元素分析視角下表征數(shù)學(xué)概念的路徑

摘要 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，可以分解為多個單一元素得以表征。作為表征數(shù)學(xué)概念的路徑設(shè)計(jì)的一種新視角，元素分析能有效地將數(shù)學(xué)概念進(jìn)行有序分解與重組，促進(jìn)思維的下沉與上浮，從而表征知識核心內(nèi)涵，突破教學(xué)難點(diǎn)疑點(diǎn)，體悟數(shù)學(xué)思想方法，獲得數(shù)學(xué)概念理解、概念應(yīng)用和概念轉(zhuǎn)化的意義建構(gòu)。

關(guān)? 鍵? 詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 元素分析 數(shù)學(xué)表征 數(shù)學(xué)概念

引用格式 姚建法.元素分析視角下表征數(shù)學(xué)概念的路徑[J].教學(xué)與管理，2022（20）：44-46.

概念是邏輯思維的主要形式，既有外顯元素樣態(tài)，又有內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)概念有著精簡而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)化組成元素，具有抽象結(jié)構(gòu)與具體操作的兩重性。不同的概念有著不同的概念元素表征與結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)構(gòu)造，呈現(xiàn)個性化教學(xué)路徑設(shè)計(jì)。“知識的理解與學(xué)習(xí)需要經(jīng)過還原與下沉、經(jīng)驗(yàn)與探究、反思與上浮的‘U型過程”[1]，進(jìn)而逐步表征出清晰明確的概念理解、應(yīng)用與轉(zhuǎn)化。

元素分析，是指為了減輕理解數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知負(fù)荷，分析數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)涵并將其解構(gòu)為若干概念元素，形成數(shù)學(xué)信息后同步或異步傳輸給兒童，展開下沉與反思，再按一定的數(shù)學(xué)邏輯或準(zhǔn)則實(shí)施概念元素的重塑與重組，表征出兒童個性化的概念理解樣態(tài)，展開上浮與輸出，并在交互重構(gòu)中獲得完整清晰的概念建構(gòu)與理性認(rèn)知的表征過程與表征行為（如圖1）。元素分析能有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念從整體到部分、再從部分到整體的雙向互動與深度跨越。

一、運(yùn)用元素分析表征概念核心內(nèi)涵

數(shù)學(xué)概念具備呈現(xiàn)形式的豐富性以及系統(tǒng)表征的嚴(yán)密性，其核心內(nèi)涵存在內(nèi)隱性，需要設(shè)計(jì)有效的教學(xué)路徑將其外顯可視，以獲得深刻體認(rèn)與深層理解。教師不能脫離概念本質(zhì)而盲目地追求學(xué)習(xí)或表征方式的多樣性，需要對概念的核心本質(zhì)進(jìn)行合理外顯以及言語表征，促進(jìn)概念認(rèn)知與內(nèi)涵建構(gòu)。將數(shù)學(xué)概念進(jìn)行元素分析，實(shí)施分解與組合，既降低學(xué)習(xí)負(fù)荷，又提高教學(xué)效率，為兒童學(xué)習(xí)知識提供了一種數(shù)學(xué)眼光：用部分觀照整體或從整體推論部分。

例如蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級下冊“旋轉(zhuǎn)”。旋轉(zhuǎn)三元素分別是旋轉(zhuǎn)點(diǎn)（中心）、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度。作為圖形運(yùn)動中的一個重要內(nèi)容，需要兒童更加具備“運(yùn)動視角”，發(fā)展空間觀念。教材例2（如圖2）的第一組問題應(yīng)用動作表征和圖像表征，揭示旋轉(zhuǎn)的三個元素中的兩個：旋轉(zhuǎn)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)方向。第二組問題應(yīng)用圖像表征與符號表征揭示出順時針90度和逆時針90度，得到第三個旋轉(zhuǎn)元素——角度（雖然一定程度上角度從屬于方向，是對方向的進(jìn)一步精確和細(xì)化，但為了研究的方便，往往把它剝離為一個獨(dú)立的單位元素）。豆莢老師的兩個問題引領(lǐng)兒童將旋轉(zhuǎn)三元素有機(jī)整合在一起，實(shí)現(xiàn)元素重組，應(yīng)用完整的專業(yè)化數(shù)學(xué)語言表征出旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，豐潤旋轉(zhuǎn)概念內(nèi)涵本質(zhì)的體驗(yàn)與理解。

二、運(yùn)用元素分析突破例題難點(diǎn)疑點(diǎn)

具體概念依靠的是感知經(jīng)驗(yàn)表征，而抽象概念則依靠抽象的符號表征[2]。任何數(shù)學(xué)概念都會因數(shù)學(xué)化而抽象，基于兒童的年齡特征與認(rèn)知規(guī)律，總是或多或少地存在著認(rèn)知困難和理解疑難。值得注意的是，教材例題是具有相應(yīng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)背景下的“好例子”，需要從其內(nèi)涵本質(zhì)上進(jìn)行深入思考，挖掘并設(shè)計(jì)內(nèi)化路徑，積累教與學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，而不是隨意改編或更換教材例題。于是，如何分析概念的元素組成，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動，從而突破重難點(diǎn)、厘清疑點(diǎn)就成為教學(xué)路徑選擇的應(yīng)然考量。

例如蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級上冊“平行四邊形的面積”例2（如圖3），教材設(shè)計(jì)了有向開放的問題：你能把右邊的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形嗎？教學(xué)時需要突出轉(zhuǎn)化三元素：轉(zhuǎn)化對象、轉(zhuǎn)化目標(biāo)（轉(zhuǎn)化方向）和轉(zhuǎn)化方法。轉(zhuǎn)化對象（平行四邊形）和轉(zhuǎn)化方向（長方形）十分具體而明確，轉(zhuǎn)化方法卻是豐富而開放。顯然，兒童根據(jù)自身學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)容易得到不同的轉(zhuǎn)化方法：沿不同的高剪。但在聚類分析時“為什么都是沿高剪”卻成為兒童思維的難點(diǎn)與疑點(diǎn)。事實(shí)上，如果溯源于轉(zhuǎn)化方向——長方形角的特征元素，即“長方形四個角都是直角”，那么就清晰了要尋找或“制造”直角才能將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的思維方向與路徑，而垂直能夠產(chǎn)生直角，于是通常選擇作高。

三、運(yùn)用元素分析體悟數(shù)學(xué)思想方法

概念的結(jié)構(gòu)分解始于分步認(rèn)知、分層推進(jìn)，歸于元素重構(gòu)，從而達(dá)成概念的深度理解。在數(shù)學(xué)概念的形成與學(xué)習(xí)進(jìn)程中，滲透并彰顯著不同的數(shù)學(xué)思想與方法，常見的數(shù)學(xué)思想有分類、轉(zhuǎn)化、函數(shù)、抽象、推理、建模等，教師應(yīng)讓數(shù)學(xué)思想方法通過元素分析的方式扎根、實(shí)施，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

1.分類思想的路徑設(shè)計(jì)

分類是將數(shù)學(xué)研究對象按一定標(biāo)準(zhǔn)分為不同種類，從而抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，它以比較為基礎(chǔ)，比較是分類的前提，分類是比較的結(jié)果。比如，蘇教版《數(shù)學(xué)》二年級上冊“認(rèn)識乘法”導(dǎo)入部分先口算①1+4+2、②5+5+5、③7+7+7+7、④8+2+3、⑤6+6+6，然后開展分類活動，得到兩種分類標(biāo)準(zhǔn)與分類結(jié)果：第一種依據(jù)加數(shù)是否相同分為：②③⑤和①④，第二種依據(jù)加數(shù)個數(shù)分為：①②④⑤和③。“相同加數(shù)”與“相同加數(shù)的個數(shù)”是乘法意義的兩大元素，于是學(xué)生對乘法即相同加數(shù)的累加得到滲透性的理解。兒童在分類過程中“求同”與“存異”，透過教材例題的多元表征分析抽象出乘法概念的本質(zhì)，并通過言語表達(dá)整體觸摸與內(nèi)化乘法的意義，促成意義建構(gòu)。“數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象性與應(yīng)用的廣泛性規(guī)定了數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)發(fā)展的過程，就是不斷地求同（聚合）—求異（發(fā)散）—求同（聚合）的過程。……同數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)建立和發(fā)展的進(jìn)程一樣，思維只有在求同與存異的矛盾運(yùn)動之中，才能得到發(fā)展與提高。”[3]

2.轉(zhuǎn)化思想的路徑設(shè)計(jì)

布魯姆在《教育目標(biāo)分類學(xué)》中指出數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力。轉(zhuǎn)化既是一種解決問題的策略，也是一種數(shù)學(xué)思想。在轉(zhuǎn)化對象與轉(zhuǎn)化方向之間存在聯(lián)系，為轉(zhuǎn)化方法的路徑尋求方向。仍以“旋轉(zhuǎn)”為例。教材例2應(yīng)用旋轉(zhuǎn)三元素規(guī)范表征旋轉(zhuǎn)之后，例3設(shè)計(jì)了三角形紙的操作活動，通過動作表征積累感性經(jīng)驗(yàn)（如圖4），然后再在方格紙上畫出旋轉(zhuǎn)圖形（如圖5）。

事實(shí)上，三角形紙旋轉(zhuǎn)的動作表征只是直觀體認(rèn)，不代表一定能成功畫制，仍需要加入旋轉(zhuǎn)三元素，并用完整的數(shù)學(xué)言語一邊表征旋轉(zhuǎn)路徑、一邊逐步繪圖，從而將平面圖形（如三角形）的旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)譯并回歸線段（如轉(zhuǎn)桿）的旋轉(zhuǎn)，即重塑為先將三角形的兩條邊分別進(jìn)行一維旋轉(zhuǎn)、再連接兩條邊的頂點(diǎn)得到旋轉(zhuǎn)后的三角形。在畫出旋轉(zhuǎn)圖形的過程中，轉(zhuǎn)化對象是三角形，轉(zhuǎn)化方向是線段，轉(zhuǎn)化方法是“維度轉(zhuǎn)換”。點(diǎn)可以看作零維，線、面、體分別屬于一維、二維、三維。概念應(yīng)用時在這個維度上不能解決或一時難以解決的數(shù)學(xué)問題，在另一個維度上卻很容易被解答。因此，維度之間可以相互轉(zhuǎn)換，要么升維、要么降維，從而使復(fù)雜問題變得簡單，既深度理解并習(xí)得概念，又獲得思想方法上的深刻體悟。

3.函數(shù)思想的路徑設(shè)計(jì)

函數(shù)思想的本質(zhì)在于建立和研究變量之間的對應(yīng)關(guān)系，主要元素便是自變量和因變量。函數(shù)到中學(xué)才具體揭示形式化概念，但在小學(xué)階段卻有著豐富的滲透。比如蘇教版《數(shù)學(xué)》一年級上冊“分與合”中例1的數(shù)學(xué)模型是“a+b=4”（如圖6），可分三個層次組織教學(xué)：第一層次得出“1和3”“2和2”“3和1”三種方案，訓(xùn)練多元思維和有序思維;第二層次概括出“4可以分成幾和幾”或“幾和幾合成4”的數(shù)學(xué)模型，滲透抽象思維和模型思想;第三層次觀察思考“什么不變？什么原因又導(dǎo)致什么變了”，得出“一共4個桃不變，第一盤的桃變（多）了，第二盤的桃變（少）了”。兒童體驗(yàn)到自變量與因變量的聯(lián)系與變化，以及變與不變的辯證唯物主義觀點(diǎn)。這其實(shí)就是一種函數(shù)思想，也是數(shù)學(xué)哲學(xué)的一次生根過程。應(yīng)用元素打包原則，還可以將后續(xù)的四則運(yùn)算規(guī)律歸結(jié)為“什么不變，什么變了（自變量），什么跟著怎么變（因變量）”，從而不斷規(guī)范數(shù)學(xué)言語表達(dá)，豐富和發(fā)展邏輯推理過程，體會把握規(guī)律的重要性，浸潤函數(shù)思想。

可見，面對不同的數(shù)學(xué)概念，把握概念的本質(zhì)元素，實(shí)施元素分析，調(diào)用不同的數(shù)學(xué)表征，設(shè)計(jì)認(rèn)知路徑，在有向聚力中交流互鑒，能夠清晰地展開概念的程序性表達(dá)與結(jié)構(gòu)性認(rèn)知，促進(jìn)概念理解、應(yīng)用與轉(zhuǎn)化，服務(wù)于兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)

[1] 郭元祥.增強(qiáng)課堂的畫面感——談?wù)n程改革的深化（5）[J].新教師，2016（05）：13-15.

[2] 殷融，葉浩生.多元表征假設(shè)：概念表征機(jī)制的新觀點(diǎn)[J].心理科學(xué)，2014，37（02）：483-489.

[3] 張乃達(dá).數(shù)學(xué)思維教育學(xué)[M].南京，江蘇教育出版社，1990.

*該文為江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題“蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材例題中多元表征的教學(xué)研究”（B-a/2020/02/06）、江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力培養(yǎng)的實(shí)踐研究”（D/2020/02/08）的研究成果