項目學習：用向量發現三角形中的“美”

張永剛 趙婧一 常青

摘? 要：以項目學習的方式開展數學探究活動——用向量法研究三角形的性質，以學術任務分解為問題驅動，以項目評價指標為調控指引，以形成數學“定理”為項目作品. 項目實施分三個階段，對應課上三個課時及課下的充分探究. 強調展示交流，智慧分享，完善作品，形成項目報告. 并積累探究經驗，體驗數學之“美”.

關鍵詞：項目學習;數學探究活動;向量法;三角形;數學美

三角形是幾何中最簡單的封閉圖形，也是最重要的幾何圖形之一. 三角形的性質非常豐富，是聯系各種幾何圖形的紐帶，也是學習幾何知識、培養邏輯推理能力、發展理性思維的最佳載體之一. 以三角形為研究對象，用向量法對性質進行再研究，尤其是將研究對象聚焦在對三角形的中線與重心、角平分線與內心、中垂線與外心、高與垂心等問題上，既能使學生在已有認識的基礎上更加系統地掌握三角形的性質，又能讓學生充分體驗向量工具的強大優勢，形成主動借助向量工具解決問題的意識，加深學生理解向量法在研究幾何問題中的作用，積累“研究一個幾何對象”的活動經驗，進一步明確研究一個幾何圖形的內容、路徑和方法等. 在對三角形性質的研究中，使學生對數學探究活動形成較為完善的體驗，發展自主學習能力，提高發現問題和提出問題的能力，積累探究經驗.

一、項目設計與實施

1. 項目內容和內容解析

（1）內容.

用向量法表示和證明平面幾何中已學的三角形的性質，發現和證明三角形的其他性質，感受數學結論在結構上的“美”.

建議使用三個課時.

課前：布置任務，學生閱讀教材，查閱文獻，獨立探究，教師在匯總學生的問題后根據學生情況與學生共同確定項目研究課題.

第1課時：開題報告，通過示范探究活動積累探究經驗，同時提煉用向量法研究三角形性質的一般觀念，確定研究對象、研究視角和研究路徑. 課下學生先自主探索，再小組合作探索.

第2課時：中期匯報，分組展示發現、提出問題的脈絡，分享交流開拓思路，完善論證過程，開展項目中期評價. 課下學生進一步探索，完善、修正探究成果.

第3課時：全面展示項目產品，完成研究報告. 課后作業——完善論文，形成項目作品.

（2）內容解析.

用向量法研究三角形的性質，研究方法是向量法，研究對象是三角形的性質.

三角形的性質根據三角形的要素與相關要素間的關系可概述為五個層次.

第一層次：定義.

第二層次：要素間的相互關系. 例如，邊角的相等關系——等邊對等角、等角對等邊;邊角的不等關系——大邊對大角、大角對大邊;三邊的定性關系——兩邊之和大于第三邊;內角的定量關系——內角和等于180°;等等.

第三層次：要素、相關要素間的相互關系. 例如，外角與內角的關系——外角等于不相鄰的兩個內角之和;外角之間的關系——外角之和為360°;中線的位置關系——三條中線交于一點（重心）;高的位置關系——三條高交于一點（垂心）;角平分線的位置關系——三條角平分線交于一點（內心）;三邊的垂直平分線的位置關系——三邊的垂直平分線交于一點（外心）;三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線交于一點（旁心）;三邊中點連線與三邊的位置關系、大小關系——兩邊中點連線平行于第三邊且等于第三邊的一半;等等.

第四層次：相關要素的性質研究. 例如，重心的性質有：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1;重心和三角形三個頂點的連線所成的三個三角形面積相等;平面內任意一點到三角形三個頂點距離的平方和中，重心使其取最小值;等等. 運用坐標法和向量法，還可以將重心與三角形三個頂點之間的關系進行量化表達.

第五層次：相關要素性質間的聯系，與其他圖形之間的聯系. 例如，三角形的“五心”之間的關系;三角形與其他幾何圖形之間的關系. 例如，三角形與直線、四邊形、圓等結合，會有怎樣的性質？等等.

用向量法進行研究，可以用向量表示要素之間的關系，借助向量的線性運算研究與方向有關的問題. 例如，平行、點分線段成比例等. 借助向量的數量積運算研究與度量有關的問題. 例如，長度、夾角、垂直等. 嘗試轉變基底，簡化運算，化簡結論后再對其進行歸納、演繹，不斷提出新的問題，這是用向量研究幾何問題形成代數發現的一般觀念.

用向量法對三角形性質進行再研究，重在形成研究一個幾何圖形的一般觀念. 先對三角形性質進行分層梳理，形成探究發現的外在目標，再借助不同向量運算針對解決不同的幾何問題，開展探索嘗試，形成發現圖形性質的內在動力，兩者相連，就構成了發展網絡.（網絡圖見本文對應線上資源.）

數學探究的研究起點是數學問題，所以整個探究就是從網絡圖中的問題“閉合回路”，即[AB+BC+][CA=0]出發，應用類比、特殊化、一般化等方法，不斷發現問題、提出問題、解決問題的過程.

數學探究是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程. 具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論.

最后嘗試從數學的角度刻畫審美的共性，主要包括簡潔、對稱、周期、和諧等. 學生在感受美的同時記憶和掌握具有“美”感的結論. 學會審美不僅可以陶冶情操，而且能夠改善思維品質.

綜上所述，確定本單元的教學重點是：聚焦用向量法對三角形性質的探究，系統掌握三角形的性質，積累探究經驗.

2. 項目目標及目標解析

（1）目標.

① 經歷用向量法研究三角形性質的過程，會用向量符號表達三角形的幾何性質，掌握三角形的性質，理解向量法在研究幾何問題中的作用.

② 通過開展用向量法研究三角形性質的探究活動，了解探究，經歷提出、發現、證明或反駁的過程，積累探究經驗.

③ 通過對數學探究活動完整的體驗，提升學生數學抽象、邏輯推理、數學運算等素養，感受數學“美”.

（2）目標解析.

① 能分層、有序梳理三角形的性質，能用向量符號表達已知的三角形性質，通過自主實驗與合作交流找出三角形的一些性質，并用向量法合理表達;能借助向量運算對三角形性質進行論證，形成美觀的數學結論;選擇不同的基底對性質進行論證，能舉例說明向量法與平面幾何綜合法在論證和表達形式上的特點.

② 能通過實驗探究，嘗試各種向量的運算，形成具有數學“美”的結論，并對運算結果進行幾何解釋，或對結果產生疑問并且能夠借助已有知識對問題進行論證或反駁;面臨逐漸深入的探究，能夠大膽合理猜想、主動駁斥論證、探討解決方案，直至提出新的問題，形成探索發現的一般路徑.

③ 體驗向量法在探索和證明幾何圖形性質中的作用，得到一些三角形的性質，整理成具有數學“美”的結論，并撰寫和交流小論文（即項目產品），能在已有成果的基礎上，通過類比、一般化等方法發現和提出有意義的數學問題;會有邏輯地表達和交流，提升數學抽象、邏輯推理、數學運算等素養.

3. 項目問題診斷分析

在平面幾何中，學生已研究過三角形并掌握了三角形的一些基本性質.

本項目的教學難點之一是如何開展數學探究活動. 為破解此難點，教師要加強設計和實施指導. 首先，要指導學生在課前進行選題，讓學生打開思路，提出問題. 在第一節課上，給予學生示范引導——怎樣用向量法證明三角形的性質，并發現值得研究的問題. 其次，要指導學生的推導過程，鼓勵學生克服困難堅持下去. 組織項目中期交流，激發思維，促進更深的探索研究. 最后，組織結項匯報，梳理思路，整理成果，完成數學探究.

本項目的教學難點之二是如何發現系列的有價值的數學結論. 學生對用平面向量解決幾何問題具備了一定的方法和能力，但對向量法在研究幾何問題中的優勢并未全面、系統體驗與掌握. 他們能夠探索出三角形的一些性質，但還不能用向量法有序、有目的地探究發現. 為破解此難點，要給予學生有效的指導：針對學生無序的、感性的探索，引導學生先分層梳理三角形的性質，再按照向量運算的特點進行整理，啟發學生找到用向量法展開探究的幾條思路，即向量的線性運算、向量的數量積、兩種運算的結合. 探究基礎是已有的三角形的性質，用聯系的觀點看待它們，用向量方法對它們進行運算，就是發現之路.

4. 項目支持條件分析

本單元在探索初始階段，可以直接通過繪制圖形，合理轉化向量，探索和發現結論. 隨著探究的深入，讓學生自主借助GeoGebra、幾何畫板等軟件改變三角形形狀和向量方向等，直觀驗證結論的適用范圍，或提出新的猜想.

5. 教學方式設計

在教師的帶領下，學生利用項目學習的方式進行探究活動.

6. 項目研究規劃

以“讓我發現數學‘美”為項目的驅動問題，讓學生體驗數學中的簡潔美、對稱美、和諧美，提升思維品質. 以三角形為載體、向量法為方法逐步展開數學探究活動，研究三角形的性質. 學生假定自己是一個從事數學研究的科研人員，從學術真實的數學情境入手，通過實驗或借助信息技術提出（發現）數學猜想，分小組合作探究、論證反駁，形成具有一定推廣價值的數學結論，最終形成項目產品——自己命名的“定理”，并對自己發現的數學“定理”嘗試從數學的角度刻畫審美的共性. 根據每個階段形成的階段性項目產品，開展現場質性評價. 最終在結題活動中展示項目產品，撰寫論文，形成項目作品，教師分別給出項目產品評價.

7. 項目設計與實施過程

課前：布置任務，確定項目研究課題.

說明：因為是第一次做數學探究，所以課上、課下的活動都是教師指導學生去做的.

引導語：（項目研究背景）三角形是幾何中最簡單的封閉圖形，也是最重要的幾何圖形之一. 三角形的性質非常豐富，是聯系各種幾何圖形的紐帶，現在就讓我們帶上向量這一神奇的工具，展開我們奇妙的探究之旅吧！

任務1：閱讀人教A版《普通高中教科書·數學》必修第二冊（以下統稱“教材”）中“用向量法研究三角形的性質”的內容，梳理你對“數學探究”的認識和理解.

師生活動：學生自主完成閱讀，交流對“數學探究”的認識和理解. 教師給出評價.

預設答案：數學探究活動是從一個數學自身的問題出發，探索其解決辦法，并進一步發現和提出有意義的問題，猜想合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動. 問題是開放的，成果是多樣的.

【設計意圖】闡述課題研究的必要性，激發學生的研究興趣，讓學生初步了解數學探究活動.

任務2：試以學習小組為單位，先獨立思考，之后與小組內成員共同完成如下“項目作業”.

（1）回顧初中研究三角形的過程，從研究思路、內容、方法等角度進行梳理，并列出已經得到的結論.

（2）用向量法對已有結論進行證明，總結用向量法處理幾何問題的基本程序，并與平面幾何中的推理過程進行比較，闡述各自特點.

（3）閱讀教材中“探究三角形重心的性質”的示范. 談談示范中是如何發現和提出問題的？如何探索與論證的？仿照示例提出項目實施規劃.

預設師生活動：學生分小組按照要求完成項目作業，教師批閱并評價.

預設答案：（1）學生需要從研究一個幾何圖形的“基本套路”出發，有結構、有系統地進行梳理.

① 研究思路.

確定研究對象—發現性質—證明性質—研究特例（判定、性質）.

② 研究內容.

三角形組成要素（邊、角）、相關要素（外角、高、中線、角平分線）之間的位置或數量關系. 例如，角與角的關系（內角和為180°）;邊與角的關系（大邊對大角、等角對等邊）;邊與邊的關系（兩邊之和大于第三邊）;中線與邊的關系（中線過一邊中點）;中線與中線的關系（三條中線交于一點）.

③ 研究方法.

通過對若干具體三角形的度量、觀察、實驗，從中發現共性，得出猜想，再通過邏輯推理證明得到有關性質.

從三角形的性質角度來看. 一方面，特殊要素一般化. 例如，銳角三角形中三條垂線交于一點，那么在一般三角形中還成立嗎？另一方面，一般要素特殊化. 例如，余弦定理中的已知角為直角，則可將余弦定理轉化為勾股定理.

從向量法角度來看. 一方面，是運算方法推進研究，按照線性運算、數量積運算及其聯合的角度發現和提出問題;另一方面，是運算對象推進研究，即對哪些元素進行運算發現和提出問題.

（2）對比向量法與平面幾何綜合法，實際上兩者沒有絕對的優劣，但向量是研究幾何的工具，是將幾何問題代數化，用計算發現、解決問題，因此向量工具的使用本身就是一種進步.

（3）示例中首先是發現、提出問題：通過“重心”在物理與幾何中的重要性，三角形兩條中線一定會交于一點，第三條中線是否過這個點呢？雖然我們早對其有所共識，但從嚴謹性的角度來看，是需要證明的. 引發對其性質探究的必要性. 然后，用向量法探索、論證：用向量法“三步曲”，證明“三角形的三條中線交于一點”. 最后，反思探究過程、類比發現新命題. 通過對探究過程的反思，觀察過程中得到的數量關系，發現“三角形的重心是中線的三等分點”這個新的結論.

實際教學情況：學生對三角形的性質缺乏整體認知，容易割裂性質之間的聯系，表述性質雜亂無章，教師鼓勵學生用聯系的觀點表述性質，引導學生按照三角形要素及其關系進行分層梳理.

【設計意圖】學生提前形成自我認知，培養學生的自主學習能力，為后期逐漸深入研究做準備，提升學生的數學抽象、邏輯推理等素養.

第1課時：示范研究，啟動項目.

引導語：（項目驅動任務）數學是唯美的，數學美大致包含簡潔美、對稱美、周期美、和諧美等. 龐加萊認為，感覺到數學的美，感覺到數與形的協調，感覺到幾何的優雅，這是所有真正的數學家都清楚的美的感覺. 讓我們也做一次數學家，發現美、體驗美、感受美！

環節1：啟動項目，布置任務.

項目驅動問題：以三角形為研究對象，用向量法對其性質進行再研究，尤其是將研究對象聚焦在對三角形的中線與重心、高線與垂心、角平分線與內心、中垂線與外心等問題上，你還能發現什么結論？你的結論符合數學的審美標準嗎？證明你的發現，并像數學家那樣給它“命名”吧！

項目實施要求與建議：（1）在獨立思考的基礎上，小組集體討論探究方案，確定研究思路. 小組成員各自展開獨立探究，并以專題作業的形式撰寫研究報告. 小組內進行交流討論，完善研究成果，并形成一份小組研究報告或項目作品論文，在全班進行成果交流、評價.

（2）充分利用信息技術手段（如GeoGebra軟件），可能會有更加豐富的成果.

（3）為你們收獲的“定理”命名，注意留存過程性記錄，重要活動與討論都要有文字與圖片記錄. 每組成員原則上不超過六人.

（4）采用統一規范的符號和圖形，以便交流探討.

規范表示：如圖1，在[△ABC]中，點[D，E，F]分別是邊[BC，CA，AB]的中點，點[G]是重心. 為了符號表示的一致性，我們習慣在[△ABC]中，用點[G]表示重心，點I表示內心，點O表示外心，點H表示垂心.

【設計意圖】以終為始，用驅動問題激發學生開展數學探究的欲望，給出項目實施的要求、規范使用的符號及圖形語言，明確探究任務和最后的成果，讓學生對項目有整體的認知.

環節2：示范探究，指導方法.

探究任務：教材在證明三角形三條中線交于一點的同時，“順便”發現了重心的一個性質——重心到頂點的距離與重心到其對邊中點的距離之比為2∶1. 顯然，中線與重心的性質還沒有被完全挖掘，試沿著這條線索繼續探索屬于我們自己的“定理”吧！

問題1：面積是三角形的一個重要性質，結合圖1，你能“順便”得到與面積有關的結論嗎？

師生活動：教師指導學生觀察教材中關于三角形中線交于一點的證明過程，引導學生嘗試發現結論，并給出證明. 讓學生感受數學定理的發現過程.

預設答案：（1）發現面積關系.

如圖1，每條中線等分三角形的面積，當三條中線交于一點后必有：[S△AFG=S△BFG=S△BDG=S△CDG=S△CEG=][S△AEG][=16S△ABC，] 于是得到以下結論.

結論1：三角形重心與頂點的連線將三角形分為面積相等的三部分，即[S△ABG=S△BCG=S△CAG=13S△ABC.]

（2）發現中線的向量表達式.

結論2：[AD=12AB+12AC.]

把中線向量回歸到邊所在的向量：[AD=12AB+][12AC， BE=12BA+12BC， CF=12CA+12CB，] 將三個式子疊加，得到以下結論.

結論3：[AD+BE+CF=0.]

（3）重心的向量表達式.

在結論3兩邊同乘[-23，] 就可以得到結論4.

結論4：點G為△ABC的重心的充要條件是[GA+][GB+GC=0.]

證明：如圖1，可知[2GD=GB+GC.]

由[GA+GB+GC=0，] 得[-GA=GB+GC.]

所以[-GA=2GD.]

所以點G在中線AD上.

同理可得，點G在中線[BE，CF]上.

故點G為△ABC的重心.

在結論3兩邊同乘[13]，就可以得到結論5.

結論5：三角形與它的中位線三角形（其各邊中點連線圍成的三角形）共重心. 如圖2，即有[GD+GE+][GF=0.]

（4）把點G一般化.

如圖3，如果把重心[G]換為任意一點[P]，則有[GA=]

[PA-PG， GB=PB-PG， GC=PC-PG.] 代入結論4，

得[0=PA+PB+PC-3PG.]

結論6：對于平面內任意一點P，關于△ABC有[PA+PB+PC=3PG].

特別地，當點[P]與重心[G]重合時[PG=0，] 此時[GA+GB+GC=0.]

以點P為坐標原點建立平面直角坐標系，結論6也可以看作重心的坐標表示[GxA+xB+xC3， yA+yB+yC3.]

追問：上述探究過程中用到了哪些研究方法？從三角形和向量兩個角度進行分析.

師生活動：學生嘗試總結，教師予以補充、完善.

從三角形的角度來看，以上所有結論都是圍繞重心進行探究的，結論1與面積相關，結論2至結論5是與重心有關的不同線段組成的向量表達式，結論6是通過重心一般化得到的.

從向量法的角度來看，結論2始于向量的加法法則，結論3至結論5是結合三角形中線段的特點進行的數乘運算，結論6利用了向量中的閉合回路.

實際教學情況：部分學生在探究過程中喜歡利用傳統幾何方法推理論證，不愿意主動應用向量法，不會自覺應用向量的不同運算方法發現新的關系. 教師可以以這一系列發現為契機，進一步闡述向量作為工具的優越性，即向量具備運算與推理兩方面的優勢.

【設計意圖】激發學生的探究興趣，并讓學生初步了解如何依據研究對象（三角形）的特點，利用工具（向量）進行探索發現，為后續自主探究奠基.

問題2：由問題1可知，發現“定理”似乎并不是一件難事. 反思發現與論證的過程，與平時解題是類似的. 如果把解題比作“配鑰匙”，數學探究活動就是要解密整個鎖的構造原理，就是在“造鎖”. 那么，究竟是什么向量關系把三角形的性質都“鎖”起來了呢？三角形中最基本的向量關系是什么？在上述探究過程中，哪些地方用到了這個關系？

預設答案：三角形中最基本的向量關系為閉合回路[AB+BC+CA=0.] 證明三角形中線交于一點依據的就是這個閉合回路，因此它是獲得以上系列結論的基礎.

實際教學情況：學生基本能給出準確回答，但是在提出此問題前他們未感受到基本回路的重要性.

【設計意圖】厘清探究的起點，為學生搭建探究支架，提升學生的邏輯推理、數學運算等素養.

環節3：梳理方法，形成方案.

任務要求：梳理結論的發現過程，把發現問題的脈絡繪制成思維導圖，歸納研究內容、視角、方法和路徑，提煉用向量法研究三角形性質的一般觀念.

師生活動：學生自主梳理，之后展示發現問題的脈絡，提煉用向量法研究三角形性質的一般觀念.

預設答案：（1）從研究對象及方法來看：三角形的豐富性質蘊含在邊與角、頂點與邊、特殊的點與邊、點與線、線與線的關系中，于是我們把主要研究對象確定為上述幾何量. 通過觀察它們之間的聯系，采用一般化、特殊化、類比等方法發現值得研究的問題.

教材中論證了勾股定理，我們可以把三角形的形狀一般化探究出余弦定理;教材論證了三條中線交于一點即重心，我們可以類比研究角平分線與內心，中垂線與外心. 因此，我們把主要研究路徑確定為“類比、特殊—一般—特殊”.

（2）從研究工具來看：向量是實現數形結合研究幾何問題的重要工具，三角形的許多性質都能轉化成向量的運算加以論證，三角形的性質可以借助向量運算不斷拓展.

在證明三角形中線交于一點時，用向量法研究三角形的幾何性質，嘗試合理選擇基底，可以使運算更加簡潔. 在進一步探索發現如上結論1到結論6的過程中，了解了用向量的線性運算通過計算發現結論的途徑，知道了探究的起點——三角形閉合回路[AB+BC+][CA=0.]

問題3：我們發現用向量研究平面幾何的核心是運算，之前的探究都集中在線性運算，能否用數量積運算進行探索發現呢？將兩種運算聯系起來還能發現其他結論嗎？

預設答案：（1）用數量積計算中線模長.

如圖2，從結論2出發，進行數量積運算. 由[AD=][12AB+AC，] 得[AD2=14AB+AC2=14AB2+AC2+4AD2-CB22.]

化簡得中線長公式.

結論7：[AD2=12AB2+12AC2-14CB2.]

上述用數量積的算法比較常見，如果放在平行四邊形中不難得到以下結論.

結論8：平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和.

（2）將點D的位置一般化.

如果將中線長問題一般化，使點D仍然在邊BC上，但不一定是中點.

如圖4，設[CD=λCB，] 借助三角閉合回路拆分向量，得[AD-AC=λAB-AC，] 即有三點共線的充要條件.

結論9：[AD=λAB+1-λAC.]

平方后用余弦定理換掉數量積，得到如下結論.

結論10：[AD2=λAB2+1-λAC2-λ1-λCB2.]

特別地，當[λ=12]時，為中線長公式.

追問：你能從教材中找到上述探究推進思路的身影嗎？談一談你對向量法研究幾何問題的一般套路的理解.

預設答案：（1）教材第32頁的例9，定比分點公式的探究體現了從特殊到一般的研究路徑.

（2）教材中余弦定理與正弦定理的發現過程借助了向量的數量積運算.

教師講解：數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程. 具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論. 數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數學課程的重要內容. 因此，數學探究的基本程序及對應行為如圖5所示.

實際教學情況：學生初涉數學探究活動，僅憑教師闡述《普通高中課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）給出的數學探究活動的概念很難真正理解其內涵，這就需要教師在第1課時后的課下活動中，通過不斷指導學生認為的“探究成果”，解釋何為真正的數學探究活動，即我們究竟要做什么. 這樣更能促進學生理解探究的真諦.

【設計意圖】在梳理、總結環節2中研究內容、思路和方法的基礎上，又補充了利用向量的數量積進行探究的實例，理解用向量法研究三角形性質的一般觀念，掌握探究，并讓學生了解數學探究活動的本質，積累探究經驗.

環節4：布置作業，自主探究.

項目作業：延續上述探究過程，還能提出哪些有價值的問題？在自主探究的基礎上，以小組為單位完成中期報告. 注意梳理問題發現的脈絡，完善思維導圖.

要求：在兩周之內完成，期間可以求助教師，也要經常開展小組內的討論交流.

師生活動：學生課下完成. 教師監督、指導，并批閱學生的探究成果，梳理出中期報告的基本思路.

【設計意圖】給學生充足的時間，讓學生進行深度探究，在教師的指導下開展真正的數學探究.

實際教學情況：（1）大多數學生容易把數學探究活動誤認為習題課，實際操作中可能會將以往在解題中發現的結論，或直接查閱資料獲得的結論，逐一羅列，再加以證明. 教師應及時追問這些結論是如何被發現的（習題是如何被設計出來的），引導學生利用已有結論按照三角形性質的五個層次及向量法的“三步曲”展開探究.

（2）部分學生在探究過程中會利用查閱資料得到的一些結論，“執果索因”探索來源，這樣容易造成各個結論之間彼此孤立，導致探究成果雜亂無章. 教師可以引導學生繪制思維導圖，借助邏輯鏈條有序串聯，進一步厘清探究發現的路徑，雙向遞進.

（3）部分學生在探究過程中不會自覺地應用向量的不同運算方法發現新的關系，尤其對數量積運算運用的意識薄弱. 教師可以引導學生體驗兩類向量運算的探究方向，進行不定向探索，對所得結論進行化簡，在運算過程中提取有價值的向量表達式. 同時，進一步指出向量具備運算與推理兩方面的優勢，強化樹立向量工具的優越性.

（4）教師指導學生按照不同的探究路徑梳理自己的探究成果，不斷強化學生對數學探究活動的認知，針對學生在探究過程中遇到的問題與障礙，篩選、收集示范展示案例，按照一定的邏輯關系，對學生探究獲得的結論進行排序，指導學生為第2課時的展示交流做好準備. 具體內容見第2課時的展示.

第2課時：項目研究中期交流.

環節1：展示成果，啟迪思維.

具體任務：大家經過前期的探究各自收獲了一些成果，也遇到了一些困難，深切感受到提出一個有價值的問題比論證一個已有的結論困難得多. 因此，我們把本次中期匯報的重點確定為展示并交流“發現和提出問題的脈絡”.

師生活動：教師在課前對學生的成果進行整理，課上引導學生按照在第1課時環節2及環節3中總結出來的研究思路有序地、系統地表述研究成果，重點展示發現、提出問題的過程，小組間相互評價，提出下一步研究的建議.

實際教學情況：以三角形“向量閉合回路”為起點，按照向量的線性運算與數量積運算為兩條展示方向，分層展示三角形性質的發現過程，注重強調性質之間的聯系.

例如，三角形重心與頂點的連線將三角形的面積三等分[S△ABG=S△BCG=S△CAG=13S△ABC.] 將重心一般化會有什么類似結論？利用GeoGebra軟件發現，在[△ABC]中，[G]是重心，[GA+GB+GC=0]已經呈現，再把上式中[GA， GB， GC]分別作任意伸縮[GA=xGA， GB=yGB，][GC=zGC，] 即[?x，y，z∈R+，] 使得[xGA+yGB+zGC=0.] 此時點[G]是[△ABC]內任意一點，收獲如下一般性結論.

結論11：對于[△ABC]內任意一點P，有[S△APBPA+][S△BPCPB+S△CPAPC=0. ]

再由一般到特殊：可將點P位置特殊化，分別讓點P與“四心”之一重合能收獲什么成果呢？

在[△ABC]中，點[G]表示重心，點I表示內心，點O表示外心，點H表示垂心. 得[GA+GB+GC=0.]

結論12：對于[△ABC]的內心I，有[aIA+bIB+][cIC=0.]

結論13：對于[△ABC]的外心O，有[sin2A · OA+][sin2B · OB+sin2C · ?OC=0.]

結論14：對于[△ABC]的垂心H，有[tanA · ?OA+][tanB · OB+tanC · ?OC=0.]

由于外心與垂心不一定在三角形內部，因此可以把點P再一般化到[△ABC]所在平面內的任意一點P，還會有類似結論嗎？

環節2：布置作業，完善成果.

項目專題作業：（1）對已有成果整理所成的資料中的論證過程進行仔細閱讀并糾錯，對重大邏輯缺陷進行修訂.

（2）對本組未能想到的問題開展探究，或將探究進一步延伸，同時完成結題報告.

要求：小組課下活動完成，一周之內完成.

實際教學情況：（1）學生此時容易滿足于某一組結論的發現和論證，裹足不前. 教師可以引導學生展開小組間研討，取長補短，同時給予學生精神上的鼓勵與支持，促進探究活動不斷深入推進.

（2）隨著探究的深入，三角形中的要素和相關要素會變得生疏、關系復雜，探究對象的直觀性降低，計算難度提升，導致探究推進的難度增加. 教師應該引導學生主動借助GeoGebra軟件等信息技術手段，提升圖形直觀性. 合理確定基底，降低運算的復雜性.

（3）學生對評價方案的理解較為單一，普遍認為評價即為量化評價. 教師應該引導并鼓勵學生提前相互審閱探究成果，結合該組在活動中的綜合表現，對比自我表現，認真撰寫客觀公正、富有創意、言辭優美且富有數學韻味的結題評價語.

（4）學生在教師的指導下，按照展示要求制作演示文稿，撰寫結題報告.

第3課時：項目作品，展示分享.

環節1：分組匯報，成果分享.

師生活動：小組項目負責人匯報成果，其他成員補充并做好記錄，認真反思，取長補短，教師記錄對該組的質疑，匯報后可以提問，指出各組的優、缺點.

實際教學情況：經過前期充分的探究和認真的梳理，學生此次匯報非常精彩.（匯報成果見本文對應線上資源.）

環節2：項目總結，反思升華.

師生活動：學生談對數學探究活動的體會，以及在活動中的收獲. 師生共同評出優勝小組. 教師做出結題評價. 教師針對學生在活動中的表現為各小組撰寫結題詞.

實際教學情況：由于要求學生用相互撰寫結題詞的方法開展小組間結題評價，這就需要學生仔細閱讀與研究其他組收獲的成果與結題報告. 因此，小組互評也是開展二次探究相互借鑒的極佳平臺. 大量語言優美、客觀公正的結題詞出現，也是對學生勞動成果的一種肯定，更能激發學生的探究興趣.

二、教學反思

1. 課下苦耕耘，課上展風采

數學探究活動是轉變學生學習方式的一種有效途徑. 數學探究活動的主陣地是在課下，課上、課下各有其功能. 課下是開展深度探究的時間，課上是展示交流、互相啟迪的場所.

本次探究活動，學生課下活動的時間遠遠多于課上的時間. 第一次課下活動是在啟動項目之前，學生自主閱讀教材了解數學探究，了解探究的內容、方法等. 第二次課下活動是在第1課時之后，這是一個艱辛漫長的過程，也是沖破思維定式、超越自我、探索成果、收獲成就感、體驗數學探究樂趣的過程. 第三次課下活動是在第2課時之后，學生經歷了項目研究的中期交流，相互啟迪思維，總體思考，構建了探索研究的思維框架，完善了自我研究成果. 第四次課下活動是在第3課時之后，完善成果、發布成果、完成數學探究. 課下探究的方式包括自主探究、小組合作探究，以及教師幫助之下的探究.

課堂上的交流與展示讓學生進行思維碰撞是必要的，但必須是在學生經歷了課前的思考并形成一定的認知之后. 而且算法的設計、結論的駁斥與論證都需要學生置身于一個安靜的環境，通過思考，不斷試錯，才能最終收獲成果，僅憑課堂上的45分鐘是無法完成的. 因此，真正的數學探究一定要保證學生充足的自主探究時間.

2. 興趣開路，成就感引領，攀登“美”的高峰

以項目學習的方式開展數學探究活動，更能讓學生在做項目的過程中不斷獲得“成就感”，使其探究興趣得以保持.

《標準》指出，嘗試從數學的角度刻畫審美的共性，主要包括簡潔、對稱、周期、和諧等. 學生反復嘗試向量運算，在眾多結論中確定何為終點. 在探究的過程中，由于選擇方法不佳，他們陷入了繁雜計算的泥坑，但是他們沒有放棄，幾次反思之后，終于一躍而出，雖然過程艱辛，但是也有意外收獲. 針對相同的問題，不同的小組選擇了相同的思路，但是卻選擇了不同的基底，于是解法難易度的差別很大，但是這兩條路沒有優劣之分. 選擇簡潔的路，能夠快速達成目標，享受了數學簡潔美帶來的成就感;選擇復雜的路，獲得了額外的收獲，享受了數學的結構美. 他們一路前行、一路探索，直到一個符合數學美的結論出現. 一個“美”的結論，讓人賞心悅目，更容易留下深刻印象. 這一個個“美”的結論，就是攀登數學高峰的階梯，在這個探究活動中，學生充分感受到了. 特別是最后總結出來的結構圖，帶領學生攀登到了“美”的高峰.

這一次探究活動，無論對教師還是對學生都是全新的體驗. 雖然問題的發現、解決都是由學生完成的，但是教師必須有充分的準備. 一方面，教師要對所探究問題的解決有系統的分析和研究;另一方面，教師要對探究過程中出現的任何問題有敏銳的認知，并給予學生方法的指導及精神的鼓舞，讓數學探究歷經艱險達到成功. 以成功激勵成功，以成功激發興趣. 數學探究讓教學回歸數學學習本真，蕩滌心靈、陶冶情操. 這次數學探究活動，使學生真切感受到了數學探究的魅力，開拓了學生的思維，增加了學生數學學習的信心，是值得去做且應該去做的.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍. 核心素養立意的高中數學課程教材教法研究[M]. 上海：華東師范大學出版社，2021.

[3]張永剛.“興趣”引領 “項目”實施：“正方體截面的探究”教學設計與反思[J]. 中國數學教育（高中版），2021（3）：45-52.