中考圖形旋轉題探究

劉斯文

考題再現

例 （2020·遼寧·丹東）已知：菱形ABCD和菱形A'B'C'D'，∠BAD = ∠B'A'D'，起始位置點A在邊A'B'上，點B在A'B'所在直線上，點B在點A的右側，點B'在點A'的右側，連接AC和A'C'，將菱形ABCD以A為旋轉中心逆時針旋轉α角（0° < α < 180°）.

（1）如圖1，若點A與A'重合，且∠BAD = ∠B'A'D' = 90°，求證：BB' = DD'.

（2）若點A與A'不重合，M是A'C'上一點，當MA' = MA時，連接BM和A'C，BM和A'C所在直線相交于點P.

①如圖2，當∠BAD = ∠B'A'D' = 90°時，請猜想線段BM和線段A'C的數量關系及∠BPC的度數;

②如圖3，當∠BAD = ∠B'A'D' = 60°時，請求出線段BM和線段A'C的數量關系及∠BPC的度數;

③在②的條件下，若點A與A'B'的中點重合，A'B' = 4，AB = 2，在整個旋轉過程中，當點P與點M重合時，請直接寫出線段BM的長.

考點剖析

1. 知識點：菱形的性質、正方形的性質、等邊三角形的判定和性質.

2. 思想方法：構造思想、化歸思想.

3. 基本模型：如圖4所示.

學情分析

解題思路：（1）證明△ADD' ≌ △ABB'（SAS）可得結論.

（2）①證明△A'AC ∽ △MAB，可得結論;

②證明方法類似①;

③求出A'C，利用②中結論計算即可.

解：（1）∵∠BAD = ∠B'A'D' = 90°，

∴∠BAD - ∠BAD' = ∠B'A'D' - ∠BAD'，即∠DAD' = ∠BAB'.

∵四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'均為菱形，∴AD = AB，AD' = AB'，

∴△ADD' ≌ △ABB'（SAS），

∴DD' = BB'.

（2）①結論：CA' = [2]BM，∠BPC = 45°.

理由：設AC交BP于O，如圖5.

在菱形ABCD和菱形A'B'C'D'中，

∵∠BAD = ∠B'A'D' = 90°，

∴四邊形ABCD、四邊形A'B'C'D'都是正方形，

∴∠MA'A = ∠BAC = 45°.

∵MA' = MA，∴∠MA'A = ∠MAA' = 45°，

∴∠A'AC = ∠MAB，∠AMA' = 90°，∴AA' = [2]AM.

∵在△ABC中，∠ABC = 90°，AB = BC，

∴AC = [2]AB，∴[AA'AM] = [ACAB] = [2]，

∴△A'AC ∽ △MAB，

∴[A'CBM] = [AA'AM]? = [2]，∠A'CA = ∠ABM，

∴CA' = [2]BM.

∵∠AOB = ∠COP，∴∠CPO = ∠OAB = 45°，即∠BPC = 45°.

②如圖6，設AC交BP于O.

在菱形ABCD和菱形A'B'C'D'中，∵∠BAD = ∠B'A'D' = 60°，

∴∠C'A'B' = ∠CAB = 30°.

∵MA' = MA，∴∠MA'A = ∠MAA' = 30°，∴AA' = [3]AM，∠A'AC = ∠MAB.

在△ABC中，∵BA = BC，∠CAB = 30°，

∴AC = [3]AB，∴[AA'AM] = [ACAB] = [3]，

∴△A'AC ∽△MAB，

∴[A'CMB] = [AA'AM]? = [3]，∠ACA' = ∠ABM，

∴A'C = [3]BM.

∵∠AOB = ∠COP，

∴∠CPO = ∠OAB = 30°，即∠BPC = 30°.

③當點C在A'C'上時，如圖7，過點A作AH⊥A'C于H.

由題意得AB = BC = CD = AD = 2，

可得AC = [3]AB = 2[3]，

在Rt△A'AH中，AH = [12]AA' = 1，A'H = [3]AH = [3]，

在Rt△AHC中，CH = [AC2-AH2] = [232-12] = [11].

∴A'C = A'H + CH = [3] + [11].

同理，當點C在C'A'的延長線上時，如圖8，A'C = [11] - [3]，

由②可知，A'C = [3]BM，

∴BM = 1 + [333]或[333] - 1.

勤于積累

1.在解幾何題時，快速識別出模型，然后利用該模型的常用解題思路進行分析，往往能起到事半功倍的效果.“手拉手模型”是初中數學里三角形全等和相似知識點的重要模型，其特點是共頂點、等線段，解題思路是找全等、構相似.

2.解決旋轉問題要抓住不變量，即旋轉前后的線段和角，通過線段和角的不變性往往可以輕松確定第一小問中的全等或相似的三角形.另外要注意，第一小問中由全等或相似得到的邊角關系往往是解決后續問題的條件.

（作者單位：遼寧省實驗中學渾南一中）