是一一列舉還是搭配計算？

薛陳香

[摘 要]在小學階段的排列組合問題中，一一列舉是最基礎的方法。搭配算法公式是靠簡易的列舉操作來印證，而復雜的排列組合問題有時為了訓練學生有序思考，不得不繞過搭配運算來一五一十地列舉。正是這種錯綜復雜的微妙關系帶來了學生的生成性教學資源。

[關鍵詞]一一列舉;搭配;有序;對比

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）14-0024-03

【教學案例】

出示題目（蘇教版教材第九冊第94頁）：

教師先讓學生舉例，再選擇一些不完整的做法寫在黑板上，讓學生一起尋找缺漏，然后讓學生在畫有5個格子的表格中，一個個地枚舉。教師提示從長為10米開始有序列舉（如表1），然而許多學生反其道而行之，從長為1米開始逐個列舉（如表2）。

新課結束后的檢測環節出示教材第95頁的“練一練”第2題：

不知道是因為一時大意，還是教師因輕視而刻意為之，原本寫在習題后的提示語——“先填表，再回答”已然不見。教師發現一位成績優秀的女生愁眉緊鎖后立馬上前詢問：“到底出什么狀況了？”怎料這位女生疑惑地說：“這道題與以前學過的一一搭配有什么分別呢？只需要列出乘法算式‘3×4=12就可快刀斬亂麻，何必這么大費周章！”此言一出，引來一陣騷動。教師錯愕，呆了片刻，猛然醒悟，原來附錄的注腳漏掉了，于是馬上緊急補救：“教材有明確要求，需要一一列舉！”……

一、逃避問題，無視生成性資源

課后，筆者對三位學生進行了訪談。首先問“從長為1米開始逐次往上遞增”的學生：“你為何要從1米開始嘗試？”他答道：“研究問題，不都是從最小開始的？”接著問“從10米長往下依序遞減”的學生：“你為何要從10米長開始？”他喃喃道：“書上這么說的。”最后詢問偏好乘法的女生：“你為何試都不試，一步到位，直接算出結果？”她理直氣壯地說道：“本就是計算搭配方法，何必去一個個數！”……筆者與授課教師交流：“你為什么只展示部分作業？”對方理直氣壯：“從10米長往下依序遞減，這是書上的定論。更何況‘長 =1米、寬 =10米這種寫法很反常，不符合語言習慣和我們對長和寬的通用定義！因此應該從最長的長度往下遞減。” “對學生提出的用乘法直接算出結果，你為何敷衍搪塞、躲閃回避？”教師找了個理由：“一一列舉是教材所定，不敢違逆，只不過我一時疏忽，制作課件時遺漏了……”

學生之所以會有疑慮，完全是因為對搭配方法計算與一一列舉沒有嚴格區分所致。搭配方法的算理揭示也是靠一一列舉實現的，而復雜的排列組合問題也需要一一列舉，解決這一癥結的方法是滲透有序思考數學思想。有序思考是貫穿問題的主軸，例題中用周長一定來反推面積的做法，其實是對定長的拆分，這種拆分與搭配（組合）一樣，需要有序思考。按照一一列舉的做法，就要先暫定其中一個元素（長或寬），再降序排列或者升序排列，最后發現重復部分，然后剔除，這樣一來就會對學生造成思維干擾：將搭配與拆分自動對比，而分配長和寬只能一一列舉，無法像搭配那樣直接計算。因此，在后面的一一列舉一葷一素組合時，學生理所當然想到直接用公式計算，跳過一一列舉。

二、 指明要求，迫使學生一一列舉

本節課的教學目標是使學生通過一一列舉解決問題，體驗到有序列舉的優勢，并會根據有序列舉速戰速決，感受到一一列舉的獨特作用，進一步培養學生思維的有序性。

教師在備課時應該意識到，這一課程被編排在第九冊的教材中，選擇教學方式時，應考慮到學生的知識儲備。反思以上教學片段，不難發現教師的預期與學生的基礎之間存在差距。

在教學例題時，教師對教材亦步亦趨，一一羅列出各個知識點、劃定重難點：首先強調基本構成單位——1米長的木條，提示長和寬不存在小數，然后就對數量“22”進行拆分，讓學生明白這個22米不是別的，其實就是周長，最后著重攻克“面積最大”的難題，讓學生明確“在眾多的解法中尋找最優解，也就是在不確定、不唯一的面積算法中找到最大面積”。

按照五年級學生的思維特點，教學時更適合用“逆推追溯”的分析法，也就是剖析例題時，可從條件到結論順推，但更應該從問題起步，逆推溯源，由最后的“確定面積”來反向求長和寬的具體值，從而在周長恒定時，一一列舉長和寬的各種配對情況，并根據長和寬的守恒增減來反映面積大小的變化。

在教學例題時，教師無原則地遷就學生，任其信手列舉，然后將散亂的列舉拿來“開刀”，以此突出有序列舉的優勢。其實，有序思想早已存在（例如低年級的數數、因數和倍數等），對學生來說可謂是“老相識”。許多知識都隱含有序思維，可以說，有序性是數學思考的基本方法，也是數學研究的基礎邏輯。

因此，筆者倡議：當列舉比較多的圍法時，要做到快刀斬亂麻，將所有可能一次性呈現，就必須喚醒學生有序思考的經驗，直接開始制訂有序列舉的策略。不僅如此，提供路線比指導方法更管用，因為只要方向正確，方法是遲早可以得出的，無非就是多一道優化的手續。如此一來，學生的學習就不會呆板僵化，上述教學案例中教師的尷尬（必須按照教材從長度10米逐級遞減）就會化于無形。教師可以順應學生的生成性資源，從最小的1米開始逐漸遞增，例如假設長為1米，通過（22-1×2）÷2就可以順利計算出寬度為10米……至于教師憂慮的“‘長 =1、寬 =10這種表述很別扭”，完全對解題構不成威脅，因為“長”與“寬”只是人為命名的，數字大小沒有規定。如果學生實在要鉆這個牛角尖，教師可以提出“只需將長和寬對調即可”。

在備好的原始空表中，教師不妨改良一番，增設“周長”一欄（如表3）來拓展學生的思維，這樣更利于凸顯不變之中的變數。

在學生反饋時，再改弦更張“22÷2=11”，然后將11分解成兩條鄰邊的長，對長和寬進行一一列舉，這樣就能直接與教材從長度10米開始遞減的做法完美銜接。學生沿著自己的思路，從小到大列舉到5的時候，會發現余下的都是長和寬對調后的重復組合，從而停手。反觀教學案例，教師沒有對教材列舉到6就打住做出合理解釋，發的5格表也帶有很強的暗示性和誤導性（似乎未卜先知，預知上限只有5種，根本否定第6種的存在）。科學的做法應是：取消表格格數上限，沒有固定格數，由學生自己調整后確定。

正確處理好教與學的矛盾，才是調整教學的前提和依據，教與學的矛盾處理好了，教學流程自然就順暢了。首先就是要處理好因果關系，這點很重要。到底是因為長和寬的組合存在多樣性，所以導致面積不確定，還是因為面積本身存在不確定性，所以要去尋找長和寬的不同組合，這一點與一一列舉的動機是分不開的。其實，從結論到條件的追溯法更能體現一一列舉的必要性。其次，到底是先從無序列舉中慢慢探尋有序列舉，還是直接提示有序列舉，這是基于學生經驗所做的決定。既然是以培養和發展學生有序思維為宗旨，就不可能一蹴而就，需要學生積累有序思考的經驗，所以此時可以直接要求學生有序列舉，這樣教學的目標性更強。最后，是對重復性的發現。即使出現重復列舉，也不妨礙有序思維的訓練，所以教師不需要事先阻止或者壓制學生重復列舉，待學生自然列舉后，將重復的部分解釋清楚并剔除就可，這樣反而能讓學生的有序思維更加嚴密。

三、對比方法，前后延伸

回顧教學案例可以發現，教師根本沒有料到學生會有“搭配規律”的操作。有些學生受到提點，幡然醒悟，發現原有的方案“3×4=12（種）”更快捷。教材“舍近求遠”，要求學生“先填表，再回答”，顯然是為了繞開老路，重開新路，用新藥治療舊病，引導學生前后對比，揣摩搭配計算與一一列舉的聯系。然而，很是令人惋惜，教師不明其中原委，制作課件時漏掉了不可或缺的附帶要求，導致意外發生。

出現這種狀況，主要責任在于教師固執地按照教材行事，這恰是對學生思維的抑制。如果教師高瞻遠矚，抓住學生的思維火花，順應學生，就能在對比后用事實說話——“再英明的策略，換了情境就要另當別論”，從而提高站位，為授課畫上出彩的一筆。然而，令人遺憾的是，教師缺少全局觀，只見到教材的先進性，而忽視其劣勢，不能一分為二地看待問題;即使有了全局觀，也覺得多一事不如少一事，免得節外生枝。如果沒有出現意外，這道例題通常存在兩種處理方式：一是完整出示習題要求，強令學生使用新方法，然后對比融通新舊方法，從而明白新舊方法都可行;二是將原問法“共有幾種搭配？”改成“共有哪些搭配？”，迫使學生“就范”——只能列舉。

好的教學應該能夠前后延伸，除了“向前（已學知識）追溯”，讓學生認清一一列舉的不足，還可以利用例題2（如圖3）“向后（未學知識）展望”。在學生嘗試一一列舉的策略后，教師可把數據擴大化，暴露出一一列舉的短板：“等以后了解了最小公倍數，不用一一列舉就可輕易求解。”如此，學生才會長進，并最終明白“隨著知識的豐富，解題方法也會更先進”，并逐步形成穩健的思維習慣：首先研判“能不能”（一一列舉的可行性評估），然后斟酌取舍。

教師還可以提點學生：“在一些情況下，一一列舉成了唯一選擇。例如教材第97頁練習十七中的例題3（如圖4）。”

至此，一一列舉和搭配方法計算之間的關系總算捋順了，二者都是為有序思考的培養服務的，但是區別也很明顯，搭配方法計算雖然也用到一一列舉來作為前期的直觀演示，但這只是一種總結公式的手段，而且搭配方法計算的是總數，要的是一個統計結果，當需要一一判別各種不同的組合情況時，這個總數就不起作用了，而一一列舉就十分適用。因此，只要將教材第95頁的“練一練”第2題稍作改變，學生就會“乖乖”去列舉：將“有幾種葷素搭配？”改為“存在哪些葷素搭配情況？”。

總之，無論有無教學案例中的生成性資源，這節課都應該完成這樣的目標——讓學生靈活決策。當然，教師也要靈活教學。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 陳赟.借助問題解決培養“有序”思維：以《一一列舉的策略》一課為例[J].山西教育（教學），2021（8）：29-30.

[2] 冒金彬.說課：內容應重于形式[J].教育研究與評論（小學教育教學），2021（2）：37-40.

（責編 金 鈴）