立體幾何中常見解題誤區透視

李昭平

立體幾何是高考考查的重要內容之一，它涉及面廣、對空間想象力要求高、綜合性較強，能有效考查考生的直觀想象、邏輯推理和數學運算核心素養. 正因為如此，解題中往往會出現這樣或那樣的錯誤，有的錯誤還不易察覺. 現透視常見的十種解題誤區，請注意防范.

誤區1：忽視兩點間的位置關系

例1. 已知異面直線l1，l2都垂直于線段AB，A、B分別為垂足，點C在l1上，點D在l2上，若AB=4，AC=8，BD=6，l1，l2所成的角為60°，求C、D兩點間的距離.

錯解：如圖1，過點B作l∥l1，過點C作CE⊥l于E，連接DE.

在？駐BDE中，BE=AC=8，BD=6，∠EBD=60°，

可以求出? DE=2.

在直角三角形CDE中，CE=AB=4，DE=2，所以CD==2.

即C、D兩點間的距離是2.

評析：本題沒有明確C，D兩點的位置，應分C，D在AB同側和AB兩側考慮. 求點點距離的常見方法是將相關的線進行適當的平移轉化到同一個三角形中處理，此三角形應含有邊CD，到底如何平移空間的線是關鍵.

正解：當C，D在AB同側時，如圖2，CD==? ? ? 2. 當C，D在AB兩側時，在？駐BDE中，BE=AC=8，BD=6，∠EBD=120°，

可以求出DE =2.

在直角三角形CDE中，CE=AB=4，DE=2，

所以CD==2. 故C、D兩點間的距離是2或2.

誤區2：忽視線線角的意義

例2. 在空間四邊形ABCD中，AC=BD=a，AC與BD所成的角為60°，M、N分別為AB、CD的中點，則線段MN的長度等于? ? ? ? ? ? .

錯解：如圖3，取BC中點E，連接ME、NE. 由已知，得ME∥AC，NE∥BD .

因為AC與BD所成的角為60°，所以∠MEN=60°.

因為AC=BD=a，所以ME=NE=a，即？駐MEN為等邊三角形，故MN=a . 故線段MN的長度等于a .

評析：錯在將三角形的內角視為空間兩條直線所成的角.其實，線線角的范圍是[0°，90°]，圖中∠MEN不一定是直線AC與BD所成的角，也可以是它的補角，這是一個易錯點.

正解：因為AC與BD所成的角為60°，所以∠MEN=60°或∠MEN=120°.

（1）若∠MEN=60°， 因AC=BD=a，所以ME=NE=a，即？駐MEN為等邊三角形，故MN=a .

（2）若∠MEN=120°，因AC=BD=a，所以ME=NE=a，即？駐MEN是頂角為120°的等腰三角形，易得：

MN==a .

綜上可知，線段MN的長度等于a 或a.

誤區3：忽視直觀圖的特征

例3. 如圖4是某個幾何體的三視圖，根據圖中數據（單位：cm）求得該幾何體的表面積是（ ）

A.（94-？仔）cm2

B.（94-？仔）cm2

C.（94+？仔）cm2

D.（94-？仔）cm2

錯解：該幾何體是一個長方體挖去以一個頂點為球心的八分之一的球體，因此其表面積是2（12+15+20）+×4？仔×32=94+. 故選C.

評析：錯在求表面積時漏掉減去3個四分之一圓的面積，忽視直觀圖的特征致誤. 注意球與特殊多面體的簡單組合體，要弄清直觀圖的特征，防止求錯體積或表面積，防止漏加或漏減.

正解：由三視圖可以看出，該幾何體是一個長方體挖去以一個頂點為球心的八分之一的球體，因此其表面積是2（12+15+20）+×4？仔×32-3×？仔×32=94-？仔. 故選A.

誤區4：忽視線面角的意義

例4. 如圖5，在正三棱柱中ABC-A1B1C1，AB=AA1，點D是A1B1的中點，則直線AD和平面ABC1所成角的余弦值是? ? ? ?.

錯解：如圖5所示，設O是AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系.

不妨設AA1=，則AB=2，相關各點的坐標.

分別是A（0，-1，0），B（，0，0），C1（0，1，），D（，-，）.

易知 =（，1，0）， =（0，2，）， =（，，）.

設平面ABC1的一個法向量為=（x，y，z），則有

· =x+y=0，· =2y+z=0.

解得x=-y，z=-y. 故可取=（1，-，）.

設直線AD與平面ABC1所成的角為？茲，則cos？茲===.

評析：錯在cos？茲=，忽視了線面角的意義. 其實，線面角是斜線與其在平面內的射影所成的角（范圍是[0°，90°]），而不是斜線與平面的法向量所成的角. 一般地，設是平面？琢的一條法向量，是線l上的一條向量，則直線l與平面？琢所成的角？茲滿足：sin？茲=. 要特別注意不是cos？茲=這是一個易錯點.

正解：前面同上.

設直線AD與平面ABC1所成的角為？茲，則sin？茲===.

因此，cos？茲==，故直線AD和平面ABC1所成角的余弦值是.

誤區5：忽視點與二面角的位置關系

例5. 空間一點P到二面角？琢-l-？茁的兩個面的距離分別是1和，到棱的距離是2，則此二面角的大小是? ? ? ? ? ? ? .

錯解：如圖6，設PA⊥？琢于A，PB⊥？茁于B，則PA=1，PB=，PA⊥l，PB⊥l ，所以l⊥平面PAB. 設平面PAB與l交于點C，則∠ACB為二面角？琢-l-？茁的平面角，且PC⊥l，PC=2. 因此，在Rt？駐PBC中，∠PCB=45°.

在Rt？駐PAC中，∠PCA=30°. 于是∠ACB=45°+30°=75°.

故二面角？琢-l-？茁的大小是75°.

評析：本題中沒有考慮點P在二面角內部或外部兩種情況，誤當作在二面角？琢-l-？茁內部處理.

正解：當P在∠ACB內部時，如圖7，∠ACB=45°+30°=75°. 當P在∠ACB外部時，∠ACB=45°-30°=15°.

故二面角？琢-l-？茁的大小為75°或15°.

誤區6：忽視二面角的大小

例6. 如圖8，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC. 則二面角A1-BD-C1的余弦值是? ? ? ? ?.

錯解：如圖8，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.

不妨設DA=1，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，2，2），A1（1，0，2），∴ ?=（1，0，2）， =（1，1，0）.

設=（x，y，z）為平面A1BD的一個法向量.

由⊥ ，⊥ ，得x+2z=0，x+y=0.取z=1，則=（-2，2，1）.

又=（0，2，2），=（1，1，0），設=（x1，y1，z1）為平面C1BD的一個法向量，由由⊥，⊥，得2y1+2z1=0，x1+y1=0.取z1=1，則=（1，-1，1）.

于是cos<，>==-，故二面角A1-BD-C1的余弦值為-.

評析：錯在取余弦值為-，忽視二面角A1-BD-C1為銳角. 一般地，設，分別是平面？琢，？茁的法向量，則平面？琢與平面？茁所成的二面角？茲滿足：cos？茲=（當二面角為銳角、直角時）或cos？茲=（當二面角為鈍角時），其中銳角、鈍角應根據圖形確定.

正解：前面同上. cos<，>==-.

由圖形可知，二面角A1-BD-C1為銳角，故二面角A1-BD-C1的余弦值為.

誤區7. 忽視與平面幾何知識的區別

例7. 設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，？駐ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為（ ）

A. 12 B. 18 C. 18 D. 54

錯解：當三棱錐D-ABC為正四面體時，體積最大.

由S？駐ABC =9得AB=6. 設？駐ABC外接圓的半徑是r，則=2r，

即=2r，r=2. 于是三棱錐D-ABC的高是=2.

因此，三棱錐D-ABC體積的最大值為×9×2=18. 故選B.

評析：由平面幾何知識知道，在半徑給定的圓內接三角形中，正三角形的面積最大. 錯在類比此結論到空間得到：三棱錐D-ABC為正四面體時體積最大. 其實本題中四面體D-ABC的底面等邊？駐ABC是固定面積的，是靜態的，其體積最大值由三棱錐的高長來決定，當DG⊥底面ABC時，高DG最大.

正解：如圖9，？駐ABC為等邊三角形，點O為A，B，C，D外接球的球心，G為？駐ABC的中心. 由S？駐ABC =9 得AB=6. 取BC的中點H，

∴ AH=AB·sin60°=3 ，

∴ AG=AH=2.

∴球心O到面ABC的距離為：

d==2.

∴三棱錐D-ABC體積的最大值為VD-ABC =×9×（2+4）=18. 故選C.

誤區8：忽視圖形位置的多種可能

例8. 如圖10，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC=BC=VC=2. 若線段AB上有一點E， 使得直線VD與平面VCE所成的角的正弦為，試確定點E的位置.

錯解：因為AC=BC=2，D是AB的中點，

AC⊥BC，所以CD⊥AB，且CD=AB==2.

在直角三角形VCD中，VD==2.

過點D在平面ABC內作DF⊥CE于F， 連接VF .

因為VC⊥平面ABC，所以平面VCE⊥平面ABC.

于是，DF⊥平面VCE，∠DVF就是直線VD與平面VCE所成的角，

即sin∠DVF=，=，=，DF=.

在直角三角形CDE中，×DF×CE=×CD×DE，

即DF×=CD×DE，×=2×DE，解得DE=1.

故點E是線段BD的中點.

評析：錯在認為點E在BD上，其實等腰直角三角形ACD關于CD對稱，點E也可以在線段AD上，因忽視點的多種可能位置致誤. 在立體幾何中，點、線、面的位置常常有多種可能，必須考慮周全，否則極易漏解.

正解：前面同上. 由于等腰直角三角形ACD關于CD對稱，所以線段AD的中點也滿足條件. 故點E是線段BD的中點或線段AD的中點.

誤區9：忽視截面的位置和形狀

例9. 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長是2，P為棱BC的中點，點Q在棱CC1上，且CQ=CC1. 過點A，P，Q的平面截該正方體得到的多邊形？琢，？琢交棱C1D1于點M，則D1M=（ ）

A. ? ? B. ? ? C. 1? ? D.

錯解：如圖11，因為Q是CC1的四等分點，所以取A1D1的四等分點N，A1N=A1D1，則D1N=.

作NM∥A1C1，交C1D1于M，連接MQ，則五邊形APQMN就是截面？琢. 于是D1M=. 故選D.

評析：作截面應根據平行關系、共線關系作出交線. 本題通過取A1D1的四等分點N，再作平行線的方法作交線是錯誤的.

正解：如圖12，過點B作BT∥PQ，交B1C1于點T. 再作TN∥A1B1，交A1D1于點N，連接AN，則AN是平面？琢與面AD1的交線.

延長PQ，交B1C1的延長線于點E，點N和點E是平面？琢與面A1C1的公共點.

連接EN，交C1D1于M. 再連接MQ，則NM是平面？琢與面A1C1的交線，QM是平面？琢與面DC1的交線. 則五邊形APQMN就是截面？琢.

易得C1T=，C1E=. 于是=，

即=，C1M=，D1M=2-=，故選B.

誤區10：忽視圖形形狀的多種可能

例10. 若四面體各棱長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的可能值構成的集合是? ? ? ? ? ? ?.

錯解：根據長為1和2的棱的條數可以劃分為符合題意的以下兩種情況（如圖13，14）：

（1）長為2的棱5條，如圖13所示，其體積等于.

（2）長為2的棱4條，如圖14所示，其體積等于.

綜上可知，體積的可能值構成的集合是{，}.

評析：根據長為1和2的棱的條數和“不是正四面體”的條件，應分為三類，漏掉一種情況.

正解：（1）（2）如上解.

（3）長為2的棱3條，如圖15所示，其體積等于.

綜上可知，體積的可能值構成的集合是{，，}.

責任編輯 徐國堅