做數(shù)學(xué)：促進(jìn)深度理解的方式變革

謝海英

[摘? 要] “做數(shù)學(xué)”讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從被動接受轉(zhuǎn)向主動建構(gòu)。“做數(shù)學(xué)”是促進(jìn)學(xué)生深度理解的一種方式變革。“做數(shù)學(xué)”以“做”為根基，注重引導(dǎo)學(xué)生感受體驗;“做數(shù)學(xué)”以“思”為核心，注重引導(dǎo)學(xué)生感悟反思;“做數(shù)學(xué)”以“融”為目的，注重引導(dǎo)學(xué)生積淀內(nèi)化。在“做數(shù)學(xué)”的過程中，“做”是關(guān)鍵，“思”是核心，“融”是目的。“做思共生”“學(xué)創(chuàng)一體”是“做數(shù)學(xué)”的最高境界。

[關(guān)鍵詞] 做數(shù)學(xué);深度理解;方式變革

數(shù)學(xué)教學(xué)倡導(dǎo)學(xué)生“動手做”，“動手做”不是機械地、盲目地操作，而是要融入學(xué)生的思維和想象。因此，“做數(shù)學(xué)”就其本質(zhì)而言，就是學(xué)生的一種“具身認(rèn)知”活動。在“做數(shù)學(xué)”過程中，教師要堅持問題導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，從而讓“做”具有針對性、實效性，同時，還要引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，并用適當(dāng)?shù)姆绞秸归_驗證。在“做數(shù)學(xué)”的過程中，“做”是關(guān)鍵，“思”是核心，“融”是目的。“做數(shù)學(xué)”是促進(jìn)學(xué)生深度理解的一種方式變革。“做思共生”“學(xué)創(chuàng)一體”是“做數(shù)學(xué)”的最高境界。

一、以“做”為根基，注重引導(dǎo)學(xué)生感受體驗

“做數(shù)學(xué)”的本質(zhì)是讓學(xué)生的感覺器官與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象親密接觸。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，往往是“紙筆”教學(xué)。這樣的“紙筆”教學(xué)，重認(rèn)知、輕實踐，重理性、輕感性，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也窄化、異化為一種邏輯的運演。“做數(shù)學(xué)”，面向?qū)W生的認(rèn)識對象本身。通過“做數(shù)學(xué)”，對壓縮形態(tài)的數(shù)學(xué)進(jìn)行解壓縮，從而讓數(shù)學(xué)知識恢復(fù)到其產(chǎn)生時的鮮活形態(tài)。這種形態(tài)也就是人類最初探索數(shù)學(xué)知識的形態(tài)。

因此，“做數(shù)學(xué)”突出“做”是說、視、做、用等的知覺特征和行為特征，往往用感受、體驗、領(lǐng)悟等動詞來刻畫知覺目標(biāo)和行為目標(biāo)。“做數(shù)學(xué)”的類型非常豐富，比如“收集信息”“現(xiàn)場觀察”“數(shù)學(xué)實驗”“數(shù)學(xué)游戲”“數(shù)學(xué)操作”“數(shù)學(xué)制作”等。“做數(shù)學(xué)”充分體現(xiàn)了“智者明法，慧者通道”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)原理、秩序，因此，“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生理解性學(xué)習(xí)的基本方式。何謂“明法”，也就是說，學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”要“合規(guī)律性”;所謂“通道”，是指學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”要“合目的性”。比如教學(xué)“長方體和正方體的認(rèn)識”（蘇教版六年級上冊）這部分內(nèi)容時，教師通常會讓學(xué)生帶一些長方體狀的物體。更有教師給學(xué)生提供現(xiàn)成的長方體狀的物體，引導(dǎo)學(xué)生從面、棱、頂點等角度來認(rèn)識長方體。這樣的教學(xué)，僅僅讓學(xué)生的認(rèn)知停留在視覺層面。筆者在教學(xué)中給學(xué)生提供了豐富的結(jié)構(gòu)性、半結(jié)構(gòu)性、劣構(gòu)性的素材，讓學(xué)生動手做一個長方體。學(xué)生首先選擇小棒搭建長方體框架;其次要選擇相應(yīng)的面，將長方體框架用紙糊起來。在“做數(shù)學(xué)”的過程中，學(xué)生不僅僅要“動眼觀察”，更要“動手操作”“動腦思考”“動嘴表達(dá)”。學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動成為實實在在的具身性認(rèn)知活動，這樣的活動能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

“做”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根基，學(xué)生的智慧在指尖流淌。瑞士著名教育心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為，兒童的思維是從動作開始的，切斷動作和思維的聯(lián)系，思維就不能得到發(fā)展。在學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的過程中，教師要注意“變量的控制”“實證的檢驗”“過程的監(jiān)控”“結(jié)論的梳理”等，從而讓“做”能實實在在地積累學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，能讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)基本思想方法。

二、以“思”為核心，注重引導(dǎo)學(xué)生感悟反思

如上所述，“做數(shù)學(xué)”不是機械地做，而是融通了學(xué)生的思維和想象。“做數(shù)學(xué)”要以學(xué)生的“思”為核心，注重引導(dǎo)學(xué)生感悟反思。從某種意義上說，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是“面向思的事情”（海德格爾語）。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生“運思”，讓學(xué)生做到思之有向、思之有序、思之有理。“做”為學(xué)生的“思”提供了外援幫助，“思”為學(xué)生的“做”提供了內(nèi)源支撐。

在“做數(shù)學(xué)”的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽猜測、小心求證。從某種意義上說，“做”既是一種積極的嘗試，又是一種積極的創(chuàng)造。“思”能為學(xué)生的“做”指明方向，從而減少學(xué)生“做”的失誤和差錯，能有效提升學(xué)生“做”的品質(zhì)。比如教學(xué)“圓柱的側(cè)面積”（蘇教版六年級下冊）這一部分內(nèi)容時，筆者引導(dǎo)學(xué)生分小組操作：一個小組將圓柱的側(cè)面商標(biāo)紙“剪”（撕）下來，另一個小組則將一個長方形或平行四邊形紙“卷”成圓柱。通過這樣的一“剪”（撕）、一“卷”兩個操作，催生學(xué)生產(chǎn)生“比較圓柱的側(cè)面積與平行四邊形或長方形的底、高、面積等之間的關(guān)系。在“卷”的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，同樣一張紙還可以“卷”成兩種“不同形態(tài)”的圓柱。由此，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)化思考：同一張紙“卷”成的圓柱，它們的側(cè)面積相等嗎？它們的表面積相等嗎？它們的體積相等嗎？這樣的連續(xù)發(fā)問，已經(jīng)超越了學(xué)生的已有認(rèn)知，同樣也超越了學(xué)生的當(dāng)下認(rèn)知，其將思維觸角延伸、拓展到了未知的領(lǐng)域。這樣的一種發(fā)問，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“圓柱的體積”打下堅實的基礎(chǔ)。在“做數(shù)學(xué)”的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)化思考通常有兩個層次，一是現(xiàn)象性思維，即“所學(xué)即所看”“所學(xué)即所聽”;二是本質(zhì)性、關(guān)系性思維，即“所學(xué)即所思”“所學(xué)即所想”“所學(xué)即所探”。其中，第一層思維是一種低階認(rèn)知、低階思維，而第二層思維則是一種高階認(rèn)知、高階思維。“做數(shù)學(xué)”，就是要將學(xué)生的思維、認(rèn)知從低階引向高階，從而實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我跨越，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我躍遷。

以“思”為核心，要求教師找準(zhǔn)學(xué)生數(shù)學(xué)知、行的契合點，溝通學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與行動和數(shù)學(xué)實踐與理論。在學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對事實進(jìn)行歸納、對結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)、對規(guī)律進(jìn)行發(fā)現(xiàn)、對概念進(jìn)行抽象等。真正的“做數(shù)學(xué)”應(yīng)當(dāng)是學(xué)生“做”與“思”的交互統(tǒng)一。在“做數(shù)學(xué)”的過程中，學(xué)生要做到“做思共生”“做思互補”“做思和諧”“做思圓融”。

三、以“融”為目的，注重引導(dǎo)學(xué)生積淀內(nèi)化

“做數(shù)學(xué)”的課堂教學(xué)要強化學(xué)生做與思的融合，強化學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積淀與數(shù)學(xué)思想方法的感悟的融合。以“融”為目的，能有效地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在“做數(shù)學(xué)”的過程中，學(xué)生的手與腦相互協(xié)調(diào)。“做”能打開學(xué)生的“思”路，“思”能拓寬學(xué)生“做”的空間。“做思共生”就是讓學(xué)生的心智、身體與環(huán)境互動，進(jìn)而成就學(xué)生的“有意義學(xué)習(xí)”。

“做數(shù)學(xué)”中的“做”突出了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的本體性特征，而“做數(shù)學(xué)”中的“思”，則突出了理性的數(shù)學(xué)思考。“做”是數(shù)學(xué)知識的展開，而“思”則是對學(xué)習(xí)對象的一種抽象、概括，是一種“必要的凝聚”。“做”是一種生活化，而“思”則是一種數(shù)學(xué)化。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是做與思的相互轉(zhuǎn)化，因而也就是在數(shù)學(xué)化與生活化之間來回穿行。借助這種穿行，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知、思維等獲得螺旋式上升。比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”（蘇教版五年級下冊）這一部分內(nèi)容時，很多教師都借用“分?jǐn)?shù)條”引導(dǎo)學(xué)生操作，讓“平均分的份數(shù)”和“表示的份數(shù)”同時擴大，從而讓學(xué)生直觀看到“分?jǐn)?shù)的大小不變”。筆者在教學(xué)中同樣借助“分?jǐn)?shù)條”，但對學(xué)生的操作卻進(jìn)行放大處理。由此，學(xué)生在操作中出現(xiàn)這樣的幾種情況：一是平均分的份數(shù)擴大，學(xué)生能直觀看到所表示的分?jǐn)?shù)在變小;二是表示的份數(shù)擴大，學(xué)生能直觀看到所表示的分?jǐn)?shù)在變大;三是平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)同時擴大，且擴大相同的倍數(shù)，學(xué)生能直觀看到所表示的分?jǐn)?shù)大小不變。在這個過程中，學(xué)生邊做邊思、邊思邊做，做與思融為一體。這樣的“做數(shù)學(xué)”，還讓學(xué)生展開了積極的聯(lián)想，比如“被除數(shù)擴大商擴大，被除數(shù)縮小商縮小”“除數(shù)擴大商縮小，除數(shù)縮小商擴大”等。在類比過程中，學(xué)生對“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”的理解更加深刻，他們認(rèn)識到“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”與“商不變的規(guī)律”在本質(zhì)上是一致的。

以“融”為目的，要讓“做”切入學(xué)生思維的瓶頸處，切入學(xué)生思維的缺失處，切入學(xué)生思維的抽象處。學(xué)生的“做”與“思”相伴相生、相輔相成、相互促進(jìn)，進(jìn)而達(dá)到手腦互動、做思統(tǒng)一、知行合一的境界。“做數(shù)學(xué)”讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從被動接受轉(zhuǎn)向主動建構(gòu)，呈現(xiàn)出一種和諧、愉悅、圓融、互攝的樣態(tài)。