凸顯知識(shí)本質(zhì) 促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

汪元貴

[摘 要]“認(rèn)識(shí)方程”是代數(shù)學(xué)習(xí)的起始課，是學(xué)生認(rèn)知的一次質(zhì)的飛躍。“認(rèn)識(shí)方程”的教學(xué)對(duì)豐富學(xué)生解決問(wèn)題的策略，突破學(xué)生算術(shù)思維方法中的某些局限性，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著非常重要的意義。

[關(guān)鍵詞]認(rèn)識(shí)方程;深度學(xué)習(xí);本質(zhì)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2022）14-0067-03

【教學(xué)內(nèi)容】蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)方程”。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.讓學(xué)生結(jié)合具體情境了解方程的含義，初步體會(huì)等式與方程的關(guān)系。

2.讓學(xué)生在觀察、分析、抽象、概括和交流的過(guò)程中，經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成等式或方程的過(guò)程，積累現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗(yàn)，感受方程的思想方法和價(jià)值，發(fā)展抽象思維能力和符號(hào)意識(shí)。

3.讓學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、與人合作、自覺(jué)檢查等習(xí)慣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

【教學(xué)重點(diǎn)】了解方程的意義，會(huì)用方程表示簡(jiǎn)單情境中的等量關(guān)系。

【教學(xué)難點(diǎn)】感受方程思想方法和價(jià)值，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成等式或方程，將等量關(guān)系符號(hào)化。

【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入方程

師：今天我們來(lái)學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)方程”。看到“方程”二字，你最想弄明白哪些知識(shí)呢？

生： 什么是方程？怎樣列方程？方程有什么用？方程從哪來(lái)？

（學(xué)生提出問(wèn)題后由教師梳理并板書）

師： 這些問(wèn)題反映了你們對(duì)方程的思考，帶著這些問(wèn)題讓我們一起走進(jìn)方程。

二、自主探究，學(xué)習(xí)方程

師（拿出天平）：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有時(shí)候需要借助一些工具，比如這節(jié)課我們就要借助一個(gè)工具來(lái)幫助我們理解方程，它是什么？

生1：天平。

師：誰(shuí)能結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)介紹一下天平？

生2：天平是測(cè)量質(zhì)量的工具。它的結(jié)構(gòu)很簡(jiǎn)單，主要由兩個(gè)托盤、一個(gè)橫梁、底座和支架組成。它是利用砝碼的質(zhì)量來(lái)稱量物體的質(zhì)量。它很公平，稍有偏差就會(huì)向一邊傾斜。

生3：生2說(shuō)得對(duì)，當(dāng)天平兩邊的物體質(zhì)量相等時(shí)，天平就會(huì)平衡;如果不相等，天平就會(huì)傾斜。

師：這兩位同學(xué)都提到了天平很公平，當(dāng)天平兩邊物體質(zhì)量相等時(shí)，天平就會(huì)平衡;當(dāng)兩邊物體質(zhì)量不等時(shí)，天平就不平衡。

師：如果在這個(gè)天平的左右兩邊各放上一些物體，如圖1所示，你能說(shuō)說(shuō)它所表達(dá)的意思嗎？

師：我用三句話來(lái)表達(dá)。左邊是50g雞蛋和50 g砝碼，右邊是100 g砝碼;天平平衡了，左邊和右邊質(zhì)量相等;可以用等式50+50=100來(lái)表示。

師（板書算式50+50=100）：這里的“=”是什么意思呢？

生4：表示左邊和右邊的質(zhì)量相等。

師：我們以前也遇到過(guò)很多這樣的式子，比如2+3=5，5+50=55，這兩個(gè)式子中的 “=”的意思和50+50=100中的一樣嗎？

生5：不一樣，前兩個(gè)式子中的“=”表示一種運(yùn)算的結(jié)果，50+50=100中的“=”則表示左邊和右邊質(zhì)量相等的關(guān)系，是量與量之間關(guān)系的一種表達(dá)方式，這里的100是天平右邊的數(shù)，而不是計(jì)算出來(lái)的。

師：我們又進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了 “=”的含義，它不僅可以表示一種運(yùn)算結(jié)果，還可以表示左右兩邊相等的關(guān)系。請(qǐng)大家好好體會(huì)一下此處 “=”的作用。

師：你可以模仿老師的三句話表達(dá)方式說(shuō)一說(shuō)這時(shí)候的天平狀態(tài)嗎？

（同桌互說(shuō)，展示交流，重點(diǎn)體會(huì)“=”的作用。）

師（出示圖2）：大家看圖完成小組內(nèi)交流，具體要求為“組長(zhǎng)分工，一人一圖;用三句話結(jié)構(gòu)來(lái)表達(dá);用一個(gè)式子表示天平兩邊物體質(zhì)量的大小;匯報(bào)交流前必須對(duì)前一個(gè)小組的觀點(diǎn)進(jìn)行評(píng)價(jià)”。

（學(xué)生用三句話表述四幅圖，并在黑板上列出式子。）

師：大家都能用式子來(lái)表示天平的狀態(tài)，真不簡(jiǎn)單！觀察這些式子，你能給它們分類嗎？

生6：x+50>100和x+50<200是一類，它們的左邊都是一個(gè)不確定的數(shù)，因?yàn)樘炱讲黄胶猓疾荒苡谩?”連接。x+50=100和2x=200是一類，它們左右兩邊都是能夠確定的數(shù)，根據(jù)x+50=100，可以知道x=50，根據(jù)2x=200，可以知道x=100，所以這兩個(gè)式子是一類。

師：生6不僅分類正確，而且還給出了充足的理由，真棒！

師：大家在說(shuō)圖時(shí)寫出來(lái)的式子與以往學(xué)過(guò)的式子相比有些不一樣，今天同學(xué)們寫出來(lái)的式子中，左邊都有一個(gè)不知道的數(shù)，用字母x代替，當(dāng)然，也可以用其他字母來(lái)代替。這個(gè)不知道的數(shù)可以通過(guò)右邊的已知數(shù)來(lái)求解。這樣的式子在數(shù)學(xué)上有個(gè)特定的名字——方程，即像這樣含有未知數(shù)的等式叫作方程。

師：在方程的定義中，你認(rèn)為哪些字眼比較重要？

生7：未知數(shù)、等式。

師：觀察這些方程的式子，它們有什么共同的特點(diǎn)呢？

生8：左邊都有未知數(shù)，但是根據(jù)右邊確定的數(shù)都能算出這個(gè)未知數(shù)的值。

師：其實(shí)方程就是把未知數(shù)和已知數(shù)通過(guò)一種等量關(guān)系連接起來(lái)所寫成的式子。

師（出示圖4）：現(xiàn)在我想請(qǐng)兩位同學(xué)一個(gè)圈等式，一個(gè)圈方程。

師：觀察他們?nèi)Φ娜Γ惆l(fā)現(xiàn)了什么？

生9：“方程”小圈被“等式”大圈包圍。

生10：方程和等式都有“=”，這是它們的共同點(diǎn)。

生11：方程和等式既有相同的地方，又有獨(dú)特的地方，比如方程的左邊都有未知數(shù)，同時(shí)也是等式。

師：你能用一句話說(shuō)明方程與等式之間的關(guān)系嗎？

生12：方程都是等式，但等式不一定是方程。

師：如果有這樣兩個(gè)圈，請(qǐng)把“方程”和“等式”這兩個(gè)板貼貼到相應(yīng)的圈子里，并說(shuō)說(shuō)你的想法。

三、聯(lián)系實(shí)際，理解方程

師：對(duì)于方程，其實(shí)我們?cè)缇蛯W(xué)過(guò)了，只不過(guò)沒(méi)有正式去研究，如之前學(xué)過(guò)這樣的式子“3÷△=10，□×6=48，240÷○=8”。

師：你能把每個(gè)算式中用圖形表示的未知數(shù)改用字母表示嗎？

師：通過(guò)探究，相信大家對(duì)方程有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。下面的式子中哪些是方程？哪些不是方程？為什么？

（1）6+x =14 ? ? ? ?（2）36-7=29 ? ? ? （3）60+23>70

（4）x +4<14 ? ? ? ?（5） 5y=40 ? ? ? ? ?（6） 8+x

（7）6x+★=89 ? ? （8）36+★=78

師（隨機(jī)抽取其中兩題說(shuō)明判斷方法）：第（8）小題可能是方程，也可能不是方程，這取決于星星的內(nèi)容。）

師（出示圖6）：你會(huì)用方程表示圖中的數(shù)量關(guān)系嗎？

師：不同的等量關(guān)系對(duì)應(yīng)不同的方程，但是，必須關(guān)注形如480÷3=x，988+122=x以及7.3-6.4=x的式子。

師：學(xué)習(xí)的至高境界不是學(xué)會(huì)，而是對(duì)學(xué)會(huì)的內(nèi)容能加以創(chuàng)編，做到舉一反三。請(qǐng)根據(jù)以下兩個(gè)方程，結(jié)合生活實(shí)際，各編一個(gè)小故事，和同學(xué)分享。（1）y+19=42;（2）z-13+15=37。

（該題供學(xué)有余力的學(xué)生完成）

四、數(shù)學(xué)史話：你知道嗎？

師：什么是方程，怎樣列方程，大家都非常清楚了。那么方程有什么用呢？這需要我們慢慢去體會(huì)。而方程是從哪來(lái)的呢？讓我們一起來(lái)了解。

（播放錄音：早在三千六百多年前，埃及人就會(huì)用方程解決數(shù)學(xué)問(wèn)題了。在我國(guó)的《九章算術(shù)》中記載了用一組方程解決實(shí)際問(wèn)題的史料。三百年前，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾第一個(gè)提倡用x、y、z等字母代表未知數(shù)，形成現(xiàn)在的方程定義。 ）

【教學(xué)反思】

在“認(rèn)識(shí)方程”的教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生觀察天平，動(dòng)手操作天平，在師生交流、生生交流等思維碰撞中，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)方程模型。大多數(shù)教學(xué)都止于方程的外部形式，學(xué)生只知道“含有未知數(shù)的等式叫作方程”，對(duì)“方程表示未知數(shù)與已知數(shù)之間的一種等量關(guān)系” 的本質(zhì)還缺乏一定的認(rèn)識(shí)。對(duì)于本節(jié)課的教學(xué)筆者有以下兩點(diǎn)心得，與大家共勉。

一、借直觀，構(gòu)模型

“方程”是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，因此教師應(yīng)該從數(shù)學(xué)建模的角度開(kāi)展教學(xué)。對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，從具體事物的數(shù)量抽象出數(shù)是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍;由具體的、確定的數(shù)過(guò)渡到用字母表示未知的、可變的數(shù)，是認(rèn)識(shí)上的又一次飛躍。而從列算式解決實(shí)際問(wèn)題發(fā)展到列方程解決實(shí)際問(wèn)題，則是思維方式的重要轉(zhuǎn)折。這種轉(zhuǎn)折不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性和靈活性，而且將使學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力提高到一個(gè)新的高度。借助天平這一形象，結(jié)合天平原理探尋左邊物體的質(zhì)量，由此引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)算式表征天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系。學(xué)生通過(guò)觀察、分析，寫出合理的等式，從中發(fā)現(xiàn)方程的外部特征——含有未知數(shù)的等式，進(jìn)而抽象出方程的模型。

二、借操作，悟本質(zhì)

操作是數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要組成部分，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。心理學(xué)家皮亞杰曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“兒童的思維是從動(dòng)作開(kāi)始的，切斷動(dòng)作和思維的聯(lián)系，思維就得不到發(fā)展。”由此可見(jiàn)動(dòng)手操作的重要性非同一般。學(xué)生在動(dòng)手操作天平的過(guò)程中變動(dòng)手操作為動(dòng)腦操作，并能用語(yǔ)言描述情境中的等量關(guān)系，從而更加深刻地領(lǐng)悟方程的本質(zhì)。落實(shí)到行動(dòng)上，學(xué)生先由具體數(shù)字的等量關(guān)系發(fā)展到用字母表示等量關(guān)系，再抽象出用符號(hào)表示等量關(guān)系，方程的本質(zhì)得以凸顯，即方程是在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來(lái)的等量關(guān)系。這是張奠宙先生給出的方程新定義。這個(gè)定義較之前的方程定義“含有未知數(shù)的等式叫作方程”更加能夠體現(xiàn)方程的本質(zhì)內(nèi)涵。通過(guò)等量關(guān)系，把未知與已知聯(lián)系起來(lái)，從而找到所要求的未知數(shù)，方程的核心價(jià)值得以顯現(xiàn)。

（責(zé)編 羅 艷）