對稱變換巧轉化 破解線段和最值

毛麗麗

考題再現

例 （2021·遼寧·盤錦）如圖1，四邊形ABCD為矩形，AB = [23]，AD = [22]，點P為邊AB上一點. 以DP為折痕將△DAP翻折，點A的對應點為點A'. 連接AA'，AA' 交PD于點M，點Q為線段BC上一點，連接AQ，MQ，則AQ + MQ的最小值是.

考點剖析

1.知識點：兩點之間線段最短、軸對稱圖形的性質、90°的圓周角所對的弦是直徑、矩形的性質、勾股定理、二次根式計算.

2.數學方法：聯想法、對比法、轉化法.

3.基本模型：如圖2，若∠ACB = 90°，直角頂點C的軌跡為以AB為直徑的圓（點A，B除外）;如圖3，P為圓O外一點，A為圓O上任一點，當點A運動到點B時，PA取得最小值，當點A運動到點C時，PA取得最大值.

學情分析

（1）相關聯想：本題求兩線段和的最小值，其中點A為定點，點M，Q為動點，屬于“一定兩動”的情況，聯想相關經驗.

關聯1：如圖4，A，B是直線l的同側兩定點，在直線l上求作一點P，使PA + PB最小.

關聯2：如圖5，點P是∠MON內一定點，分別在射線OM，ON上求作點A，B，使得PA + PB最小.

關聯3：如圖6，點P是∠MON內一定點，分別在射線OM，ON上求作點A，B，使PA + AB最小.

（2）對比分析：

關聯1：如圖4，作點A關于直線l的對稱點A'，連接A'B交直線l于點P.此時點P為所求. PA + PB的最小值為線段A'B的長.此種情況屬于“兩定一動”，與本題不符合，但是也不排除本題可轉化為此種情況.

關聯2：如圖5，過點P作PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B，點A，B為所求. PA + PB的最小值為此時圖中A，B所在位置時PA + PB的長.此種情況屬于“一定兩動”，與本題看似符合.

關聯3：如圖6，取點P關于射線OM的對稱點P'，過點P'作P'B⊥ON于點B，P'B分別交射線OM，ON于點A，B.此時點A，B為所求，PA + AB的最小值為線段P'B的長. 此種情況屬于“一定兩動”，兩動點均在直線上，與本題看似符合.

（3）回歸例題：結合上述關聯對比分析，深入思考該題本質，其中點A為定點，點Q為線段BC上一點，即屬于直線上動點，而動點M的軌跡題目中沒有直接給出，因此需要首先明確此問題，然后聯想對比已有經驗，進而合理轉化解決問題.

通過點M的產生來研究點M的軌跡.點M為一對對稱點連線與對稱軸的交點，所以DP⊥AA'于點M，即隨著點P從點A運動到點B的過程中，點M隨著點P的運動而運動，但是∠AMD為直角的結論始終保持不變，由此確定動點M的運動路徑為弧AM.由于90°的圓周角所對的弦是直徑，所以AD為直徑，AD 中點為弧AM所在圓的圓心.正因為點M為圓弧上的動點，本題的解決與關聯2和關聯3的情況不符合，再嘗試尋找與關聯1的關系，將“一定兩動”轉化為“兩定一動”.

如圖7，點M為圓弧上動點，所以RM長度始終保持不變. 關鍵線段MQ何時有最小值是本題突破口.

如圖8，當R，M，Q三點共線時MQ最小.此時兩個動線段AQ和MQ聯合定長線段RM轉化為AQ + RQ，即由兩定點A，R來鎖定，使得動態問題順利“著陸”，最終利用“兩點之間線段最短”解決問題.

解：如圖9，取點A關于邊BC的對稱點E，取AD中點R，連接RE，交圓R、矩形ABCD于點M，Q，此時AQ + MQ最小值.

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠RAE = 90°，∵AR = [12AD] = [2]，AE = 2AB = 4[3]，∴RE = [AR2+AE2] = [（2）2+（43）2] = [52]，

∵RM = [12]AD = [2]，∴AQ + MQ的最小值為[52-2=42]. 故填4[2].

勤于積累

1. 解題經驗：線段和的最值問題是各地中考的重要考點，通常的考查形式有選擇題、填空題、解答題的壓軸問. 在備考過程中，同學們應認真梳理關于最值問題的解題策略，以便在考場上能自由應對.

（1）角色定位：解決最值問題時，啟動步驟是定、動點的角色定位.認真分析題目中哪些是定點，哪些是動點. 如果是動點，進一步分析其在什么線型上運動，運動的軌跡是什么，運動的范圍是什么.

（2）對稱變換：解決最值問題時，關鍵步驟是結合定、動點所在位置，若屬于定點在動點所在線同側情況，結合軸對稱變換將問題轉化為異側情況.

（3）最值定型：現階段的最值問題，可轉化為兩種，一是兩點之間線段最短模型，二是垂線段最短模型.無論哪一種模型，都會經歷“折”化“直”的轉化過程.

（4）數形結合：經過對稱變換，最值問題已經轉化為求線段長.計算時，通常借助直角三角形利用勾股定理來求解.

2.拓展模型：

（1）如圖10，OC平分∠AOB，P是OC上的定點，M，Q為OB上動點，求PM + PQ的最小值.

思路分析：如圖10，作點Q關于OC的對稱點Q'，作MQ[″]⊥OA于點Q[″]，則PM + PQ轉化為PM + PQ'，再轉化為MQ[″]. 所以PM + PQ的最小值為線段MQ[″]的長.

（2）如圖11，點P是∠AOB內一定點，分別在射線OA，OB上求作點M，N，使得△PMN的周長最小.

思路分析：如圖11，分別作點P關于OA，OB的對稱點P'，P[″]，連接P'P[″]，分別交OA，OB于點M，N，則PM = P'M，PN = P[″]N，△PMN的周長的最小值轉化為線段P'P[″]的長.

（3）如圖12，[l1][?][l2]，[l1]，[l2]之間距離為[d]，在[l1]，[l2]上分別找M，N兩點，使得MN⊥[l1]，且AM + MN + NB最小.

思路分析：求AM + MN + NB的最小值，表面上看是求三條線段和的最小值，但其中MN為定長[d]，所以只需求AM + NB的最小值，而這兩條線段沒有公共點，沒辦法直接化“折”為“直”，可借助構造平行四邊形AA'NM平移線段來解決（如圖12），此時AM = A'N，所以本題轉化為求A'N + NB最小.連接A'B即為A'N + NB的最小值，點M，N也隨之確定，這樣就解決了AM + MN + NB的最小值問題.

（4）如圖13，已知△ABC，在邊AB，BC，AC上分別求作點P，M，N，使得△PMN的周長最小.

思路分析：求△PMN的周長的最小值，即MP + NP + NM的最小值，三個動點都在直線上，利用軸對稱變換化“折”為“直”即可.如圖13，作點M關于AB的對稱點M'，則MP = M'P;作點M關于AC的對稱點M[″]，則NM = NM[″]，所以MP + NP + NM轉化成M'P + NP + NM[″].當M'，P，N，M[″]四點共線時，M'P + NP + NM[″]的長最小，為M'M[″]的長.由于∠M'AM[″] = 2∠BAC，為定角，若要M'M[″]最小，則需要AM'最小，即AM最小，當AM⊥BC時即可.