重創新、重應用,引領數學進入新時代

許少華

“學好數、理、化，走遍天下都不怕”，它告訴我們“數、理、化”是一門生存絕技，你擁有它，無論到哪里，都可以立足.事實上，數理化作為基礎學科，不僅對一個人重要，對國家也非常重要，我們要高科技有突破、我們要軍隊現代化、我們要全面進入小康，哪一點都要求數理化必須先行、必須有雄厚的基礎知識與基礎理論作支撐. 因此，2022年高考數學命題率先吹起了沖鋒號，以重創新、重應用，引領數學進入新時代為己任，設計命制出全新的數學試題，下面讓我們慢慢品味與欣賞.

一、試題的特點

1. 試題的背景材料

從1952年毛主席視察黃河時提出的“南水北調”到目前的疫情防控，橫跨幾十年的現實生活問題是本次的兩道試題的社會背景. 從數字的大小比較、體積的取值范圍到式子的最值問題，究其實質都是以不等式為背景. 同樣，以函數為背景、以數形結合為背景等考題比比皆是. 明面上的問題，若離開了背景材料也許會很空洞，當然，你的求解若不聯系一下背景，也許會無從下手.

2. 試題的雙基覆蓋面

今年的高考題對知識點的覆蓋情況及知識點考查時所用的題目類型見下表：

從上表可以看出：基礎知識的覆蓋面很廣，且重點知識得到了重點考查. 如導數及其應用、圓錐曲線、立體幾何等考試的分數相對較高. 當然，我們也可以看出：三角函數、基本初等函數、數列考的內容相對較少，而重點考查的內容要么比較難、要么比較繁、要么難以想象，于是，就構成了本次試題較難.

3. 對應用性的考查

試題對應用性的考查體現在三個方面：一是方法的應用，第2題“若i（1-z）=1，則z+=（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2”，對已知的式子兩邊同乘-i，很快便看出結論. 第3題“在ΔABC中，點D在邊AB上，BD=2DA. 記=，=，則=（ ）A. 3-2 B. -2+3 C. 3-2 D. 2+3”，考查向量減法的應用，即由BD=2DA?=2?-=2（-）立得結論. 類似地應用隨處可見，它強調基本方法的靈活性，注重了這些，幾乎可以一望而解. 其次是技能的應用，第7 題無論是構造函數還是放縮，必備的技能你必須擁有，否則，你肯定會一籌莫展，第12題由f（3-x）=f（x）?-f′（3-x）=f′（x）??-g（3-x）=g（x）恰到好處的產生周期函數，這個技能應用得很漂亮. 第三是數學知識的應用，第4題、第5題及第20題，都要求我們應用所擁有的數學知識與技能來處理具體問題.

4. 對交匯性的考查

在知識的交匯點處設計試題，永遠都是高考試題設計的重要思路之一，我們看看第6題將三角函數的圖像性質與三角函數的誘導公式等相結合. 第8題立體幾何的基本計算與基本不等式相結合或者與三角函數相結合. 第18題正弦定理與基本不等式相結合. 第13題的二項定理問題與排列給相結合等. 都不是孤立的，每一道題，那怕是排在前面較為基礎的問題，也都會涉及多個知識點，可以說考查單一知識點或某一技能點的試題不存在，都是小綜合，至少是在本知識塊范圍內的多個知識點聯系在一起，比如第10題，考查函數的極值點、零點、對稱中心、切線，“四合一”，函數還有哪些常見性質，是不是都囊括其中了，本題要想產生正確結論，哪一點不過關都不行.

5. 對創新性的考查

創新性體現兩個方面，一是試題創新，這里指背景材料或試題結構，比如第14題“寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程___________.”這里僅強調一條，也就是說你寫出一條就可以了，本題的兩個圓的方程都是以標準方程給出，圖像很好畫，靈活的考生畫一下立刻產生結論，難嗎？因為它創新了，打破了傳統的求解模式，很多同學不適應，還在循規蹈矩的計算，時間過去了，結論沒產生，嘆一聲，這題不僅難而且很繁. 另一個是應用創新，第7題“設a=0.1e0.1，b=，c=-ln0.9，則（? ? ）A. a

6. 對數學核心素養的考查

數學核心素養包括六個方面：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析. 本次考試對核心素養的考查可謂是力度空前. 第7題、第12題對抽象能力的要求較高. 第20題的第一問與第22題求解的邏輯推理相當嚴謹. 數學運算包含字母運算與數字運算，看看第4題與第8題不僅要有運算的耐心與自信心，更要注重運算的合理性與科學性，再看看三道圓錐曲線試題（即第11題、第16題與第21題），那一道都不是“省油的燈”，既要注重常規方法與技巧，又要因條件、因結論適時轉化與調整，說難不為過、說繁也不為過. 直觀想象與數據分析活活的被聯想、分析、運算、推理所淹沒.

7. 整套試卷的難易度

“本手、妙手與俗手，不如數學無從下手”“不管什么手，考完數學當X團騎手”，這雖是網絡語不足為奇，但回到理性角度看，縱向看：今年要比前幾年都難很多（今年至此時并未公布全省平均分，雖有前幾年的分數，但無法進行比較，這里還帶有幾分感性色彩）. 橫向看：某班語文老師在家長群發微信說，到目前已知道了我們班最高分129分，平均分超過110分，家長一片贊譽. 英語老師也在家長群發微信說，全級140分以上的81人，最高分147分，有六個班平均分130分以上.“英語老師個個都厲害”. 我們呢？不厲害嗎？不努力嗎？不拚嗎？結果讓我們只有沉默，望著眾多的幾十分，甚至更可憐的分數發呆.

既然數學是基礎學科、既然希望全民重視數學，高考結束，要讓考生可以感覺到“數學好，才是真的好”“成也數學，敗也數學”，它對試題的要求不是難，而是有很好的區分度，它向一把量尺，把學生進行三六等進行科學地分類，而這個分類足以影響整個高考成績.

重創新、重應用、重核心素養的考查本是好事，值得點贊. 但一定要清楚，這些考查不是僅有難題才能體現，高考，不是掐尖、也不是競賽. 當大家的分數都聚集在某些分數段之間時，選拔失去了準確性. 對以后的數學學習都是不利的，它損害了自信心，讓一些基礎一般的考生喪失了攻克數學的勇氣與決心.

二、好題妙解欣賞

1. 第7題：設a=0.1e0.1，b=，c=-ln0.9，則（ ）

A. a

解與評 設f（x）=ln（1+x）-x（x>-1），因為f′（x）=-1=? -，當x∈（-1，0）時，f′（x）>0，當x∈（0，+∞）時f′（x）<0，所以函數f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）單調遞減，在（-1，0）上單調遞增，所以f（-）a.

或者：令f（x）=ln（xex）-ln（0

由于f′（x）=1-=-<0，所以f（x）在（0，0.1）上遞減.又f（0）=0，于是f（0.1）<0，即ln（0.1e0.1）-ln<0?0.1e0.1a.

又或者：借助ex>x+1，由==e0.1>（1-0.1）=1?b>a.

設g（x）=xex+ln（1-x）（00，函數h（x）=ex（x2-1）+1單調遞增.

又h（0）=0，所以當00，函數g（x）=xex+ln（1-x）單調遞增，所以g（0.1）>g（0）=0，即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c.

故選：C.

2. 第8題：已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上. 若該球的體積為36π，且3≤l≤3，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）

A. 18

， B.

， C.

， D. [18，27]

解與評 C. ∵ 球的體積為36π，所以球的半徑R=3，設正四棱錐的底面邊長為2a，高為h，則l2=2a2+h2，又由32=2a2+（3-h）2，得6h=l2，2a2=l2-h2.

體積V=Sh=×4a2×h=×（l2-）×=（l4-），由V′=（4l3-）=l3（），

當3≤l≤2時，V′>0，當2

，.

或者：設四棱錐的高與側棱夾角為θ，高為h，底面中心到各頂點的距離為m，則cosθ==.

由3≤l≤3，得cosθ∈[，]，則l=6cosθ，m=lsinθ=6cosθsinθ，h==6cos2θ，

于是V=×2m2h=144（sinθcos2θ）2.

令x=sinθ，則x∈[，]，y=x（1-x2），x∈[，]得≤y2≤?≤V≤.

難嗎？不算難. 好做嗎？實在不好做，有思路與有正確結論是兩碼事. 你能想到，你可能根本就做不到. 運算能力與運算的自信心在這里受到了嚴重的挑戰.

3. 第10題：已知函數f（x）=x3-x+1，則（ ）

A. f（x）有兩個極值點

B. f（x）有三個零點

C. 點（0，1）是曲線y=f（x）的對稱中心

D. 直線y=2x是曲線y=f（x）的切線

解與評 AC. 由題，f′（x）=3x2-1，令f′（x）>0得x>或x<-，令f′（x）<0得-

所以f（x）在（-，）上單調遞減，在（-∞，-），（，+∞）上單調遞增，故x=±是極值點，故A正確.

因f（-）=1+>0，f（）=1->0，f（-2）=-5<0，所以，函數f（x）在（-∞，-）上有一個零點，當x≥時，f（x）≥f（）>0，即函數f（x）在（，+∞）上無零點，此時，函數f（x）有一個零點，故B錯誤.

令h（x）=x3-x，該函數的定義域為R，h（-x）=（-x）3-（-x）=-x3+x=-h（x），則h（x）是奇函數，（0，0）是h（x）的對稱中心，將h（x）的圖像向上移動一個單位得到f（x）的圖像，所以點（0，1）是曲線y=f（x）的對稱中心，故C正確.

令f′（x）=3x2-1=2，可得x=±1，又f（1）=f（-1）=1，當切點為（1，1）時，切線方程為y=2x-1，當切點為（-1，1）時，切線方程為y=2x+3，故D錯誤.

本題將函數f（x）=x3-x+1的所有性質幾乎都考了一遍，有一個地方不清楚，也不可能產生正確結論.

4. 第11題：已知O為坐標原點，點A（1，1）在拋物線C∶x2=2py（p>0）上，過點B（0，-1）的直線交C于P，Q兩點，則（ ）

A. C的準線為y=-1? ? B. 直線AB與C相切

C. OP·OQ>OA2? ? ?D. BP·BQ>BA2

解與評 BCD. 將點A的代入拋物線方程得1=2p，所以拋物線方程為x2=y，故準線方程為y=-，A錯誤.

由kAB==2，所以直線AB的方程為y=2x-1，聯立y=2x-1，

x2=y，可得x2-2x+1=0，解得x=1，故B正確.

設過B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個交點，所以，直線l的斜率存在，設其方程為y=kx-1，P（x1，y1），Q（x2，y2），聯立y=kx-1，

x2=y，得x2-kx+1=0，所以Δ=k2-4>0，

x1+x2=k，

x1x2=1，所以k>2或k<-2，y1y2=（x1x2）2=1. 又OP==，OQ==，所以OP·OQ===k>2=OA2，故C正確.

因為BP=x1，BQ=x2，所以BP·BQ=（1+k2）x1x2=1+k2>5，而BA2=5，故D正確.

5. 第12： 已知函數f（x）及其導函數f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f ′（x），若f（-2x），g（2+x）均為偶函數，則（ ）

A. f（0）=0? B. g（-）=0? C. f（-1）=f（4）? D. g（-1）=g（2）

解與評 BC. 因為f（-2x），g（2+x）均為偶函數，所以f（-2x）=f（+2x）即f（-x）=f（+x），g（2+x）=g（2-x），所以f（3-x）=f（x），g（4-x）=g（x），則f（-1）=f（4），故C正確.

函數f（x），g（x）的圖像分別關于直線x=，x=2對稱，又g（x）=f ′（x），且函數f（x）可導.

所以g（）=0，g（3-x）=-g（x），所以g（4-x）=g（x）=-g（3-x），所以g（x+2）=-g（x+1）=g（x），

所以g（-）=g（）=0，g（-1）=g（1）=-g（2），故B正確，D錯誤.

若函數f（x）滿足題設條件，則函數f（x）+C（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定f（x）的函數值，故A錯誤.

本題將f（x）與f ′（x）聯合設計抽象函數問題，可謂思維獨到，特別由f （3-x）=f（x）?-f ′（3-x）=f ′（x）?-g（3-x）=g（x）更是難以想象. 很高深吧？不是. 但絕對是“出其不意”，這就是設計的“精妙”與“高超”之處.

6. 第15：若曲線y=（x+a）ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是______________.

解與評 （-∞，-4）∪（0，+∞）. ∵ y=（x+a）ex，∴ y′=（x+1+a）ex，設切點為（x0，y0），則y0=（x0+a）[ex][0]，切線斜率k=（x0+1+a）[ex][0]，切線方程為：y-（x0+a）[ex][0]=（x0+1+a）[ex][0]（x-x0），∵切線過原點，∴ -（x0+a）[ex][0]=（x0+1+a）[ex][0]（-x0），整理得：[x2][0]+ax0-a=0，∵切線有兩條，∴ Δ=a2+4a>0，解得a<-4或a>0，∴ a的取值范圍是（-∞，-4）∪（0，+∞）.

本題有點特別，想一想去年的第7題“若過點（a，b）可以作曲線y=ex的兩條切線，則（ ）A. eb

7. 第16：已知橢圓C∶+=1（a>b>0），C的上頂點為A，兩個焦點為F1，F2，離心率為. 過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點，DE=6，則△ADE的周長是______________.

解與評 ∵橢圓的離心率為e==，∴ a=2c，∴b2=a2-c2=3c2，∴橢圓的方程為+=1，即3x2+4y2-12c2=0. 不妨設左焦點為F1，右焦點為F2，如下圖，∵ AF2=a，OF2=c，a=2c，∴∠AF2O=，∴△AF1F2為正三角形. ∵過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點，DE為線段AF2的垂直平分線，∴ 直線DE的斜率為，斜率倒數為， 直線DE的方程：x=y-c，代入橢圓方程3x2+4y2-12c2=0，整理化簡得到：13y2-6cy-9c2=0，判別式Δ=（6c）2+4×13×9c2=62×16×c2，

∴CD=y1-y2=2×=2×6×4×=6，∴ c=，得a=2c=.

∵ DE為線段AF2的垂直平分線，根據對稱性，AD=DF2，AE=EF2，∴ △ADE的周長等于△F2DE的周長，利用橢圓的定義得到△F2DE周長為：

DF2+EF2+DE=DF2+EF2+DF1+EF1=DF1+DF2+EF1+EF2=2a+2a=4a=13.

本題利用離心率得到橢圓的方程為+=1，即3x2+4y2-12c2=0，根據離心率得到直線AF2的斜率，進而利用直線的垂直關系得到直線DE的斜率，寫出直線DE的方程：x=y-c，代入橢圓方程3x2+4y2-12c2=0，整理化簡得到：13y2-6cy-9c2=0，利用弦長公式求得c=，得a=2c=，根據對稱性將ΔADE的周長轉化為△F2DE的周長，利用橢圓的定義得到周長為4a=13. 思路很常規，難度也不算大，但一步一步地走下來真的很費時間.

8. 第22題：已知函數f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同最小值.

（1）求a.

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

解與評 （1）由f（x）=ex-ax的定義域為R，而f′（x）=ex-a，若a≤0，則f′（x）>0，此時f（x）無最小值于是a>0. 當xlna時，f′（x）>0，故f（x）在（lna，+∞）上為增函數，故f（x）min=f（lna）=a-alna.

g（x）=ax-lnx的定義域為（0，+∞），而g′（x）=a-=. 當0時，g′（x）>0，故g（x）在（，+∞）上為增函數，故g（x）min=g（）=1-ln.

因為f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值，即1-ln=a-alna，整理得到=lna，其中a>0.

設g（a）=-lna，a>0，則g′（a）=-=≤0，故g（a）為（0，+∞）上的減函數，而g（1）=0，于是g（a）=0的唯一解為a=1，故=lna的解為a=1. 綜上，a=1.

（2）由（1）可得f（x）=ex-x且f（x）在（-∞，0）上為減函數，在（0，+∞）上為增函數. g（x）=x-lnx且g（x）在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上為增函數，由于兩函數有相同的最小值1.

于是，存在x2∈（0，1），使f（x2）=g（x2）=b，此時直線y=b，與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，不妨設三交點分別為（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，g（x3））

由f（x1）=g（x2）=x2-lnx2=elnx2-lnx2=f（lnx2），由于x1<0，f（lnx2）<0又f（x）在（-∞，0）上單調，所以x1=lnx2.

又f（x2）=g（x3）=x3-lnx3=elnx3-lnx3=f（lnx3），由于x2>0，f（lnx3）>0又f（x）在（0，+∞）上單調，所以x2=lnx3?x3=ex2.

再由f（x2）=g（x2）?ex2-x2=x2-lnx2?2x2=ex2+lnx2=x3+x1即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

本題的第一問不算難，考生得分不高的原因是，不太常規，從本年度的模擬卷與仿真卷看，第一問一般都是討論單調性、切線及與極值有關的問題等，往往不太復雜，但這里不同，一下子要求兩個最小值，這還不算，建立在兩最小值相等的基礎上產生的方程，解方程時發現是超越方程，只有構造函數，通過函數的單調性與觀察法相結合最終產生結論，至此，考生已筋疲力盡，再往下走，已是信心不足了. 對于第二問，它不是讓我們普通人來解的，它是留給“清、北”的人，它的求解有多種方法，唯上述方法數學味最濃、也最為簡捷.

三、對2023年備考的啟發

命題方向發生了變化，復習策略當然也要跟著變化，再“穿新鞋走老路”變不合適了，怎么辦？

1. 基礎內容求熟練，穩中求新. 2023年的高考復習既要抓基礎知識的全面掌握，又要注重特殊基礎知識的靈活應用與變形應用. 注重細微之處設計新穎地、開放性的練習題.

2. 注重培養運算的合理性、科學性與嚴謹性.運算能力是中學生必須具有的重要的數學能力，本次考試充分體現了對這一重要能力的要求是高層次的. 新的一年在備考復習中要從算理入手，通過分析運算的式子或將要進行的運算的特點來設計運算思路. 不排除結合特殊內容（比如：立體幾何、圓錐曲線）設計有關運算能力的特殊訓練.

3. 加強知識的交匯點的復習，在知識網絡的交匯點處設計試題是本次試題的一大特點. 不等式是中學數學中的重要工具，在中學數學中有著舉足輕重的位置，但本次有獨立的不等式題目嗎？沒有. 沒考不等式嗎？也沒有. 它將不等式有效的溶解在立幾中、在三角中、在函數中、在導數中、在創新型試題中. 函數是中學數學的一條主線，它貫穿于中學數學的始終、它可以滲透于中學數學的任意章節，本次考試除了明確的幾道試題外，函數在其他試題中也有較好的滲透.? 因此，2023年的高考復習在抓住重點知識與主干知識的同時，一定要關注它們與其它內容的交匯性. 根據知識的特點，精心設計綜合性強、代表性強的交匯性練習. 讓學生解一題、懂一塊、熟一類，在活與變上下功夫.

4. 重視對數學思想的應用. 數學思想是數學的靈魂，是數學方法與技能實質的體現，對解題思路的產生具有指導意義. 因此，中學數學教學的一個中心就是向考生滲透各種數學思想，強化完整的數學教學過程，即思想指導過程、方法運用過程與知識形成過程，使三者和諧統一. 另外，函數思想、方程思想、換元思想也是中學數學中的重要思想在本卷中體現得明顯，在2023年的復習中一定要加以重視.

5. 注重對遺漏知識點的關注，教材中的每一個教學內容都是高考的命題內容，今年未考不代表不重要，相反它在下一年被命題的可能性會大增. 結合前面的知識考查細目表，對照一下未考的或考得較少的內容，注意找準關鍵，加強復習.

6. 在綜合復習階段，注重知識與應用的創新性、開放性、研究性，它可能是近期一段時間高考命題的重點與熱點，從本次試題看，以后高考數學在分數上要想有所突破，僅靠你記住了多少定義、定理及性質，你記住了多少二級結論，你又擁有了多少常規“武器”，肯定是不行. 信息時代下，我們的高考復習也要與時俱進，多在創新上動動“歪腦筋”.

總結過去，是為了更好地把握未來、開創未來，立足2022高考試題，希望我們能認清方向、找準方法，在新的一年有一個較好的收成.

責任編輯 徐國堅