基于前測分析 讓練習更有效

魯孟軍

[摘 要]只有在不斷驗證、探索方法的過程中進行計算練習，學生才能提升推理能力和解決問題能力，感受數學的趣味性。針對一道練習題的教學，先對前測結果進行分析，了解學生所處的水平層次，再將前測題和計算練習課進行融合，通過任務驅動，引導學生結合估算構建數學模型。

[關鍵詞]計算練習;數學模型;數學思考

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）14-0011-04

一、問題起因

人教版教材2011年版的四年級上冊第51頁有一道練習題：用0，1，2，3，4，5組成三位數乘兩位數的乘法算式，你能寫出幾個？你能寫出乘積最大的算式嗎？根據教學經驗，學生解題的錯誤率非常高。雖然學生在三年級時接觸過簡單的排列組合，知道具體形象的事件可以通過列舉得出結論，但解這一題要將5個數字進行排列，并且組成具體數時還要考慮0的位置，這已經超過了他們的認知水平，因為要有序且不遺漏地把這些組合寫完，得花一定的時間，確實不容易。此外，用這五個數字組成的三位數乘二位數的算式很多，許多算式相似度非常高，學生很容易混淆，也不能通過口算輕松得到正確答案，想要準確找到積最大的算式，這對他們來說確實有較大難度。

計算練習是最枯燥的，在考試中又是學生失誤最多的部分。教材編排的目的是希望學生能在尋找乘積最大算式的規律方法的過程中進行不斷的計算練習，以夯實計算基礎。

因此，教學時可以結合這道題的分析過程，通過任務驅動，讓學生從被動計算練習轉為有目的地主動計算，在不斷驗證、探索規律和方法的過程中自然地進行計算練習，提升學生的數感。同時，引導學生學會理性思考并用正確的方法進行推算，提升學生的推理能力和解決問題能力。

二、前測分析

1.設計前測練習

因為解題需要三位數乘二位數的相關知識，所以就以學校四年級2個班的學生（共80人）為測試對象，設計兩道前測題：

前測題1：用1，2，3，4，5這五個數組成三位數乘二位數的乘積算式，你可以寫出多少個算式？

前測題2：用1，2，3，4，5這五個數組成的三位數乘二位數的算式中，乘積最大的是哪個算式？

前測題與教材題目有所不同，把原題中的“0”去掉了，這主要是因為在進行豎式計算時，末尾的“0”是不用參與計算的，所以用0就不能有效暴露學生的思考過程，去掉后，更能反映學生的思考過程，展示學生解決這類題所用的方法。

2.分析前測結果

依據前測題2的答題情況，給學生劃分了幾個不同能力層次：

根據學生的答題情況及從訪談中了解的學生思考過程得知，水平一到水平三的學生占了大多數，這說明學生整體上對這類題目的認識是模糊的;由于學生水平能力的不同，學生解題出現的錯誤也明顯不同，最主要還是欠缺邏輯推理和估算的意識，同時計算能力也有所不足。

因此，教師應該注重數學模型的建構，重視估算的應用，強調計算能力的訓練，借助多種途徑引導學生找到正確的解題方法，提高學生的分析問題能力和邏輯推理能力。

三、實踐反思

1.組合算式，引發思考

這節課主要是通過復習三位數乘二位數的計算，提升學生的邏輯推理能力。對于前測題1，由于留給學生一定的時間，部分學生能根據數的排列和組合寫出較多的算式。對于前測題2，學生基本都是寫錯的，水平一到水平三的學生占了大多數。因此教學時宜從教材的習題切入，以降低難度。

【教學片段1】

師：請用0，2，3，4，5這五個數組成三位數乘二位數的算式。能寫幾個就寫幾個。

生：根據數的搭配組合，我先寫2開頭的，比如……

師：是的，根據數的組成可以寫出72個算式（如圖1）。這些算式都是三位數乘二位數的算式，也就是我們剛剛學習的算式。那怎樣進行三位數乘二位數的計算，需要注意什么？

72道算式的展示，讓水平一的學生明白這些算式的組合方式，了解算式的特點。由于搭配算式不是這節課的教學目標，這72道算式的展示是根據估算結果來排列的，目的是為后面的教學做鋪墊。

2.引用估算，確定方向

在解決數學問題時，需要學生具備估算意識，能有目的地分析數據，思考算式。

【教學片段2】

師：在這么多算式中如何找出結果最大的算式？

生1：計算出它們的結果。

師：那可要花些時間了。先想一想，哪些算式的乘積一定不會是最大的？為什么？（引導學生估算）

生2：我發現，通過估算，第一列算式的結果都是6000多，第二列算式的結果都是8000多，第三列算式的結果都是10000多，第四列算式的結果都是12000多，第五列算式的結果都是15000多，第六列算式的結果都是20000多，所以一至五列算式的結果都不可能是最大的。

師：那你有什么發現？

生3：只有把最大的兩個數分別放在兩個因數的首位，才可能使得到的乘積最大。

實踐中讓學生對課件展示的72道三位數乘二位數的算式進行估算，把乘積一定不會最大的算式給找出來。這一問題的提出，讓水平一和水平二的學生很快就有了思考的方向，這樣學生很快就否定了一至五列的算式，明白了解決這類題的一個基本特征：兩個因數的最高數位上的數應該是最大的兩個數。這樣一來就有效提高了水平一和水平二的學生的解題水平，讓學生感受估算的重要性。

3.計算訓練，明確方法

因為這節課是計算練習課，要讓學生多加練習，進而在計算練習的基礎上明確解題的方法，所以讓學生先計算課件展示的12道算式（如圖2）。這些算式的計算結果差距小，更能體現精確計算的重要性。

【教學片段3】

師：通過前面的分析，積最大的只可能出現在第六列的算式中，下面請計算這列的12個算式（如圖2）。（部分學生上黑板板演）

師：有了算式結果后，如果在確定兩個因數的最高位后，再選兩個數字，你會選哪兩個數呢？

生1：選余下數中最大的兩個數字，這樣得到的結果會比較大。

師：是的，我們來看看這些算式（如圖3）有什么特點。

生2：先將5，4分別寫在兩個因數的最高位，再將3，2分別寫在這兩個因數的第二位，0放最后，這樣的乘積結果比較大。

因為有前面環節的鋪墊，學生能根據計算結果找到四個最接近的算式，并很快得到解題方法。通過這樣的思考，學生明確了寫乘積最大算式時選擇數字的順序：最大的兩個數分別放在兩個因數的最高位，再從余下數中選擇最大的兩個數，分別放在兩個因數的第二位，這樣依次進行。由計算驗證得出方法的過程，使學生的思維在解決這類問題時變得有序，有效解決了水平三學生的問題。

4.計算模型，整合方法

數學思維的火花是在不斷的思維碰撞中產生的。對得到的四個算式的結果進行比較后，學生會將它們分成兩組，因為0在末尾不參與計算，教師就可以繼續引導學生進行推理。

【教學片段4】

師：現在我們知道430×52和520×43的計算結果最大，這是為什么？

生（齊）：不知道。

師（出示三年級“積變化規律”的內容，如圖4）：兩個數的和不變，它們的差越小，乘積越大。

師：現在你知道原因了嗎？

生1：比較43×52和42×53，可以發現差分別是9和11，因為差越小，積越大，所以43×52的乘積比較大。

師：你能舉個例子來證明嗎？

生1：56×47比大57×46， 58×63比大53×68。

師：請大家通過計算驗證。

師：現在學的知識是以三年級知識為基礎的，所以大家一定要學好每一個知識點。

學生通過復習知道，在三年級的“長方形面積”就學過“當長和寬越接近時，面積越大”（如圖4），后來接觸過一些和相等的兩數相乘的算式，也知道“它們的差越小，積越大”。通過引導，學生慢慢會發現，將三位數的個位0去掉后就是兩數相乘的計算模型，52與43更接近，它們相乘的積會更大。讓學生明白寫乘積最大的算式的方法是早已學過的，了解這題的本質是什么，這是學生掌握解決這類題的方法的一個關鍵。

5.改變數字，應用模型

至此，學生已經掌握了解決這類題的數學模型，也進行了多組計算練習。這時，教師可將數字0變為與前測題一樣的數字1，讓學生進行分析、計算、驗證，在鞏固解題方法的基礎上再次進行計算練習。

【教學片段5】

師：如果我將0改為1，現在5個數組合的三位數乘二位數的算式中，乘積最大的應該是哪個算式？請想一想，寫一寫。

生1：521×43 ，431×52。

師：請通過計算說明它們哪個的積更大。想一想，這個乘積最大的算式排列的方法是怎樣得出的？

生2：通過計算知道431×52的積更大，因為放在43后面的1去乘52積會比放在52后面的1去乘43更大。

生3：通過計算知道431×52的積更大。431-52的差更小一些，所以積會更大。

通過觀察和計算，學生明白：先選擇最大的5和4，接著選2和3兩個數，應用“兩數差越小，積越大”的方法組成二位數乘二位數的算式，再把1放在小的二位數后面，這樣組成的三位數與二位數的差更小，積也會更大。當然也可以用與1相乘的積的大小來確定1的位置，最后得到結論：先選最大的兩個數，再選余下最大的兩個數，應用兩數差越小積越大的方法，把第三大的數放在第二大的數后面，第四大的數放在第一大的數后面，最后一個數放在小的二位數后面，這樣組成的三位數與兩位數的差更小，積也會更大。對于這個解題方法，讓學生明白思考的順序是關鍵，不需要過于強調方法敘述的完整性。

6.字母模型，巧妙解法

由于學習能力的差異、理解能力的不同，總有一些學生無法掌握解題方法。此時，教師可以根據模型的特點，結合字母模型，把各數的排列巧妙地與筆畫順序結合起來，讓學生感受學習數學的樂趣。

【教學片段6】

師：請寫一寫2，4，6，8，9和1，3，5，7，9這兩組數分別組合成三位數乘二位數乘積最大的算式。

師：剛才我看到還有不少同學寫不出來。下面介紹字母解法，它能幫助大家更輕松地寫出算式。

師（展示“U”字解法，如圖5）：按字母寫字順序，結合前面學習的解題方法，先寫最大的兩個數，再寫余下最大的兩個數，最后一個數最后寫。

師：說一說這字母法和前面的學方法有什么共同之處。

借助字母模型，直觀地將選擇數據的順序呈現出來，讓學生有位置模型可以借助，學生理解起來就容易多了。課后訪談發現，學生基本愿意用這種數形結合的方法來解題，不太愿意用前面說理的方法。

縱觀整個教學實踐過程，學生經歷了多次的認知沖突與碰撞，經歷了問題分析、計算練習、驗證反思等過程，借助不斷地推理，在解決寫乘積最大的算式過程中進行了有效的計算練習，建立了解決問題與計算應用之間的聯系。通過不斷地計算和驗證，學生學會推理和研究。

教材中還有很多類似的習題，如何去教學這些學生感到熟悉但又不太容易解決的問題，需要教師思考。值得注意的是，課堂教學必須以尊重學生已有經驗為基礎（起點），重視教材解讀與重構（題組），重視拓展材料的設計（變式），重視啟發學生（方法），通過對有層次和有結構的題組進行思考、嘗試、實踐、探究等活動，利用學生已有的知識水平和經驗，提高學生解決問題的能力，讓學生在更高的層級感悟數學內在的價值，使學生的練習更有效。

[ 參 考 文 獻 ]

曹培英.跨越斷層，走出誤區：“課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

（責編 金 鈴）