通過透視問題來解決問題

以斌

[摘 要]“雙減”背景下，數學教學要切實幫助學生減負增效。透視問題可以促成這一目標的實現。透視問題就是思考問題、分析問題、簡化問題，找到各數量間的聯系。對于圖文題，應通過聯立圖文把握題意;對于純文字題，應盡量通過數形結合去厘清問題和簡化問題。通過透視問題來解決問題，學生的審題能力、闡釋能力、分析能力、推理能力、逆向思維能力將得到較好的發展，解題水平和解題速度也會極大提高。

[關鍵詞]“雙減”;圖文題;純文字題

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）14-0039-04

數學課程標準指出，要讓學生初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。筆者把思考問題、分析問題、簡化問題、找到各數量間的聯系這一系列針對問題的分析過程叫作“透視問題”。針對低年級的圖文題和中高年級的純文字題，筆者分別提煉出各自的“四步透視法”，對提升學生解決問題的能力方面有著較好的作用。這也正符合“雙減”的要求。筆者現將這兩類題型的四步透視法闡述如下。

一、圖文題的四步透視法

圖文題四步透視法旨在讓學生達成以下6個目標：第一，懂得組成應用題的各種要素及其組成道理;第二，學會把圖片和文字向更直觀的符號、圖形轉化，讓各要素間的數量關系更形象直觀;第三，能在直觀演示和符號、圖形的支持下深入理解算法的核心含義;第四，能在圖形與文字之間自由轉換，讓思維更加富有含金量;第五，理解數量間的基本關系，學會加減乘除基本類型題的解決方法;第六，掌握化難為易的直觀化數學思想方法。

第一步：看圖懂說話，由圖文悟真意

不妨從最基礎的內容學起，由淺入深，讓學生收獲成就感，樹立學好數學的信心。比如例1，教師要求學生：（1）掌握看圖的順序，要由左到右，由上到下，圖文結合，避免遺漏;（2）能說出題目中的已知條件和問題分別是什么;（3）明白解決一個問題，必須要有2個相關的已知條件。教學過程如下。

【例1】

（教師先指導學生看圖的順序，指出看圖要看完整）

師：你能用自己的語言說出你看到的已知條件或者問題嗎？

（學生一邊說，教師一邊板書）

生1：小白兔拔了36個蘿卜。

生2：小灰兔拔了23個蘿卜。

生3：小白兔和小灰兔一共拔了多少個蘿卜？

師：這里有幾個問題、幾個條件？

（讓學生自己找，學生在找和回答為什么的過程中就會逐步明白問題和條件的概念）

師（邊提問邊遮住其中一個條件）：如果只有一個條件，可以解決問題嗎？為什么？

（此處讓學生明白有兩個量才能產生不同的數量關系，也就可以解決不同的問題）

師：換一個條件可以嗎？為什么？（教師將“小灰兔”換為“小紅兔”，并把它拔的蘿卜數改為15個）

（此處讓學生明白條件和問題要有聯系）

師：根據與小灰兔和小紅兔相關的兩個條件，你還可以提出別的問題嗎？

第二步：提線串成珠，“知”“問”巧成題

這一步要做到提綱挈領、綱舉目張，即讓學生學會把直觀的、零散的問題逐步向抽象的、規范的問題轉化，讓學生明白科學的問題是怎樣形成和提出的。因此，第二步要使學生掌握問題形成的三要素及其合理的順序：事情（簡單交代）、已知條件（至少兩個）、問題。

仍以例1為例，教學過程如下。

（1）讓學生給黑板上的條件和問題排序，使他們初步感知“順序”。

（2）讓學生口頭編題。教師引導學生逐步學習完善的表達方式和簡潔的呈現方法。（讓數學課中的科學味道自然散發出來）

有的學生編的題為：兩只兔子去拔蘿卜。小白兔拔了36個，小灰兔拔了23個，兩只小兔子一共拔了多少個蘿卜？

這僅僅是參考，學生編的題可以多種多樣，只要他們明白順序和要素即可，不必強求規范、簡潔和標準，讓他們慢慢成長。

（3）適當變化，打破學生循規蹈矩、亦步亦趨的學習局面，讓他們的思維隨時隨地都有發散的空間。

教師提問：根據這兩個條件，你還可以提出其他問題嗎？

教師在表揚學生提出的求差問題后，可以這樣引導學生：“知識可神奇了，通過學習，今后你們還可以提出更多的問題。”

第三步：實踐找關系，列式講道理

數學課程標準指出，有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。由此可見動手實踐的重要性。因此，第三步通過擺一擺、畫一畫，使學生在“直觀、行動、觀察、思考”中明白已知的兩個量和問題間的關系，感性認識所選擇的加法計算的含義，懂得列式的道理。以例1為例，教學過程如下。

師：擺一擺，沒有蘿卜怎么辦？

（讓學生用學具把“求和”表示出來，完成從直觀走向抽象的第一個轉化：由實物到直觀圖形。活動如下）

活動一：學生各自在桌面上先擺36個小圓片（或其他學具，如小棒）代替蘿卜，然后在旁邊再擺23個小圓片，接著根據“一共”的含義，將兩堆小圓片合在一起，體現求和就是用加法。

活動二：學生各自在桌面上先擺23個小圓片（或其他學具，如小棒）代替蘿卜，然后在旁邊再擺36個小圓片，然后根據“一共”的含義，將兩堆小圓片合在一起，體現求和就是用加法。

（讓學生明白求和就是合起來，誰先誰后都沒有關系）

師：除了擺學具，還可以畫一畫。

（選擇性地讓學生接觸從直觀走向抽象的第二個轉化：由實物圖片到繪制符號或線段，為今后解文字應用題時的作圖分析打基礎。見圖1、圖2）

要讓學生根據圖理解加法的意義：“一共”與“和”的含義是“一起”“共同”“合并”，是相加的意思，用加法計算。同時可以滲透和拓展，比如再加一只小黑兔。其他計算方法教法與此類似，不再列舉。

第四步：舉一要反三，“思”“法”是真諦

孔子有云：“溫故而知新。”舉一反三就是在掌握一道題的解題方法的前提下，觸類旁通，學會一類題的解題思想、方法和手段。有一句著名諺語說：“實踐是解決問題的鑰匙。”第四步就是要在實踐中實現學生思考力與執行力的提升，讓學生深入理解算法的意義，能在文字與圖形間自由轉換，不受原題的限制。教學過程如下。

師：請同學們看下面兩個圖（如圖3）列式，并說明理由。

[讓學生進一步理解各種計算方法（加減乘除）的含義]

師：請比較兩種方法的異同點。

（引導學生分析對比加減法的意義，使其在比較中深入理解求和與求差的異同）

生1：相同點是都有兩個量。

生2：不同點在于一個是求和，即合并，要用加法;另一個是求差，即求相差數是多少，要用減法。

師（繼續使用圖3）：看上面的圖，繼續編題。

（教師在學生編題時可以在情境、已知條件、問題的完整性和科學性等方面予以指導）

教師組織學生逆轉思維由圖向文，加大訓練的難度，但也加深了學生對圖的理解，提高了學生的作圖釋文的能力。

隨后，教師出示預先編好的題，放在圖的上邊，排序如下：純文字—圖文結合—分析符號、圖形。

學生在比較中逐漸形成“文字題→圖文題→用各種符號表示→作線段圖……”的思維，這就是化繁為簡的解題思想，它指導我們形成解決一類問題的方法思路。

二、文字題的四步透視法

文字題的四步透視法需要讓學生達成以下5個目標：第一，懂得不同題型的基本作圖思路及方法[如：有一個量的，表示部分與總體的關系，用一條線段表示（包括行程問題、工程問題等）;有兩個量的，用兩條線段表示;以此類推。特殊題型如推理題、實驗題等，則用表格表示較好];第二，學會用簡單的文字、線段、數字和符號詮釋文字應用題的含義;第三，學會根據圖意分析數量間的關系，明白類型題的解題方法;第四，能熟練在圖文之間相互轉換，提高理解力與呈現力;第五，明白作圖簡化題意是數學重要的學習方法之一。具體步驟如下。

第一步：讀題抓要點，顧名能思義

第一步是要讓學生讀出題目說的是兩個量的關系還是一個量的關系，是典型關系還是一般關系。

【例2】甲、乙兩人從一條路的兩端相向而行，3小時后相遇。已知甲每小時行12千米，乙每小時行13千米，這條路有多長？

（教學過程如下）

師：要用幾條線段表示？為什么？

生1：一條，因為是“一條路”。

生2：一條，因為是行程問題。

生3：一條，雖然有甲和乙兩個量，但是他們走的是同一條路，共同走完一段路程。

師：這是典型問題還是一般問題？有什么樣的數量關系？

生4：典型問題。這是行程問題，數量關系是“速度×時間=路程”。

第二步：循意繪成圖，“圖”“文”見高低

著名心理學家皮亞杰說：“兒童的思維是從動作開始的，切斷了動作與思維的聯系，思維就不能得到發展。”這說明，行動既是初步思維的外顯，又是深度思維的參照。因此，這一步的要點是行動，就是按照題目的敘述作圖，用形象、簡明的圖形代替抽象、復雜的文字。因此，第二步要求學生達成2個目標：“第一，明白線段圖的組成部分是文字、線段、數據、符號;第二，明白線段圖是一個大致的簡圖，必須根據文字敘述的意思作圖，數量間的關系應當大致合理。教學過程如下。

師：線段、數字、文字、符號是線段圖的組成部分。為什么要有文字呢？（指出將會產生關系的幾個數量，便于學生思考數量間的關系，找出正確的解題方法）

（根據參考圖例，為例2作線段圖。挑選部分學生的圖例進行展示，讓學生說出作圖的理由。圖5、圖6為筆者選出的兩種圖例）

師：文圖一致，關系清楚，簡潔明了。

第三步：圖出關系現，算法擇優選

設置本環節的目的是讓學生根據線段圖展示的數量關系列出算式，發揮想象力，創造性地思考，提高優化意識。因此，這一步需要讓學生達成以下3個目標：第一，說出最基本的數量關系式;第二，列出盡可能多的算式;第三，研究各個算式的特點，能夠進行合理優化和科學選擇。以例2為例，教學過程如下。

師：根據線段圖回答，本題是什么類型的應用題？基本關系式是什么？題目給出了什么條件？求什么？怎么列式？說出理由。

生1：12×3+13×3。

生2：（12+13）×3。

生3：12×3=36（千米），3×3=39（千米），36+39=75（千米）。

師：同學們認為哪種方法好？為什么？

生4：第二種，更簡潔。

生5：第一種，它的思路很清晰。

師：這三種方法各有優點，遇到類似問題時可以根據實際情況選擇。比如解決“甲先走1小時后乙再出發，兩個人相向而行，3小時后相遇，兩地的距離多遠？”這個問題時，用第一種方法更方便。

第四步：舉一要反三，“思”“法”是真諦

學會數學思想和方法才是學生終身學習和發展的保障。因此，教師教學時要注意選擇有代表性的例題，讓學生形成解一個系列或一個類型的題的思路。第四步要讓學生達成以下3個目標：第一，圖文互通，透徹理解;第二，明白就算是一題多變，也是萬變不離其宗，就是三個數量之間的關系的變化;第三，尋找更廣泛的相似關系形成指導性的解題策略。以例2為例，教學過程如下。

出示圖7，由圖成文，圖文互通，使學生透徹理解。體會一種數量關系中存在的三種變化：“速度和×時間=路程”“路程÷速度和=時間”“路程÷時間=速度和”。

由圖到文，將會提高學生理解簡單圖示的水平，提高學生豐富簡單材料的水平，提高學生科學闡釋和完整表達的水平。總的來說，也會進一步提高學生的看圖分析水平。

通過圖文轉化，使學生深入理解三個數量間的三種關系，理解列式的含義。

在一類關系中的運用：工程和行程問題與單價、數量、總價等問題具有一致性，都可以納入“一份數，份數，總數的關系”的大盤子，互相借鑒解題思路。

如圖8的工程問題。

讓學生在各種變化中獲得一個具有普遍性的結論或者一種通用的解題思路，才是學習和研究的真諦，也是學生思維水平和學習素養提升的保障。

總之，透視問題就是使用各種感性工具簡化問題從而解決問題。簡化問題的工具有不少，其中最常用的就是線段圖，因此本文主要以線段圖為例，大家不要受到局限，教學時可以根據不同題型選擇不同的分析工具，如幾何圖形、表格等。學生經過透視問題再到解決問題，他們的審題能力、闡釋能力、分析能力、推理能力、逆向思維能力均得到了較大的發展。同時，在解決實際問題的過程中，學生提高了靈活、機動、綜合運用知識的能力，這將使他們在今后的學習中受益。

（責編 吳美玲）