數形結合 破解中考題

董忠慈

考題再現

例1 （2020·遼寧·大連）如圖1，△ABC中，點D，E，F分別在邊AB，BC，AC上，BE = CE，點G在線段CD上，CG = CA，GF = DE，∠AFG = ∠CDE.

（1）填空：與∠CAG相等的角是 ;

（2）用等式表示線段AD與BD的數量關系，并證明;

（3）若∠BAC = 90°，∠ABC = 2∠ACD（如圖2），求[ACAB]的值.

考點剖析

本文僅就第（3）問進行探究.

1. 知識點：等腰三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、勾股定理、二倍角應用.

2. 思想方法：幾何直觀、運算能力、構造法.

3. 基本圖形：

（1）如圖3，在△ABC中，條件：AB = AC，∠A = α，AB的垂直平分線MN交AC于點D. 結論：∠DBC = 90° - 1.5α.

（2）如圖4，在等邊三角形ABC中，條件：點D在AC上，點E在BC上，AD = CE，AE與BD交于點H，連接CH，若CH⊥BD. 結論：BH = 2AH.

學情分析

思路1：如圖5， 延長BA至點M，使AM = AD，連接CM，證明△BCM為等腰三角形，得到BC = 4a，AB = 3a，利用勾股定理求出AC，即可得到結論.

解法1：如圖5，延長BA至點M，使AM = AD，連接CM，

∵∠BAC = ∠MAC = 90°，

∴AC垂直平分DM，

∴CD = CM，

∴∠ACD = ∠ACM.

設∠ACD = α = ∠ACM，則∠ABC = 2α，∠AMC = 90° - α，

∴∠BCM = 180° - 2α - （90° - α） = 90° - α，

∴BM = BC，即△BCM為等腰三角形.

設AD = a，則AM = a，BD = 2a，

∴BC = BM = 4a，AB = 3a，

∴AC = [BC2-AB2] = [7]a，

∴[ACAB] = [7a3a] = [73].

思路2：如圖6，作AN[?]DE，連接EN，證明平行四邊形ANED是平行四邊形，從而證明△BDE ∽ △NAD，在直角三角形ACD中利用AN = DN，求出CD，最后利用勾股定理得到結論.

解法2：略

勤于積累

思路1要運用“二倍角”解題策略，利用幾何直觀找到思路，進而利用運算得到圖形的特點，最后依靠邏輯推理得出結論.

思路2另辟蹊徑，構造平行四邊形，利用第二問的思路深入研究，進而利用幾何直觀、邏輯推理得出結論.

拓展變形

例2 如圖7，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，點D在AC上，點E在BA的延長線上，且CD = AE，過點A作AF⊥CE，垂足為F，過點D作BC的平行線，交AB于點G，交FA的延長線于點H.

（1）在圖中找出與CE相等的線段，并證明;

（2）若GH = kDH，求[AHAF]的值（用含k的代數式表示）.

解析：（1）與CE相等的線段是AH.

證明：如圖 8，在AC上截取AM = AE，連接EM，

易證∠AGH = ∠CME = 135°，AG = CM，∠BAH =∠ACE，∴△AGH ≌ △CME，∴AH = CE.

（2）如圖9，連接 BH.

易證△ABH ≌ △CAE，∴BH = AE，∠ABH = ∠CAE = ∠BAC = 90°.

∴BH[?]AC，∵HD[?]BC，∴四邊形BCDH是平行四邊形，∴DH = BC.

易證△ABH ∽ △AFE，∴[AHAE=ABAF]，

設AB = AC = a，則BC = [2a].

∴GH = [k]DH = [2ka]，∴BH = ka.

∴AH = [a2+k2a2]，[AF=AB?AEAH=ka2a2+k2a2]，

∴[AHAF=k2+1k].

（遼寧省沈陽市皇姑區教育研究中心）