融合整體化思想與局部分析法的教學(xué)研究

藍(lán)穎 盧建川

[摘? 要] 文章基于體積專題教學(xué)的實(shí)踐與反思，提出融合整體化思想與局部分析法突破教學(xué)難點(diǎn)的改進(jìn)方案，促進(jìn)學(xué)生對(duì)研究對(duì)象獲取全貌性的認(rèn)識(shí)，感知問(wèn)題的操作性過(guò)程，整體把握體積難點(diǎn)問(wèn)題的本質(zhì)。

[關(guān)鍵詞] 整體化思想;局部分析法;體積;教學(xué);難點(diǎn)

在五年級(jí)體積專題的解題教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于“排水法”求體積的整體化思想停留在表層性認(rèn)知且對(duì)問(wèn)題的操作性過(guò)程的感知不足，不能真正地把握體積難點(diǎn)問(wèn)題的本質(zhì)。因此為了讓學(xué)生克服體積難點(diǎn)問(wèn)題的認(rèn)知障礙，筆者提出了融合整體化思想與局部分析法進(jìn)行突破的教學(xué)改進(jìn)方案。

[?]一、教材中“排水法”求體積的整體化思想

所謂體積即物體所占空間的大小，“排水法”求物體體積問(wèn)題是人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第三章“長(zhǎng)方體與正方體的體積”課題內(nèi)容。該課題由圖1的對(duì)話情境引入，通過(guò)圖意我們可以得到以下問(wèn)題：現(xiàn)有一個(gè)燒杯，其中裝有足夠的水，問(wèn)如何求梨的體積？[1]

教材介紹了“排水法”求體積，由圖1將梨放進(jìn)燒杯中使其完全浸沒(méi)，可讀出燒杯中水和梨總體的體積為450cm3，而燒杯中原有水的體積為200mL，于是梨的體積為450-200=250cm3，即圖1中水面上升那部分的體積就是梨的體積250cm3。

可見(jiàn)，教材以實(shí)驗(yàn)探究的形式比較放進(jìn)梨之前后燒杯中水和梨總體的體積變化，使得學(xué)生能夠直觀地感受“排水法”求體積。“排水法”求物體體積不僅揭示了體積概念的本質(zhì)——物體所占空間的大小，還給學(xué)生提供了整體化思想。

[?]二、教學(xué)實(shí)踐及反思

筆者在該專題的教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行了測(cè)試，其中有一道考題如下：一個(gè)長(zhǎng)方體容器，底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為60厘米的正方形。容器里直立著一個(gè)高1米，底面邊長(zhǎng)都是15厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，這時(shí)容器里的水深0.5米（如圖2）。現(xiàn)在把鐵塊輕輕地向上提起24厘米（如圖3），那么露出水面的鐵塊上水漬的長(zhǎng)度是多少厘米？[2]

測(cè)試結(jié)果顯示，大部分學(xué)生的解答錯(cuò)誤，其中一部分學(xué)生不假思索地回答露出水面的鐵塊上水漬的長(zhǎng)度就是24厘米;另一部分學(xué)生經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考進(jìn)行計(jì)算，仍陷入認(rèn)識(shí)誤區(qū)，出現(xiàn)了以下錯(cuò)解：

鐵塊向上提起24厘米后，提起部分占有的空間V=15×15×24=5400cm3，伴隨著水面下降，水面下降高度為5400÷（60×60）=1.5cm，則露出水面的鐵塊上水漬的長(zhǎng)度為24+1.5=25.5cm.

針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤進(jìn)行分析與反思，筆者認(rèn)為學(xué)生對(duì)于教材中的“排水法”求物體體積的整體化思想停留在表層性認(rèn)知，且對(duì)于“鐵塊向上提起24厘米”問(wèn)題的內(nèi)在操作性過(guò)程更是感知不足。因此，筆者進(jìn)行了“加強(qiáng)整體化思想的剖析，融合局部分析法”的教學(xué)改進(jìn)探索。

[?]三、融合整體化思想與局部分析法突破體積專題的難點(diǎn)問(wèn)題

教材中“排水法”求物體體積揭示了體積概念的本質(zhì)，且提供了一種整體化思想，但在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維上并不全面[3]。為了讓學(xué)生加深對(duì)“排水法”求體積的整體化思想及其內(nèi)在操作性過(guò)程的認(rèn)識(shí)，筆者設(shè)計(jì)了以下3個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)方案。

1. 改編教材例題鞏固整體化思想

筆者在教材例題的基礎(chǔ)上增補(bǔ)以下例題：

如圖4，底面積為50平方厘米的圓柱體容器中裝有水，水面上漂浮著一塊棱長(zhǎng)為5厘米的正方體木塊，木塊浮在水面以上的高度是2厘米。若將木塊從容器中取出，水面將下降多少厘米？

這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)在于，如圖5，不知道原來(lái)容器中水的高度（h1），亦不知取出木塊后水的高度（h2），不能簡(jiǎn)單機(jī)械地套用“排水法”。

“排水法”求體積實(shí)際上利用的是整體化思想。在此將“未取出木塊時(shí)水面以下部分”作為一個(gè)整體，其中包含水的體積和水下部分的木塊的體積。注意到水的總量沒(méi)有變化，即水的體積不變，于是取出木塊后，水面下降部分的體積應(yīng)該等于原來(lái)水下部分的木塊的體積。從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求水下部分的木塊的體積，即水面下降而消失的部分的體積等于原來(lái)水下部分的木塊的體積，那么問(wèn)題也就迎刃而解了。具體的思考過(guò)程如下：

V水+V水下部分的木塊=V水+V水面下降而消失的部分，則V水面下降而消失的部分=V水下部分的木塊=5×5×（5-2）=75cm3，水面下降的高度h=V水面下降而消失的部分÷S圓柱底面=75÷50=1.5cm。

在整體化思想的指導(dǎo)下除了使用算術(shù)法外，還可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)求解水面下降的高度。即設(shè)水面下降的高度為h厘米，通過(guò)分析可得到以下等量關(guān)系：50h=5×5×（5-2），50h=75，h=1.5。故可得水面下降的高度為1.5厘米。

2. 融合局部分析法加強(qiáng)問(wèn)題探究

以上我們可以知道整體化思想有助于學(xué)生基于整體認(rèn)識(shí)進(jìn)行問(wèn)題的解決，但是這仍是不夠的，還需要學(xué)生學(xué)會(huì)全貌性地感知問(wèn)題，探究問(wèn)題的操作性過(guò)程，整體把握問(wèn)題的本質(zhì)。

筆者在整體化思想的基礎(chǔ)上，運(yùn)用局部分析法指導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行重新解讀，為方便說(shuō)明，現(xiàn)將圖4簡(jiǎn)化為正視圖（如圖6），具體教學(xué)方案如下：

將木塊取出后，設(shè)水面高度將下降h厘米，木塊周圍A部分的水將填補(bǔ)原來(lái)木塊B部分的空間，B部分木塊的高度為（5-2-h）厘米，如圖6所示。A部分的空間=B部分的空間，注意到A部分水的形狀是一個(gè)中空的圓柱體，其體積為50h-（5×5）×h立方厘米，故可建立如下等量關(guān)系：50h-（5×5）×h=（5×5）×（5-2-h），25h=25×（3-h），h=3-h，2h=3，h=1.5。故取出木塊后，水面下降的高度為1.5厘米。

局部分析法反映了問(wèn)題的操作性過(guò)程，即取出木塊后原來(lái)A部分的水填補(bǔ)在B部分的空間。局部分析法相較于整體化思想，不僅知悉問(wèn)題總體的原來(lái)結(jié)構(gòu)和結(jié)果狀態(tài)，還能經(jīng)過(guò)剖析，感知問(wèn)題的局部操作性過(guò)程。

3. 融合整體化思想與局部分析法突破難點(diǎn)問(wèn)題

整體化思想就是將問(wèn)題的若干對(duì)象當(dāng)作一個(gè)“整體”，充分協(xié)調(diào)問(wèn)題中部分與整體的關(guān)系，使部分的功能服從于整體的要求，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的[4]。局部分析法是選取問(wèn)題中合適的局部為研究對(duì)象，根據(jù)問(wèn)題的情境，對(duì)研究對(duì)象的操作性過(guò)程進(jìn)行分析的方法。融合整體化思想與局部分析方法，對(duì)于辯證突破體積難點(diǎn)問(wèn)題有重要的意義。整體與局部?jī)烧呓Y(jié)合，可對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全貌性分析，使得學(xué)生全貌性地認(rèn)識(shí)問(wèn)題，感知問(wèn)題的操作性過(guò)程，整體把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。下面運(yùn)用該思想方法解讀文前的測(cè)試題：

鐵塊向上提起24厘米后，從整體化思想的角度來(lái)看，鐵塊在水中的空間總共消失了15×15×24=5400cm3。再?gòu)木植糠治龇ǖ慕嵌葋?lái)看，如圖8所示，原來(lái)鐵塊周圍A部分的水填補(bǔ)了陰影部分B的空間（鐵塊消失的空間），即A部分的空間等于B部分的空間。注意到鐵塊未完全提離水面，還有一部分鐵塊留在水中占用了一部分空間，考慮到A部分水為中空的水柱，即其底面為有中空的正方形，面積為60×60-15×15=3375cm2。具體的解答步驟如下：

鐵塊輕輕向上提起24厘米后，其原來(lái)占有的空間為15×15×24=5400cm3，伴隨著水面下降，水面下降的高度為5400÷（60×60-15×15）=1.6cm，則露出水面的鐵塊上水漬部分的長(zhǎng)度為24+1.6=25.6cm。答：露出水面的鐵塊上水漬部分的長(zhǎng)度為25.6cm。

因此，融合整體化思想與局部分析法突破體積難點(diǎn)問(wèn)題的教學(xué)，一方面可以讓學(xué)生整體感知問(wèn)題，另一方面可以讓學(xué)生通過(guò)局部的分析感知問(wèn)題中的操作性過(guò)程。兩者相融合，學(xué)生就能夠全貌性地認(rèn)識(shí)問(wèn)題，探究問(wèn)題的操作性過(guò)程，以此牢牢地把握問(wèn)題的本質(zhì)。

[?]四、思考與啟示

通過(guò)融合整體化思想與局部分析法突破體積難點(diǎn)問(wèn)題的教學(xué)研究，筆者得到以下啟示：

（1）教師不能僅僅停留在教材原始素材的基礎(chǔ)上照本宣科，應(yīng)成為教材的開(kāi)發(fā)者。教師通過(guò)對(duì)教材的深入剖析，挖掘教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的思想方法，并選取多種角度對(duì)問(wèn)題研究的對(duì)象進(jìn)行分析，可使學(xué)生能夠在同化的基礎(chǔ)上順應(yīng)拓展性問(wèn)題解決難點(diǎn)。

（2）在教學(xué)內(nèi)容和思想方法上進(jìn)行深入挖掘，應(yīng)立足學(xué)生的思維最近發(fā)展區(qū)[5]，重視直觀化教學(xué)，重視操作性探究過(guò)程。在引導(dǎo)學(xué)生突破難點(diǎn)問(wèn)題的過(guò)程中，教師應(yīng)以學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)作為落腳點(diǎn)，著眼于學(xué)生的認(rèn)知水平，把握研究對(duì)象的本質(zhì)及其內(nèi)在的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生多層次、多視角探究問(wèn)題，加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的操作性探究過(guò)程的認(rèn)知[6]。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 人民教育出版社課程教材研究所小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育教科書（數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]? 蔣順，李濟(jì)元. 小學(xué)奧數(shù)舉一反三：五年級(jí)[M]. 西安：陜西人民教育出版社，2017.

[3]? 李婷，盧建川. 運(yùn)用整體把握與分離組合思想探究“烙餅問(wèn)題”[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2018（02）：22-25.

[4]? 武良文，孫秀梅. “整體思想”在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2004（12）：6-7.

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[6]? 鄭煜芬，盧建川. 溶液混合問(wèn)題“反比關(guān)系”的分析與教學(xué)研究[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（07）：3-5+24.