學生數(shù)學符號意識表現(xiàn)的四個維度及其培養(yǎng)方向

于芳

[摘? 要] 學生數(shù)學符號意識的表現(xiàn)可以劃分為四個維度，即理解維度、表征維度、運算維度和推理維度。據(jù)此，在培養(yǎng)學生的數(shù)學符號意識時，可相應地從以下三個方面展開：形象感知，理解符號的意義內(nèi)涵;抽象概括，提升符號表征水平;創(chuàng)設情境，運用符號運算推理。

[關鍵詞] 符號意識;理解;表征;運算;推理

朱立明和馬云鵬認為，“數(shù)學符號意識”，即學習者在思維的引導下，對數(shù)學知識與數(shù)學符號之間抽象對應關系的一種積極主動的心理認知活動，在通過數(shù)學符號的感知與理解、運算與推理、交流與表達等數(shù)學思考方式解決數(shù)學問題的過程中所表現(xiàn)出來的與數(shù)學符號相關的一種數(shù)學核心素養(yǎng)[1]。

因此，學生數(shù)學符號意識的表現(xiàn)可以從四個維度進行劃分和界定。

一、學生數(shù)學符號意識表現(xiàn)的四個維度

（一）數(shù)學符號理解維度

數(shù)學符號的理解是對數(shù)學符號的直覺認知，即理解數(shù)學符號所蘊含的意義及其使用條件。這是數(shù)學學習的基本要求，也是數(shù)學符號意識的基本要求。

對數(shù)學符號的理解有三種表現(xiàn)水平。

1. 只能理解數(shù)字符號、運算符號等，不能理解字母等抽象數(shù)學符號的內(nèi)涵與意義。例如能理解具體的數(shù)量3，但是無法理解3a。

2. 能夠理解字母的表面含義，但是不能理解字母所具有的一般現(xiàn)實意義。例如知道3a就是3×a，但無法將其與現(xiàn)實情境相聯(lián)系。

3. 不僅能理解數(shù)學符號的內(nèi)涵和意義，還能理解數(shù)學符號與數(shù)學知識之間的關聯(lián)，能夠在具體情境與抽象的數(shù)學符號之間建立聯(lián)系。例如不僅知道3a是3個a相加的和，還知道a可以表示長度、質(zhì)量、單價、速度……

（二）數(shù)學符號表征維度

數(shù)學符號的表征是理性思維的體現(xiàn)，意味著能夠?qū)?shù)學信息用符號系統(tǒng)表示出來。數(shù)學符號表征是運用符號進行運算和推理的基礎。

數(shù)學符號表征有三種表現(xiàn)層次。

1. 能運用數(shù)字表征具體數(shù)量，也能運用數(shù)學符號（字母）表征數(shù)（未知數(shù)、不確定的數(shù)等），對數(shù)學符號的表征處于簡單模仿階段。

2. 能運用數(shù)學符號表征數(shù)量關系。例如能夠用含有字母的式子表征一輛公共汽車上人數(shù)的變化，或者根據(jù)數(shù)量關系列出相遇問題求速度的方程等。

3. 能運用數(shù)學符號表征變化規(guī)律，也就是能通過探索問題中的變化關系找出問題的隱含規(guī)律，并運用數(shù)學符號進行表征。例如探索圖形排列的規(guī)律（圖1），并用含有字母的式子表征第n個圖形中正方形和圓形個數(shù)的關系。

（三）數(shù)學符號運算維度

數(shù)學符號的運算是數(shù)學活動的基本形式，即根據(jù)數(shù)學概念、定理和運算法則，將數(shù)學符號通過計算得出確定結(jié)果的過程。

數(shù)學符號的運算包含三個階段。

1. 數(shù)字符號運算階段，學生可以解決具體的數(shù)字符號的運算，也就是我們所說的四則混合運算。

2. 符號形式的運算階段，學生可以在操作層面理解數(shù)學符號的運算，但不能理解運算所得到的結(jié)果具有一般性。例如學生能夠計算3a+4a=7a，但不理解式子中的a可以指代任何有理數(shù)。

3. 符號的抽象運算階段，學生能夠從算理的角度理解數(shù)學符號運算，可以很好地理解運算所得到的結(jié)果具有一般性。也就是學生不僅能夠計算3a+4a=7a，還能根據(jù)乘法的意義解釋這個式子的意義，并知道它的結(jié)果具有一般性。

（四）數(shù)學符號推理維度

數(shù)學符號的推理主要包括代數(shù)推理和圖形推理。

1. 代數(shù)推理，根據(jù)運算法則推理出字母式子的值。

如題“已知a=2，b=3，求（ab）2的值”。

2. 幾何推理，根據(jù)圖形關系進行推理。

例如“兩條直線相交于點O，你能推出∠AOB=∠COD嗎？請說明理由（見圖2）”。

二、數(shù)學符號意識的培養(yǎng)方向

培養(yǎng)數(shù)學符號意識可以圍繞其四個表現(xiàn)維度展開，也就是要幫助學生理解符號的意義和內(nèi)涵，學會使用符號表征，運用數(shù)學符號進行運算和推理。

（一）形象感知，理解符號的意義內(nèi)涵

數(shù)學符號根據(jù)表示的意義可以大致分為元素符號、運算符號、關系符號、結(jié)合符號和約定符號等。這些數(shù)學符號的使用將伴隨學生數(shù)學學習的始終，同時也是學生認為數(shù)學艱深難懂的重要原因。因此，讓學生在形象感知中喜歡、親近符號，接受和理解符號是培養(yǎng)學生符號意識的首要任務。

1. 直觀形象感知

小學階段的數(shù)學符號大多都是十分形象的，或者說是“象形”的，因此讓學生通過直觀形象去感知符號的意義和內(nèi)涵能夠激發(fā)學生的認知興趣，有助于他們記憶符號的形象和掌握符號的書寫方法。

例如在一年級認識數(shù)字符號的時候，教師都會帶領學生誦讀兒歌：1像鉛筆，細又長;2像小鴨，水中游;3像耳朵，兩道彎;4像小旗，迎風飄……

還有“=”“>”“<”，這些關系符號也是非常形象的。“=”就是兩條等長的平行線段，“>”“<”則是大頭（開口）對著大數(shù)，小頭（尖頭）對著小數(shù)。

2. 動態(tài)形象感知

雖然很多數(shù)學符號都如同象形文字一樣簡潔、生動、形象、傳神，但要幫助學生深刻地理解其內(nèi)涵還需要以動態(tài)演示的方式來呈現(xiàn)它們的產(chǎn)生過程。

例如加、減、乘、除四種運算符號。加號可以通過先畫一橫，再移來一豎的演示讓學生理解它蘊含著的“合并”“增加”的意思。減號的演示過程則正好相反，學生能看出其表示“去掉”“減少”的意思。乘號就是把“+”轉(zhuǎn)動45度，表示這是特殊的加——同數(shù)連加。除號呢？中間一橫表示平均分，上下各一點，表示每份分得同樣多。

約等號、不等號等也可以用動態(tài)演示的方法幫助學生理解。等于號彎一彎，表示有點不好意思，只是大概相等哦;等于號添條斜杠，就表示根本不相等，劃掉吧。

數(shù)學符號如此簡潔、優(yōu)美，教師要用好數(shù)學符號的簡約記憶功能、輔助理解功能，重視讓學生通過形象感知來理解符號、欣賞符號。

（二）抽象概括，提升符號表征水平

培養(yǎng)學生的符號意識，本質(zhì)上是培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力，而要提升學生的符號表征水平，也應當從抽象概括入手。

1. 抽象概括，建立數(shù)的符號表征

（1）數(shù)字符號表征

小學生入學伊始首先要學習和認識的就是數(shù)字符號，也就是對數(shù)的認識和運用。數(shù)概念的形成過程就是一個抽象概括的過程，它舍棄了一切非數(shù)量關系的內(nèi)容（大小、顏色、材質(zhì)等），只保留了量的抽象結(jié)果。

學生在學習數(shù)字符號的過程中，要反復經(jīng)歷從直觀到抽象、從具體到概括的認知過程。例如在一年級的“數(shù)一數(shù)”教學中，學生數(shù)圖片中的多種物體，接著把所有被數(shù)的數(shù)量相同的物體抽象為對應的圓點，最后將圓點抽象為對應的數(shù)字符號。

（2）數(shù)學符號表征

學生從一年級就開始接觸類似“△+3=8”這樣的問題，隨著學習經(jīng)驗的積累，在不斷地抽象概括中學生會慢慢領悟和接受用“△”“☆”等符號表征特定的數(shù)或某個范圍內(nèi)的數(shù)，進而理解用字母表示未知數(shù)、不確定的數(shù)。

2. 對比分析，抽象概括數(shù)量關系

學生學習和掌握用數(shù)學符號表征數(shù)量關系要經(jīng)歷兩個過程，首先是抽象和概括已有的公式、定律，其次是提煉數(shù)量關系并用數(shù)學符號表征。

（1）轉(zhuǎn)換符號，抽象概括公式、定律

學生在探究活動中得到圖形的周長、面積等公式后，需要將文字公式寫成字母公式，這是一個將語言文字表述轉(zhuǎn)換成數(shù)學符號表征的過程。同樣地，在學習運算定律的時候，教師也會引導學生將發(fā)現(xiàn)和總結(jié)的運算定律轉(zhuǎn)換成字母式子來表示。

雖然在上述教學活動中，將語言表述轉(zhuǎn)換成字母式子并不是教學的重點，但我們要知道每一次字母式子的書寫和運用都有利于學生符號意識的發(fā)展。在運用這些字母式子（公式）的過程中，學生知道每一個字母背后的含義，明白字母能表示整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)，感受到數(shù)學符號表征的簡潔和概括。

（2）對比分析，抽象概括數(shù)量關系

如果說學生用字母式子表示公式僅僅是一個表征方式轉(zhuǎn)換的過程，那么他們在學習用字母式子表示數(shù)量關系時需要通過對比分析，轉(zhuǎn)變對數(shù)學符號的認知，學會通過符號表征抽象概括數(shù)量關系。

例如教師在教學“用字母表示數(shù)量關系”時，可以創(chuàng)設這樣的教學情境：現(xiàn)有一箱蘋果，數(shù)量我們暫不能確定，可以用字母a表示;還有一箱梨比蘋果多10個，該如何表示梨的數(shù)量呢？

學生整理幾種表示方法（見表1）：

全班交流對比分析后，能夠理解表示梨的個數(shù)的最好方法是第四種，因為它能體現(xiàn)梨和蘋果之間的數(shù)量關系。第二種方法中，蘋果和梨的數(shù)量用相同的字母表示，意味著在同一情境下它們的數(shù)量相同;第三種方法中，蘋果和梨的數(shù)量所用字母不同，表示它們的數(shù)量不同，但未能反映出梨比蘋果多10個的重要信息。

有了前面的學習基礎，學生在后續(xù)學習列方程解決問題等內(nèi)容的時候，就能夠輕松自如地實現(xiàn)數(shù)學符號語言和日常語言的轉(zhuǎn)化，即能將日常語言敘述的數(shù)量關系或空間形式轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號語言。

3. 提煉關系，用數(shù)學符號把握變化規(guī)律

運用數(shù)學符號表征變化規(guī)律是小學階段數(shù)學符號表征的最高水平，達到這一表征水平的關鍵是能夠根據(jù)規(guī)律提煉數(shù)量關系，它是用數(shù)學符號表征數(shù)量關系的延續(xù)和提升。

例如在探究多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的關系時，首先要思考把多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化成求若干個三角形的內(nèi)角和問題;接著思考每個多邊形能轉(zhuǎn)化成幾個三角形;最后是根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出多邊形的內(nèi)角和。這其中蘊含著的規(guī)律也就是它們之間的數(shù)量關系。因此，在教學中教師要引導學生層層剖析其中的數(shù)量關系，第一層數(shù)量關系是多邊形的邊數(shù)減少2就是它劃分成的三角形個數(shù);第二層數(shù)量關系是有多少個三角形就有多少個180°累加。理清楚了這兩層數(shù)量關系，就能夠用數(shù)學符號表征這其中的規(guī)律了。

（三）創(chuàng)設情境，運用符號運算、推理

運用數(shù)學符號進行運算和推理是符號意識發(fā)展到較高水平的體現(xiàn)，義務教育階段一般在第三學段（7—9年級）將這一能力納入考查要求，但并不是說小學生就不能體驗“使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)果具有一般性”。如果教師能夠創(chuàng)設恰當?shù)臄?shù)學情境，那么學生還是能夠獲得一定的感悟。

五年級學生學習了“用字母表示數(shù)”之后，立即展開了“多邊形的面積”的學習，這一單元中的平行四邊形、三角形以及梯形面積公式的推導過程，以及后續(xù)的圓面積公式的推導過程，就都運用了符號進行運算和推理。

在“用字母表示數(shù)”單元，我們還可以設計下面的數(shù)學小魔術(shù)：“請你想一個整數(shù)，把它乘3加9，再把結(jié)果乘3減27。只要你說出計算結(jié)果，我能馬上寫出你想的整數(shù)是多少。”

先讓學生嘗試，教師每次都能準確寫出學生心里想的數(shù)，讓學生驚訝不已，然后引導學生用字母式子解密。

“設所想的數(shù)為x，則（3x+9）×3-27=9x+27-27=9x。”

只要計算正確，結(jié)果一定能被9整除，將計算結(jié)果除以9，就是對方所想的數(shù)。

上述教學內(nèi)容，不僅能極大地增強學生的學習興趣，還能讓他們體會引入數(shù)學符號的必要性，并感受到“符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式”。

參考文獻：

[1]? 朱立明，馬云鵬. “數(shù)學符號意識”研究：內(nèi)涵與維度[J]. 教育理論與實踐，2015（32）：6-8.