進行比較，找到知識的共性，把新學的、抽象的分數問題與已有的舊知“倍數問題”聯系起來，使得原先“模模糊糊，似懂非懂”的認識轉變為更清晰、更準確的認識，實現知識結構的遷移同化，滲透類比數學思想，由此得出此類分數實際問題的基本等量關系：單位“1”的具體量（標準量）×分率=分率對應的具體量（比較量）。后面所涉及的復雜的分數乘除法實際問題（求單位“1”的具體量、求百分數……）都是圍繞這個核心數量關系展開的。在教學過程中，教師應完善、充實認知結構，提高學生的類比思維能力，為學生解決典型的復雜分數實際問題打下扎實的基礎。

[?]三、轉化突破，解決“如何做”的問題

解決了分數實際問題中“從哪里來”的問題，明白了分數實際問題的基本數量關系后，再圍繞這個數量關系，去抓“怎么做”的問題。就小學階段的分數乘除法實際問題而言，單位“1”的正確理解和確定，是解答分數實際問題的前提和關鍵，只有真正地將單位“1”找準了，學生對整個問題才會有一個極其清晰的認知，進而在解題正確率上也會有所保障。

1. 轉化關鍵句，找準單位“1”，正確理解意義

中低年級學習倍數問題的時候，只有“誰是誰的幾倍”或“誰的幾倍是幾”這樣單一的敘述形式，因而通過上述第二個環節，和倍數問題進行上下位的對接后，學生能解決簡單的典型的分數實際問題。對“誰是誰的幾分之幾”這樣的標準敘述形式，學生能正確找出單位“1”的量，得出單位“1”、對應量、對應分率這三者之間的基本數量關系。只是隨著問題的復雜化，其條件的敘述形式也會呈現出變化多樣的表達形式，如“第二天比第一天多看了”“從甲地開往乙地，已行了”“一個書包原價154元，現在降價20%”，等等。這是學生理解的難點，難在這些都不是標準的敘述形式上。因此教學的重點可放在關鍵句的轉化上，轉化成標準的結構形式，明確題中的分率是求誰的幾分之幾，那么誰就是單位“1”的量，加深學生對分數意義的理解，盡可能通過“日常語言”這個謎面快速地找到“數學語言”這個謎底，通過對關鍵句的轉化訓練，建立并強化量與率的對應關系。學生在學習過程中，自然而然地發現規律：兩個量的比較無非就是部分量與總量、兩種同類數量、原數量與現數量之間的比較。如“水結成冰后體積增加了，冰融化成水后，體積減少了”，學生在學習實踐中很容易搞清楚變化前是誰，誰就是單位“1”：前半句，變化前是水，變化后是冰，所以單位“1”是水的體積。冰比水多的體積是比較量，轉化成標準的敘述形式為“冰比水多的體積占了水的”。所以，在教學的起始階段，通過以上對關鍵句的轉化訓練，學生熟練判斷找出各種條件中的單位“1”（標準式、比較式、省略式等），對后續尋找量率對應關系提供了保障，為列出數量關系式打下了扎實的基礎。

2. 數形結合，找準量率對應，靈活解決問題

如果說找準單位“1”的量是解決（百）分數實際問題的前提，那么找到題中的量率對應關系是準確解題的切入點。如何引導學生找準量率對應關系，幫助學生熟練掌握尋找量率對應關系的技巧和方法呢？

前期學生積累了大量的現實世界的數量關系，獲得了比較豐富的分析數量關系的經驗，以及對列舉、轉化、假設等這些常用的策略有了初步的感悟。因此，對于需要轉一個彎或幾個彎的典型的稍復雜的分數應用題，我們可以引導學生借助線段圖或列提綱或列表等數形結合思想，通過不同的角度對其條件進行轉化，先找到量率對應關系或量額對應關系，將極其復雜的分數實際問題的數量關系簡單化，再靈活選擇解題策略，為后期提高確定解題思路的意識和能力，形成相應的策略意識打下扎實的基礎。

筆者以蘇教版六（上）教材P78例2“嶺南小學六年級45個同學參加學校運動會，其中男運動員占，求女運動員有多少人”為例，引導學生畫出線段圖。學生借助線段圖，分析條件“男運動員占”，將其轉化為標準的結構形式“男運動員占總人數的”，得出單位“1”的量是總人數后，再從兩個方向出發：

（1）從條件出發，列出數量關系“總人數×=男運動員人數”，先求出男運動員人數，再用總人數減去男運動員人數解決問題（圖3）。

（2）從問題出發，借助列提綱的辦法推理得出女運動員人數的對應分率就是1-=，將其轉化成“求45人的是多少人”最基本的分數實際問題（圖4）。

（3）結合教材P59的學習經驗，根據分數的意義，將其轉化成按比例分配的實際問題，先算出一份的數，再算出這樣4份的數（女運動員人數）：45÷9×（9-5）（圖5）。

教師有意識地引導學生使用數形結合思想，借助以上這些重要的輔助工具，直觀感受量率（額）對應關系，建構出相應的數學模型“找關鍵句—轉化標準的敘述形式—找單位‘1—找對應—寫關系—定方法—列式計算”，進而通過模型將復雜的題型簡單化、具體化，快速找到解題的突破口，強化學生的解題思路，為將來學習更復雜的實際問題夯實基礎。

對于如蘇教版六（上）第四單元“解決問題的策略”的例題1（圖6）、蘇教版六（上）第六單元“百分數”的例題6（圖7）、蘇教版六（下）第三單元“解決問題的策略”的例題1（圖8）等這類復雜的所有有關分率的典型問題，除了用常規的思路解答外，學生完全能借助以上策略，轉化成“大杯容量的（×6+1）倍是720毫升，求大杯容量”（求單位“1”的具體量）“實際造林比原計劃多的面積是原計劃的百分之幾”（求對應百分率）“女生21人所對應的份額是3份，要求男生2份的數是多少”這些最基本的分數實際問題或按比例分配的實際問題。

如此，學生在解決問題的過程中，能體會到策略的多樣性，感受選擇并靈活運用策略解決問題的過程，增強解決問題的策略意識。通過整理和提煉解決問題過程中獲得的經驗，學生對整個六年級所有有關（百）分數的實際問題的解決實現了融會貫通，形成了一脈相承的解題思路，提高了解決問題的策略水平以及思維品質。

周玉仁老師說過，教學要注重“實”“活”“新”。筆者覺得在此基礎上應再強調一個“深”字，即通過教師層面的結構化教學進行“深度教學”，教給學生一種思維的方式。教師在教學典型（百）分數實際問題時，要注重結構化梳理，明晰知識體系，與轉化、類推、分類、對應等數學思想結合，分清分數實際問題類別，剖析新舊知識聯系，找準切入點，理清思路，化解重難點，圍繞一個中心——“單位‘1的具體量×分率=分率對應的具體量”的數量關系，兩個基本點——“量率對應”“量額對應”，三個方法——“列表”“列提綱”“畫線段圖”展開教學。在這一教學過程中，學生知識逐步內化，有了分析方法的方向，能從多角度思維找到不同的解答方法，有效提高思維含量。長期訓練，學生便具備了自主選擇、運用方法獨立解題的能力。有了數學能力，學生自然也就提升了數學核心素養，唯有如此“雙減”才能真正落到實處，教師的教也就達到了“不教”的目的。