解決高中生數學語言學習障礙的研究與對策

【摘要】本文針對高中生普遍存在數學語言學習障礙的現象，分析高中生數學語言學習障礙的主要表現和成因，提出做好初高中數學教學銜接，提升學生的數學抽象素養;創設學生熟悉的情境，讓感性認識上升到理性思維;積累數學語言學習經驗，提升學生的直觀想象、邏輯推理素養;培養學生用數學思維分析世界、用數學語言表達世界的能力，以及提升教師數學語言素質等問題解決策略。

【關鍵詞】高中生 數學語言 學習障礙 研究與策略

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）14-0115-05

數學語言是一種高度抽象的符號系統，其呈現形式非常豐富，有揭示概念本質屬性的文字語言，有指意簡明的符號語言，還有直觀形象的圖形語言。對學生而言，數學學習的過程，就是運用數學語言將數學知識、數學思維等內化為自身認知結構的過程。因此，要想學好數學，學生必須具備較好的數學語言運用能力。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱數學課標）將能否恰當運用數學語言及自然語言進行表達與交流，作為高中生評價的重要內容，可見學習數學語言的重要性。

一、高中生數學語言學習障礙的主要表現和成因

數學語言是數學知識的重要載體，具有簡練、嚴謹、精確等特點，是培養數學思維的有力工具。靈活運用各種形式的數學語言，有助于學生順利完成“機械認識→歸納認識→理性認識”的認知過程。然而，據筆者觀察發現，高中生普遍存在數學語言學習障礙，這不僅降低了學生的解題正確率，還影響了學生數學學科核心素養的發展。數學語言學習障礙，是指學習者在需要運用數學語言進行學習時，不能順利地進行數學語言的識別、理解、轉換、構造、組織和表達等活動的一種學習障礙。

（一）常見的數學語言學習障礙

在教學實踐中，筆者發現，高中生常出現的數學語言學習障礙有以下5種：一是數學語言識別障礙，主要是指學生無法從數學語言中識別相關知識的基本屬性及內涵等信息，這一障礙在數學基礎較差的學生中表現得較為明顯，突出表現為在解題時無法讀懂題意;二是數學語言理解障礙，主要體現在學生難以理解數學概念、命題、表達式及各種數學關系，有相當數量的學生對數學概念及其表現形式停留在機械記憶層面，無法深入理解概念的內涵和外延;三是數學語言轉換障礙，是指在不改變數學對象、數學意義或本質的前提下，改變其表征形式的一種轉換過程，突出表現為學生對數學對象進行不同表征形式的轉換時，不能準確進行等價轉換;四是數學語言構造障礙，其實質就是學生缺乏邏輯推理素養和數學抽象素養，突出表現為學生難以將數學對象形式化、符號化，或難以從現實情境中抽象出數學問題;五是數學語言組織和表達障礙，是指學生難以對數學語言信息進行分析、篩選、加工，突出表現為大部分學生不能發現數學語言中的隱含條件，無法分析數學語言之間的聯系，很難找出其中蘊含的數學關系式，不能闡述解決問題的思路，無法與他人進行有效交流。

（二）數學語言學習障礙的主要成因

1.數學學科的高度抽象性造成了數學語言理解障礙

數學是自然學科中最基礎的學科，主要是通過抽象的概念表達事物間的聯系。高中數學具有很強的抽象性，學習者需要從研究對象或問題中發現一類事物中與數量關系、空間形式有關的一般規律，并通過適當的數學語言將這種規律表示出來，形成一般模型，養成數學方法和數學思維。這就需要學生具備較高的形象化素養和運算能力，能夠準確將抽象符號形象化，這對很多學生來說是比較困難的。數學學科的高度抽象性是造成學生數學語言理解障礙的原因之一。

2.學生不良的學習習慣造成了數學語言學習障礙

英國著名數學家懷海特曾說：“如果我們不了解符號的含義，那么我們什么都不知道，對于一個符號，我們只是一知半解地使用它，則無法掌握和運用自如。”在日常教學觀察中，筆者發現，學生往往能準確記憶數學概念，可是在實際應用時卻往往不知從何處著手。究其原因，主要是因為學生只記住了概念的文字或符號表征，沒有理解概念背后的數學本質，而且通常習慣于通過大量練習掌握解題方法，對數學思想往往是一知半解，在進行文字、符號、圖形等三種數學語言的轉換時常常忽略關鍵信息，未能進行正確的等價轉換，就會出現錯漏頻出、顧此失彼的窘境。這種不良的學習習慣，是造成學生數學語言學習障礙的另一個原因，最終會阻礙學生數學學科核心素養的發展。

3.教師不重視學生數學語言轉換能力的培養

受應試教育觀念的影響，不少一線教師沒有樹立以發展學生數學學科核心素養為導向的教學意識，課堂教學依然以知識灌輸為主，特別是在數學概念的教學中往往存在重結果而輕過程、重視解題技巧而輕視概念形成的現象，不重視引導學生將各種數學語言進行有效轉換，致使學生不能深入理解數學概念的本質。如此教學數學概念，會導致學生對概念的理解一直處于表層狀態，無法深刻理解這些符號化概念的內涵和外延，長此以往就會影響學生數學語言轉換能力的培養，甚至影響數學學科核心素養的發展。另外，部分教師使用的教學語言不夠嚴謹、規范，有些教師在講解過程中則過于依賴書面語言，使數學概念的講解更加抽象、枯燥無味，這就會對培養學生的數學語言轉換能力產生消極作用。數學語言的轉換可以幫助學生在不改變其本質屬性的情況下，將抽象的數學定義和數學命題變為通俗易懂、直觀形象、易于接受的語言或圖象，這不僅能有效提高學生的學習興趣，樹立學好數學的信心，還能幫助學生快捷地從錯綜復雜的條件中提取有效信息，形成良好的認知結構、數學思想和數學思維。

二、破解高中生數學語言學習障礙的策略

（一）做好初高中數學教學銜接，提升學生的數學抽象素養

初中階段的數學知識比較具象，對學生的數學抽象素養要求不高;高中階段的數學知識則相對抽象，需要學生具備較高的數學抽象素養。數學抽象素養是指通過對數量關系與空間形式進行抽象，從而得到數學研究對象的素養，其內容主要包括從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念間的聯系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征。數學抽象素養是數學學科基本素養之一，是發展學生理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿于數學產生、發展、應用的全過程。數學課標要求發展學生的數學抽象素養，具體而言就是：學生通過高中數學課程的學習，能夠抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的學習經驗;養成在日常生活和實踐中進行一般性思考問題的習慣，能夠把握事物的本質，并運用數學抽象思維方式思考、解決問題。

培養學生的數學抽象素養，高中教師一方面應做好初高中數學教學的銜接，幫助學生完成從初中到高中數學學習的過渡;另一方面要遵循語言學習規律，培養學生對文字、符號、圖形等三種數學語言進行有效轉換的能力，提高學生從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構的能力，以及用數學語言表征抽象概念和知識的能力。發展學生的數學抽象素養，能夠進一步發展高中生的“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）、提高“四能”（發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力）。

以人教A版高中數學必修1中“集合”“常用邏輯用語”的教學為例，數學課標將集合與常用邏輯用語作為高中數學課程的預備知識，要求學生用集合的語言簡潔、準確地表述數學對象，實現從具體的初中數學知識向較為抽象的高中數學知識的過渡。集合是刻畫一類事物的語言和工具，描述其概念的數學語言簡潔、抽象，只有通過系統學習這些抽象的數學語言，才能提高學生抽象表達數學的能力，積累數學抽象的經驗。因此在教學中，教師可通過運用生活實例，創設使用數學語言的情境，讓學生運用集合語言進行表述，并不斷嘗試進行文字、符號、圖形等三種數學語言的相互轉換，從而提升學生的數學抽象素養。

而常用邏輯用語是數學語言的重要組成部分，是數學表達和交流的工具，是邏輯思維的基本語言。常用邏輯用語這部分內容對學生而言十分抽象，對邏輯推理、數學語言運用等能力要求較高，但通過邏輯用語的學習，能夠讓學生使用常用邏輯用語表達數學對象、進行數學推理，提高交流的嚴謹性與準確性。教師在教學中可從實際生活出發，運用生活案例讓學生直觀感知邏輯語言，通過現實情境或數學情境，對數學對象進行準確嚴謹的表述，提升學生的邏輯推理素養。

以下，筆者將通過兩道例題的講解，具體分析如何培養學生的數學抽象素養。

【例1】在a克糖水中含有b克糖（a[>]b[>]0），現再加入m克糖，則糖水變得更甜了，這一實際問題說明了數學上的一個不等關系式，這個不等關系式為? 。

“在糖水中加入糖則糖水變得更甜”是一個生活常識，說明這道例題與學生的實際生活密切相關，設計這道題的目的是讓學生從實際生活情境中抽象出數學問題，并用數學語言予以表征。然而，要從這樣一個大家都熟悉的情境中抽象出一個數學不等式，卻讓很多學生感到無從入手。造成這一現象的原因是學生欠缺數學抽象能力，難以完成文字語言與符號語言的轉換。針對這道例題，用學科知識解釋糖水變甜了這一現象，就是加糖后的糖水濃度大于原有的糖水濃度（糖水的濃度=[糖的質量糖水的質量]），于是將兩次糖水濃度的大小關系用不等式表示出來，即可得到不等關系式為[ba][<][b+ma+m]（a[>]b[>]0，m[>]0）。在解決這一問題過程中，教師除了引導學生將題中的各種數量關系轉換為現實生活中易于認識的事物，還列舉了在鹽水中加入更多鹽讓鹽水變咸等現實案例，引導學生抽象出一般的濃度變化的規律和概念，從而發展了學生的數學抽象素養。

【例2】從區間[0，1]隨機抽取2n個數x1，x2，…和xn和y1，y2，…，yn，構成n個數對（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中兩數平方和小于1的數對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率[π]的近似值為（? ）。

A.[4nm]? ?B.[2nm]? ?C.[4mn]? ?D.[2mn]

這是一道高考數學試題，其原型為人教A版高中數學必修3中圓周率的計算一課的例題3，通過比較分析可以看出兩道題的出題背景、解題思路基本相同，但是由于兩道題題干中的條件描述方式不同，結果就有很多學生不懂如何解決這道高考數學試題。究其原因，在于學生數學抽象能力弱，不能有效進行數學語言的等價轉換，無法把所學知識遷移到新的解題情境。因此在講解例題時，筆者注重引導學生充分挖掘教材、例題的知識背景，通過運用黃豆排列或有序數對的落點問題，創設生活情境引導學生開展隨機模擬實驗，發現和提煉圓周率的估算問題，強化學生的數學抽象素養、數學建模意識，讓學生能夠從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念和概念間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構。

通過以上兩道例題的講解可知，數學抽象過程也是數學建模過程，是通過對現實問題進行抽象概括，用數學語言表征和解決問題的過程。當教師通過現實情境引導學生從數學的視角提煉不同計算角度下的概率數量關系（等式）時，也就是在引導學生構建數學模型，積累用數學語言表征實際問題的經驗，提高學生的應用能力和創新意識，進而培養學生的數學抽象素養。

（二）創設學生熟悉的情境，讓感性認識上升到理性認識

符號語言因具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性等特性，而廣泛用于表征數學定義。正因為符號語言具有高度的抽象性，所以學生不易于理解和接受。因此，在教學中，教師應從學生的最近發展區出發，在引進一個新的數學符號時，首先通過展示有代表性的具體模型，讓學生進行觀察、分析和概括，形成感性認識，然后離開具體的模型結合定義對符號實質進行理性分析，形成理性思維，完成由特殊到一般、由具體到抽象的認識過程。

以函數的單調性教學為例。在初中階段，學生通過圖象觀察可以直觀地認識函數的單調性，函數的單調性的相關定義表征還比較通俗易懂。到了高中階段，學生需要在此基礎上進一步用符號語言來表征函數的單調性。因此，高中教師在講解函數的單調性概念時，可以從學生熟悉的函數圖象入手，讓學生觀察圖象的變與不變，認識“變化中的不變性就是性質，變化中的規律性也是性質”這一道理。在具體教學中，筆者通過創設問題情境，引導學生完成從感性認識上升到理性認識的認知過程。問題如下：①在初中階段已經學過一元一次函數、反比例函數、一元二次函數，請根據下頁圖1所示的函數圖象，分別述說x在哪個范圍變化時，y隨著x的增大而增大或者隨著x的減小而減小？②如何用數學符號語言準確刻畫二次函數y=（x-1）2-1在區間[1，+∞）上y隨著x的增大而增大？③在區間[0，+∞）內取x1，x2，當x1[<]x2時都有f（x1）[<]f（x2），能不能反映出函數圖象在區間[0，+∞）內一直呈上升趨勢呢？④要滿足怎樣的條件，才能保證函數圖象在給定的區間內圖象一直呈上升趨勢呢？⑤你能試著用符號語言給單調遞增函數下定義嗎？⑥我們能否說反比例函數y=[1x]（x≠0）是減函數？

通過以上6個問題，讓學生經歷由具體到抽象、由圖形語言和文字語言抽象出符號語言的認知過程，從而抽象出函數的單調性的概念，體會用符號語言表征數學定義的必要性，理解符號化定義在討論函數的單調性中的作用，從而促進學生數學抽象素養的發展。如在引導學生深入理解函數的單調性定義“當x1，x2∈（a，b）時，對任意x1[<]x2，都有f（x1）[<]f（x2），則函數y=f（x）在區間（a，b）上是單調遞增函數”時，其中“任意”兩字是學生理解的難點，因此筆者通過問題③、問題④，讓學生體會全稱量詞、存在量詞等邏輯用語的作用，然后不斷引導學生進行文字語言和符號語言間的等價轉換，培養學生從具體問題抽象出數量關系、尋找變化規律并用符號語言表達數學關系的良好習慣，真正理解符號語言的數學內涵和本質，發展學生的數學抽象素養。

（三）積累數學語言學習經驗，提升學生的直觀想象、邏輯推理素養

數學課標所提的“四基”，是在《普通高中數學課程標準（實驗版）》提出的“雙基”的基礎上，增加了“基本思想”“基本活動經驗”兩項內容，這一變化能促使數學學習中結果與過程、客觀與主觀、靜態與動態、外在與內化的有機融合，這無疑有助于學生破解數學語言學習障礙，發展數學學科核心素養。筆者認為，開展豐富的學習活動，能夠幫助學生積累數學語言學習經驗，提升學生的直觀想象、邏輯推理素養。

以誘導公式的教學為例，教師可引導學生利用單位圓的對稱性，探索三角函數在變化中的不變的性質，從而歸納出符號化的誘導公式。在單位圓中（如圖2所示），角[α]的終邊與單位圓的交點記為P（x，y），角-[α]的終邊與單位圓的交點記為P′，根據點P與P′關于x軸對稱得到P′點的坐標為P′（x，-y），然后由三角函數定義可知sin[α]=[yr]，sin（-[α]）=[yr]，發現角[α]與角-[α]的三角函數值間存在“sin（-[α]）=-sin[α]，同理可得到cos（-[α]）=cos[α]，tan（[-α]）=-tan[α]”的關系，由此學生探究得到了角-[α]的誘導公式。在此基礎上，教師引導學生運用研究角-[α]誘導公式的方法，自主探究得到了角[π+α]的誘導公式（如圖3所示）。通過這樣兩個推導實踐活動，一方面讓學生親身感受類比思維在數學學習中的重要性，另一方面讓學生積累了推導數學定義、公式的經驗，學會進行文字、符號、圖形等三種語言的相互轉換，完成了由數解形、由形助數的學習過程，提升了學生的直觀想象和邏輯推理素養。

（四）培養學生用數學思維分析世界、用數學語言表征世界的能力

數學課標明確指出如下兩個學習目標：一是通過高中數學課程的學習，學生能有意識地用數學語言表征現實世界，發現問題、提出問題，感悟數學與現實之間的聯系;二是學生學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗。

如人教A版高中數學必修2中有這樣一道習題：已知0[<]x[<]1，0[<]y[<]1，求證：[x2+y2]+[x2+（1-y）? 2+][（1-x） 2+y2]+[（1-x） 2+（1-y） 2][≥]2[2]。對這道題大部分學生都會心生畏懼，因為不等號左邊的式子很復雜，學生不知該如何化簡。解決這道題，如果從函數或純證明不等式的角度去理解，確實會感覺無從入手。此時，數學語言的轉換對解決這道習題就起了關鍵性作用。因此，筆者在講解過程中將符號語言轉換為圖形語言（如圖4所示）：設有4個點，P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），利用兩點間的距離公式可知[PO]=[x2+y2]，[PA]=[（1-x）? 2+y2]，[PB]=[（1-x） 2+（1-y） 2]，[PC]=[x2+（1-y） 2]，所以[PO] + [PB] [≥] [BO] =[2]，[PA] + [PC] [≥] [AC]? =[2]，所以[PO] + [PB] +[PA] + [PC] [≥] 2[2]（當且僅當點P為正方形ABCO的對角線AC與OB的交點時取等號）。

在這道題中，筆者引導學生用數形結合思想將復雜問題簡單化，讓學生能更好地用數學語言分析、理解世界。數形結合是高中數學的重要思想方法之一，其實質是把數量關系的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述有機結合起來，直觀展現出問題的條件與結論間的內在聯系，借助圖形將復雜的數量關系轉換為直觀的圖形關系，提高了學生的解題效率。由此可見，進行文字、圖形、符號三種數學語言間的等價轉換，是數學語言學習的重中之重。

數學是一門基礎學科，為學生學習物理學、力學、天文學、化學、生物學等自然科學提供了基礎。從本質上說，數學作為一門描述、研究數量關系和空間形式的學科，其作用不僅是通過學習完成學科知識的積累，更重要的是發展學生的邏輯思維能力、數學思想方法、創新精神、實踐能力和正確的價值觀。因此，在教學實踐過程中培養學生用數學思維分析世界、用數學語言表達世界的能力，不僅能培養學生的數學學科核心素養，更有利于促進學生的終身發展。

（五）提升教師的數學語言素質

數學語言是數學知識和數學思想的載體，是進行數學思維和數學交流的重要工具。高中數學教材中概念、公式、定理的呈現具有非常突出的抽象化、形式化特點，學生只有清楚理解每一個數學符號的內涵，才能準確理解和把握各種數學概念、公式。要完成這樣的教學，教師就要對相關概念、定理、公式的內涵和實質有深刻透徹的理解，并且能夠用準確、科學的數學語言向學生表述，因此教師必須具備較高的數學語言素質。教師要著力提升自身的數學語言駕馭能力，能夠用多種數學語言表征同一數學概念、數學現象、數學問題，從而不斷提高學生的理解能力、知識應用能力，破解學生的數學語言學習障礙。

總而言之，發展學生的數學語言轉換和應用能力，不僅能夠有效提高學生學習數學的效率，增強學生遷移應用知識的能力，還能夠促使學生構建起科學、完善的數學知識結構體系，深入理解數學概念，以更好地揭示和表征數學實質，促進學生數學學科核心素養的全面發展。

參考文獻

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作者簡介：李俊（1973— ），湖南郴州人，高級教師，主要研究方向為基礎教育數學教學。