建立“直觀模型”，提升學生運算力

刁懷濤

[摘? 要] 運算力是“運算技能”和“數(shù)學思維”的融合。在小學數(shù)學運算教學中，教師要借助生活性模型、遷移性模型、和諧性模型和符號性模型，來助推學生的運算理解，強化學生的運算關聯(lián)，增強學生的運算直覺，培育學生的運算理性。建立“直觀模型”，能有效地提升學生的運算力，發(fā)展學生的運算素養(yǎng)。

[關鍵詞] 直觀模型;運算力;數(shù)學思維

運算力是小學生數(shù)學學習力的重要組成部分，是學生數(shù)學核心素養(yǎng)形成的根基。著名教育心理學家林崇德先生認為學生的基本數(shù)學素養(yǎng)有三個方面，即運算力、邏輯思維力和空間想象力。所謂運算力，是指“學生運用數(shù)學的概念、法則、公式、定理等進行運算過程中所表現(xiàn)的能力”。運算力是“運算技能”和“數(shù)學思維”的融合[1]。運算力不僅僅是指學生運算得對，更是指學生能選擇合適的、合理的運算方法，采用相應的運算策略、運算路徑等。

一、生活性模型：助推學生的運算理解

過去，對于運算這一部分內容的教學，很多教師都采用這樣的一種模式——“多練”。大量的、重復的、機械的練習，讓學生在運算過程中往往“知其然而不知其所以然”。一個學生運算能力的高低，就是這位學生運算速度、運算熟練程度的高低。在這樣的運算過程中，運算成為一種程序，學生異化為運行程序的機器。“又對又快”成為衡量學生運算能力高低的標識。但學生不是機械地執(zhí)行運算命令的機器，而是有著思維、想象的人。在高強度、高密度的運算訓練中，學生的主體性被遺忘了。

數(shù)學學科中的運算教學，其目的不是將學生培養(yǎng)成運算的機器，而是要通過具體的運算，來激發(fā)學生的數(shù)學思維，催生學生的數(shù)學想象。那么，如何讓學生在運算過程當中“思維在場”“想象在場”“創(chuàng)新在場”呢？一個重要的策略就是要讓學生經(jīng)歷運算的過程，而不是直奔運算的結果。運算的過程，對于學生來說，應當是活生生的。在運算教學中，教師不僅要聚焦于運算的法則等陳述性知識，更要聚焦于運算的算理等程序性知識。算理等程序性知識，應當是運算的原始形態(tài)的知識、過程形態(tài)的知識。原始形態(tài)的算理能激發(fā)學生“火熱的思考”。在運算教學中，教師應引導學生將教材中的“學術形態(tài)的知識”轉變?yōu)椤敖逃螒B(tài)的知識”。轉變的路徑很多，其中一條重要的路徑就是借助于學生日常生活中的“模型直觀”。所謂“生活性模型”，是指“以學生的生活經(jīng)驗為基礎等做的模型”。這樣的“生活性模型”，一方面貼合學生的認知，另一方面切中數(shù)學知識的本質。比如教學“減法的性質”中的“a-b-c=a-（b+c）”時，筆者就運用學生的生活經(jīng)驗啟發(fā)他們：你有一盒餅干，共有a塊，先吃了b塊，又吃了c塊，還剩多少塊？可以怎樣計算？借助于這種生活化的經(jīng)驗，幫助學生理解“減法的性質”中蘊含的算理。同時，將這一性質用學生的“生活性模型”來建構，就讓學生對原本抽象化的運算性質有了形象化的理解。這樣的一種理解能被學生固定在數(shù)學學習經(jīng)驗中，成為一種“生活性模型直觀”。

“生活性模型直觀”是學生經(jīng)驗中的直觀，是學生經(jīng)常遭遇的一種直觀。該直觀易被學生接受，因而其所蘊含的算理也就能為學生理解、認同。在數(shù)學教學中，教師對于一些運算不能采用“灌輸”“告訴”的方式進行教學，而應當在“生活性模型直觀”中，讓學生獲得對數(shù)學知識的理解。唯有這樣的學習，才是真性的學習。

二、遷移性模型：強化學生的運算關聯(lián)

數(shù)學中的運算是非常豐富的，它有各種各樣的類型，這些類型本身就是一個個模型。在數(shù)學教學中，教師要善于將一個個有關聯(lián)的運算模型聯(lián)系起來，從而促進學生對運算模型的建構。如果說一個個具體的運算模型是小模型（子模型），那么由一個個小模型組合起來的運算模型應該就是“大模型”。相比較而言，“大模型”的建構要求學生對數(shù)學運算獲得更為深刻、更為本質，有更強關聯(lián)性的理解。建構數(shù)學運算“大模型”，能有效地發(fā)展學生的高階認知、高階思維。

我們如何引導學生借助于一個個數(shù)學運算的“小模型”建構數(shù)學運算的“大模型”呢？其中一個重要的策略就是引導學生進行運算的遷移。筆者將這樣的運算“大模型”稱為“遷移性模型”。遷移性模型要求教師積極地通過教學，促進學生運算的同化與順應。為此，教師在教學中要善于找準一個個數(shù)學運算模型之間的關聯(lián)點，這些關聯(lián)點就是數(shù)學運算“大模型”的建構點、生長點、生成點、生發(fā)點。建構數(shù)學運算“大模型”，有助于學生在運算過程中合理、靈活地運用運算法則解決相關的實際問題。比如教學“整數(shù)加減法”時，教師通常會借助計數(shù)器，來引導學生認識只有相同數(shù)位上的數(shù)才能相加的內在道理，也就是“數(shù)位對齊（末位對齊）、滿十進一”的算理。這個時候運算模型建構依托的就是一種“物質直觀”模型，有一種“物以類聚”的思想。在此基礎上，學生學習“小數(shù)的加減法的法則”時，教師就可以依托“整數(shù)加減法法則”模型，讓學生在對“整數(shù)加減法法則”進行回顧的基礎上，抓住“小數(shù)點”這樣一個“牛鼻子”，自主思考、探究、建構“小數(shù)加減法法則”。在這個過程中，教師還可以將“整數(shù)加減法法則模型”與“小數(shù)加減法法則模型”進行比較，從而讓學生深刻認識到，盡管“整數(shù)加減法法則模型”與“小數(shù)加減法法則模型”形態(tài)不一，但其本質是一致的。如此，在引導學生建構“同（異）分母分數(shù)加減法法則”時，教師就可以依托“整數(shù)加減法法則”和“小數(shù)加減法法則”，引導學生回顧、猜想、驗證，并進行比較、概括，從而建構更大的“數(shù)的加減法”的法則模型，這就是“只有計數(shù)單位相同才能直接相加減”。這樣的運算模型建構過程，就是“遷移性模型”的建構過程。

相比較于直觀性模型的建構，遷移性模型的建構更具有一種內在的意義，更有助于深化學生的認知，讓學生把握運算的本質。通過遷移性模型的建構，學生的數(shù)學思維、認知層次不斷提升。如在上述教學中，學生能從“數(shù)位對齊”“小數(shù)點對齊”以及“分數(shù)單位相同”中抽象、概括出更上位的法則。在遷移性模型的建構中，學生的數(shù)學學習力和數(shù)學核心素養(yǎng)得到提升。

三、和諧性模型：增強學生的運算直覺

學生的數(shù)學運算能力與學生的“數(shù)感”是密切相關的。所謂“數(shù)感”，通俗地說就是指“對數(shù)的一種感覺”。它和語文學科中的“語感”、音樂學科中的“樂感”一樣，是學生學習的一種內在性的學科品質。好的“數(shù)感”能催生學生的數(shù)學直覺，能讓學生迸發(fā)一種數(shù)學靈感，能引發(fā)學生豐富的數(shù)學想象[2]。作為教師，在數(shù)學教學中要培養(yǎng)學生的“數(shù)感”，優(yōu)化學生的“數(shù)感”。通過激發(fā)學生的“數(shù)感”，增強學生的運算直覺。數(shù)學的直覺不是一種常規(guī)的運算，而是一種跳躍式的思維。

培養(yǎng)學生數(shù)感的路徑很多，其中一條重要的路徑是通過數(shù)學之美、數(shù)學之和諧來引導學生建構運算模型。在學生的運算過程中，“美學的觀念”發(fā)揮著重要的作用。一些學生在運算的過程中，能感受、體驗到運算的簡潔之美、靈動之美。比如低年級的整數(shù)加減法中的“湊十法”“湊整法”等是一種整體性的和諧數(shù)感的體現(xiàn);中年級的估算是對數(shù)學運算的界域的一種敏銳的把握;高年級在進行簡便運算時，學生靈活地調用相應的運算律，采用相應的簡便運算方法，就是一種運算策略的敏銳選擇。這里，筆者以小學階段學生最難掌握的“乘法分配律”的教學為例。“乘法分配律”的表征、應用有正向和逆向之分。“乘法分配律”的教學從根本上說有兩個方面：一是“乘法分配律”的算理形成;二是“乘法分配律”的結構性應用。對于“乘法分配律”的算理形成，教師可以采用“生活性模型”建構的策略，引導學生認知;對于“乘法分配律”的算法結構性應用，教師就應當充分應用“和諧性模型”，激發(fā)學生對美的認知心理。如筆者在教學中，出示了一些開放性習題，諸如“（125+25）×4=125×4+□×4”“32×4+68×4=（□+□）×4”“138×8-□×8=（138-□）×8”，等等。這樣的開放性習題具有一種召喚作用，能喚醒學生內在的“乘法分配律”心理圖式，促使學生積極應用“乘法分配律”。在這個過程中，有學生還構建了兩個等寬的長方形，通過數(shù)形結合的方式來建構乘法的分配律。乘法分配律成為一種“和諧性模型”，并且喚醒、激活了學生已有的認知經(jīng)驗。如有學生認為，“以前所學的兩位數(shù)乘三位數(shù)就是利用乘法分配律”;有學生認為，“相遇問題的基本模型建構利用了乘法分配律”;有學生認為，“基本的工程問題模型建構利用了乘法分配律”;等等。正是將“乘法分配律”看成了一種“和諧性模型”，才讓學生的“乘法分配律”的學習過程顯現(xiàn)出如此的魅力。

“和諧性模型”，激發(fā)了學生的數(shù)感，增強了學生的運算直覺。在數(shù)學教學中，缺乏數(shù)學直覺參與的運算是不完整的。數(shù)學直覺是一種非常規(guī)思維，數(shù)學直覺往往會超越數(shù)學的法則，能掙脫法則、定理等束縛，產(chǎn)生一種類似于頓悟的本能的思維、感覺或想象。充分利用“和諧性模型”，能有效地彌合數(shù)學運算與數(shù)學直覺之間的裂痕。

四、符號性模型：引領學生的理性思考

“數(shù)學，從根本上來說是邏輯加符號”。（羅素語）在小學數(shù)學運算教學中，教師要引導學生充分經(jīng)歷算法的建構過程，從而讓學生理解算理。經(jīng)歷算法的建構，也就是要引導學生將與數(shù)學相關的問題數(shù)學化，并用抽象的數(shù)學符號來表征。數(shù)學符號集中體現(xiàn)了數(shù)學學科內容的簡約性、符號化等特點。在數(shù)學運算教學中，教師要引導學生積極主動地建構、創(chuàng)造符號模型，從而催生學生的理性化思考。

比如教學“有余數(shù)的除法”這部分內容時，筆者就利用學生喜聞樂見的游戲方式，讓學生開展游戲活動，在活動中建構“商”“余數(shù)”等概念，并體會、感悟“余數(shù)”和“除數(shù)”之間的關系。在活動開始時，筆者用一種類似于小朋友“分卡片”的方式，從“1張1張地分”到“2張2張地分”，從“2張2張地分”到“3張3張地分”，進而走向“更多張一起分”。在不斷地嘗試分卡片的過程中，學生發(fā)現(xiàn)，只要剩余的卡片的張數(shù)（余數(shù)）比小朋友的人數(shù)（除數(shù)）多，就可以繼續(xù)平均分。只有當剩余的卡片的張數(shù)（余數(shù)）比小朋友的人數(shù)（除數(shù)）少，該活動才不能繼續(xù)，因為每一個人都不夠分1張了。于是，一種“余數(shù)必須比除數(shù)小”“除數(shù)必須比余數(shù)大”的重要的“有余數(shù)除法”算理，就這樣被學生所建構、所理解。同時，這種數(shù)學化活動，增進了學生的數(shù)感，讓學生漸漸地學會“一下子就能看出商是幾”的本領。因為在不斷地“分卡片”活動中，學生分卡片的速度顯著提升。學生分卡片速度的提升，充分體現(xiàn)了學生對數(shù)學除法運算中的“商”的概念、“余數(shù)”的概念的理解，充分體現(xiàn)了學生對除法運算中的“商”與“余數(shù)”關系的把握，充分助推了學生對數(shù)學除法運算中的“商”和“余數(shù)”的應用。在這樣的活動基礎上，筆者引導學生用自己的方式來表征“有余數(shù)的除法”的運算過程。于是，有學生通過畫圖表征，有學生用字母表征，有學生用圖形表征，等等。通過表征，學生建立了“有余數(shù)的除法”的符號化模型，即“a÷b=c…d（d

運算這部分內容對于小學生來說是比較枯燥的。如何化枯燥為有趣？一個重要的方法就是要引領學生建構各種數(shù)學模型。借助各種數(shù)學模型，深化學生的算理理解，強化數(shù)學運算的關聯(lián)，增強學生的運算直覺，引領學生的理性思考等。尤其是要引領學生經(jīng)歷數(shù)學模型的建構過程，展現(xiàn)數(shù)學運算的“原始形態(tài)”。建構直觀模型，能有效地提升學生的運算力，發(fā)展學生的運算素養(yǎng)。在這個過程中，學生自然能感受到數(shù)學運算所散發(fā)的魅力。

參考文獻：

[1]? 張平奎. 算理理解：計算教學的重中之重[J]. 教學與管理，2019（05）：30-32.

[2]? 唐斌，付興容. 問題解決教學中學生計算思維的培養(yǎng)[J]. 教學與管理，2021（05）：62-64.