需求不確定的故障共享單車回收PVRP研究

徐陽,周亞南,蘇兵,黎建強,張欣

摘要：為了及時有效地回收城市道路網絡中的故障共享單車，本文考慮單車停放站點上回收需求呈現的不確定特征，建立以行駛總距離最小為目標的回收周期性車輛路徑選擇模型。采用基約束魯棒優化方法，利用有界區間對不確定的回收量進行描述，并引入擾動系數和控制系數調節模型的魯棒性和適應性。針對模型設計近似算法進行求解，分析算法近似比的上下界，通過實例分析驗證了算法和模型的有效性。

關鍵詞：需求不確定；周期性車輛路徑；魯棒優化；近似算法

中圖分類號：C934文獻標識碼：A文章編號：2097-0145（2022）05-0073-08doi：10.11847/fj.41.5.73

Period Vehicle Routing Problem for Fault-sharing Bicycle

Recycling with Demand Uncertain

XU Yang1，2，3， ZHOU Ya-nan1，2，3， SU Bing1，2，3， LI Jian-qiang4， ZHANG Xin1，2，3

（1.School of Economics and Management， Xian Technological University， Xian 710021， China; 2.Soft Science Base for Ordnance Industry Innovation & Dvelopment in Shaanxi Province， Xian 710021， China; 3.Civil-Military Integration Science and Technology Innovation Research Center of Shaanxis Colleges and Universities， Xian 710021， China; 4.International Business School， Shaanxi Normal University， Xian 710119， China）

Abstract：In order to recover the fault-sharing bicycle in the urban road network timely and effectively， considering the uncertain characteristics of the recovery demand on the single vehicle parking spot， a recovery periodic vehicle route selection model aiming at minimizing the total distance is established. The basis constrained robust optimization method is adopted， the uncertain recovery is described by bounded interval， and the disturbance coefficient and control coefficient are introduced to adjust the robustness and adaptability of the model. The approximation algorithm is designed to solve the model， and the upper and lower bounds of the approximation ratio of the approximation algorithm are analyzed. An example analysis is given to verify the effectiveness of the algorithm and the model.

Key words：demand uncertain; period vehicle routing problem; robust optimization; approximate algorithm

1引言

共享單車作為城市交通的重要組成部分，是實現城市綠色、低碳出行的重要工具，其輕便快捷的優勢，是解決城市出行“最后一公里”問題的重要手段。但是共享單車在快速發展的同時，遇到了諸多問題：共享單車因自然損耗、人為損壞等原因會出現故障，需要進行回收處理。而實際中，故障共享單車存在的停放點和產生量往往是不確定的，對所有站點進行單次回收，常常難以滿足實際的回收需求。因此，如何根據共享單車這一特殊貨物的特性，考慮回收量不確定的情形下，設計科學、有效的周期性回收調度策略是一個亟待解決的問題。

故障共享單車的回收是共享單車運營過程中不可避免的問題。現有對共享單車系統的研究主要集中在共享車輛調度優化與站點需求預測方面。針對考慮庫存的車輛調度問題，以公共自行車調運庫存量最小為目標，Ines和Anabela［1］首次考慮了共享單車站點的服務水平來平衡庫存的共享單車車輛調度問題。Brinkmann等［2］研究了自行車共享系統的隨機庫存路徑問題。Schuijbroek等［3］根據每個公共自行車站點的服務水平，選擇車輛路徑進行調配。針對解決公共自行車需求不平衡問題，Ghosh等［4］提出基于車輛路徑選擇的公共自行車動態復位優化方法。Leonardo等［5］提出了根據空間和社會公平的原則對區域中的自由式共享單車系統進行調度的分配策略。針對公共自行車需求預測問題，Xu等［6］提出了一種基于隨機森林（RF）的改進預測方法，并利用遺傳算法對共享單車調度路線進行優化。Wang等［7］基于深度學習（DL）模型對自行車共享網絡短期需求預測進行研究。針對共享單車系統的站點需求預測同時對站點的數量及容量規劃安排問題，Chen等［8］基于自行車出行模式的稀疏性和局部性，提出了一個稀疏加權正則化模型分析站點的潛在需求。Dell等［9］運用啟發式算法研究了自行車共享再平衡問題。多數車輛調度研究仍使用傳統的數學優化方式，也有另辟蹊徑的研究者，試圖使用激勵機制來提高共享單車的使用率。如Tsai等［10］研究通過調節返回焦慮信息值提高共享單車調度的效果。

相對于共享單車的調度研究，故障共享單車的回收研究相對較少。現有對故障共享單車的研究大多假設回收需求量確定。Wang等［11］研究了可用自行車再平衡過程中損壞車輛的回收問題。以系統調度時間最短為目標，肖建華等［12］將故障單車信息的不確定性引入車輛調度中，研究了新車投放、舊車調撥、壞車回收的共享單車聯合調度問題。Kaspi等［13］提出了一種EUDF函數用來表示給定時間段內不同租用或還車的用戶數量的期望加權之和。

現有研究，大多是假設回收量確定情形下的單周期回收；而實際中，回收工作是一個長期且回收量動態變化的系統工程，但單周期的最優方案不能滿足全局最優。因此，引入“全周期管理”（product lifecycle management， PLM）理念，即把回收對象視為一個動態變化的個體，從其分布特點、系統要素等層面進行全周期統籌和全過程整合，以確保整個回收體系形成一個有機的閉環，真正做到運轉高效。

鑒于此，本文提出了回收需求不確定的故障共享單車回收周期車輛路徑（PVRP）問題。即考慮回收需求不確定下，根據站點上的故障共享單車回收量進行不同周期的回收服務。并以行駛總距離最小為目標，決策每個站點回收量和回收車輛路徑，給出可操作性強的故障共享單車回收方案，最終將研究成果應用于實際，為城市共享單車企業高效率回收故障共享單車提供理論依據。

2問題描述與建模

2.1問題描述與分析

已知無向網絡G=（V，E），V={v1，…，vi，…，vn}∪{v0}為點集，其中v0表示回收中心，{v1，…，vi，…，vn}表示網絡中有n個共享單車停放點，停放點vi上的故障共享單車回收量qi∈［i-i，i+i］，i為理想值或均值，i為絕對偏差。一輛容載量為Q的回收車輛空載從回收中心出發進行回收服務，對停放點vi進行hi=「qi/Q次回收，車輛滿載后回到回收中心。滿載的回收車輛在回收中心卸載后繼續進行回收任務，直到服務完所有站點的回收需求。因此，如何選擇回收車輛路徑，使得車輛滿載后返回回收中心的行駛總距離最小。

相關假設：

（1）故障共享單車停放站點已知。

（2）停放點的回收量的均值可通過歷史數據獲得。

（3）不考慮路段行駛時間對目標的影響。

相關參數定義如下：qdi表示節點vi處在第d回收階段的回收量；hi表示節點vi需要回收的次數；Q表示回收車輛的最大裝載量；cij表示回收車輛從vi到vj的行駛距離；W表示回收中心的容量限制。決策變量定義如下：

xdij：當回收車輛在第d回收階段從vi行駛到vj為1，否則為0。

ydi：當回收車輛在第d回收階段對vi進行服務為1，否則為0。

2.2故障共享單車回收PVRP模型建立

綜合考慮問題目標和所有的限制條件，建立如下模型

min Z=∑md=1∑ni=0∑nj=0cijxdij（1）

s.t.∑ni=1ydiqdiQ，d=1，2，…，m;i=1，2，…，n（2）

∑md=1ydi=hi，d=1，2，…，m;i=1，2，…，n（3）

∑ni=0xdij=ydi，i=0，1，…，n;i≠j;d=1，2，…，m（4）

∑nj=0xdij=ydi，j=0，1，…，n;i≠j;d=1，2，…，m（5）

∑nj=1xdj0=0，j=1，2，…，n（6）

∑ni=1qi-W0，i=1，2，…，n（7）

∑md=1∑ni=1∑nj=1xdij｜S｜-1，2｜S｜n-1（8）

（1）式為目標函數，表示行駛總距離最短；（2）式表示容量約束，保證任一回收階段內每條路徑上的回收量不超過車載容量；（3）式表示停放點被服務的次數等于其回收需求次數；（4）、（5）式表示任一回收階段內每個站點只服務一次；（6）式表示回收車輛從回收中心出發并返回回收中心；（7）式表示所有停放點的故障單車回收總數量不超過回收中心的容量限制；（8）式表示避免子回路。

3模型分析與求解

車輛路徑問題（VRP）是一個NP難問題［14］，精確求解較為困難。而PVRP是車輛路徑問題的拓展，相當于多個VRP問題的組合，因此求解更為困難。本文針對不確定的回收量的故障共享單車回收PVRP問題，首先引入魯棒優化的思想處理不確定的回收量，然后對構建的回收模型設計近似算法進行求解。

3.1求解思路

針對上述提出回收模型中，約束（2）和（7）含有不確定的回收需求參數qi，本節將qi用基約束魯棒方法進行處理。

3.1.1基約束魯棒方法的求解思路

基約束魯棒方法的基本思想是為了避免絕對的魯棒優化問題，即在所有的不確定參數中只有一部分參數的變化值達到上限，其余一部分不變或變化較小，在此情況下，求得滿足所有約束的解，其具體模型如下

max c′x

s.t.∑aijxj+max{Si′∪{ti}｜SiJi，｜Si｜=Γi」，ti∈Ji＼Si}{∑j∈Siijyj+

（Γi-Γi」）itiyt}bi，-0yjxjyj，

lxu，y0

3.1.2不確定需求的表示

停放點上的故障共享單車回收需求量qi的變化范圍滿足以i為中心，i為步長，即qi∈［i-i，i+i］，但停放點實際的回收需求量qi的值是未知的。其中i表示停放點回收需求量qi的名義值（即qi的平均值）；i表示停放點回收需求量的最大絕對偏離值，即最大擾動值，i=σi，i0（σ為需求擾動系數）。每個停放點的回收求量qi在上述區間內隨機取值。從取值的區間可以看出，停放點的回收需求量qi，都取值均值（或理想值）i或最小值i-i的可能性很小，實際情況中qi的取值在區間的任一位置都是有可能的。為了更好刻畫停放點回收需求取值情況，運用魯棒優化的思想引入需求控制系數Γi和需求偏離系數λi。

定義1停放點回收需求量qi偏離均值的偏離系數λi為

λi=qi-iσi，λi∈［-1，1］

定義2引入回收需求控制系數Γi，使得所有停放點的回收需求偏差系數之和不大于Γi。即

∑｜λi｜Γi，Γi0

Γi用來描述回收需求變化的情況，即需求發生變化的停放點的個數。當Γi=0時，所有停放點的回收需求量為名義需求值（均值），此時該問題轉為需求確定的回收問題；當Γi=n時表示所有停放點的回收需求量達到最大偏離值，此時該問題轉為絕對魯棒問題，魯棒性最強，但求解所得的解過于保守，解的最優性比較差。因此，當控制系數Γi越大時，停放點的回收需求的不確定性也越大。

第1步需求量的確定。

在停放點回收需求變化擾動系數σ下，為了使停放點回收需求波動后總的回收需求量最大（即魯棒性達到最大），將停放點平均需求量i從大到小排列1′，2′，…，n′，選擇前Γi個停放點需求進行擾動，計算擾動后所有停放點的回收需求之和達到的最大值q′sum，q′sum=∑i′+max{S∪{t}｜Sn，｜S｜=Γ」，t∈n＼S}{∑i+（Γi-Γi」）t}。若q′sumW，則確定前Γi個停放點的回收需求進行擾動，qi=i+iλi。

第2步需求波動后停放點回收次數的計算。

根據擾動后的停放點需求量與車輛最大容量的比值，求得各停放點的所需的回收次數hi=「（i+iλi）/Q。

第3步回收車輛路徑的求解。

（1）分多個階段對停放點上的故障共享單車進行回收。首先，以所有的停放點為回收對象V′={v1，…，vi，…，vn}，以回收中心v0為回收路徑的起點，車輛初始剩余裝載量s0=Q，選擇距離v0最短的一條邊e（v0，vi）加入到路徑當中。

（2）判斷vi的回收需求量是否大于車輛剩余裝載量，若大于則回收車輛滿載后找最短路e（vi，v0）回到回收中心，輸出回收路徑并更新vi的需求量qi=qi-s0；若小于，則回收vi的全部需求量，更新車輛剩余裝載量si=s0-qi，搜索距離vi最近的停放點加入到路徑當中，直到滿載后找最短路回到回收中心，輸出回收路徑重復上述操作，直到所有停放點都服務了一次y1i=1。

（3）在V′的基礎上更新停放點回收服務集合。判斷停放點vi被服務的次數是否與其回收次數（周期個數）相等，若相等∑ni=1ydi=hi，則將vi從V′刪除，更新停放點服務集合V′。

（4）重復上述步驟直到所有停放點被服務的次數等于其回收次數，∑ni=1ydi=hi。

3.2算法設計

根據以上思路設計算法GA*，如圖1所示。

第1步V′={v1，…，vi，…，vn}為初始停放點服務集合，cij為網絡邊的行駛距離，σ為需求擾動系數，Γi為需求發生波動的站點個數，λi為停放點回收需求偏離均值的權重系數，si為回收車輛服務完vi后的剩余車載容量。

第2步將停放點vi按需求均值i從大到小排列，記為1′，2′，…，n′。

第3步對前Γi個停放點i需求量進行擾動1′，2′，…，n′，計算擾動后的總需求最大值q′sum=max{S∪{t}｜Sn，｜S｜=Γ」，t∈n＼S}{∑i+（Γi-Γi」）t}。

第4步若q′sum

第5步計算停放點回收頻次hi=「（i+iλi）/Q。

第6步令回收車輛初始剩余裝載量s0=Q，計算v0到V′中各個停放點的距離coi，選擇距離最短的一條邊e（v0，vi）加入到路徑p11={e（v0，vi）}，從V′中刪除vi，令x10i=1，y1i=1。

第7步判斷vi的回收量與車輛剩余裝載量的大小，若qis0，則裝滿后回到回收中心，將e（vi，v0）加入到p11={e（v0，vi），e（vi，v0）}，更新停放點vi的需求量qi′=qi-s0，轉第9步；否則，更新si=Q-∑ni=1qi，尋找距離vi最近的停放點vj，將邊e（vi，vj）加入到路徑p11={e（v0，vi），e（vi，vj）}，vj從V′中刪除，令x1ij=1，y1j=1。

第8步判斷vj的回收量與車輛剩余裝載量的大小，若qjsi，則裝滿后回到回收中心，將e（vj，v0）加入到p11={e（v0，vi），e（vi，vj），e（vj，v0）}，更新停放點vj的需求量qj′=qj-so，轉第9步；否則轉第7步。

第9步生成回路集合p11，x1ij，y1i，標記回收路徑l11=1。

第10步重復步驟6～9，直到V′=，即V′中所有停放點都服務了一次，輸出第一回收階段的車輛路徑集合p11={p11，p12，…，p1u}。

第11步更新停放點服務集合。計算停放點被服務的次數∑d=1∑ni=1ydi，若∑md=1∑ni=1ydi=hi，則將停放點vi從V′={v1，…，vi，…，vn}中刪除，得到更新后的停放點服務集合V′。

第12步重復步驟6～11，直到所有停放點的服務次數∑md=1∑ni=1ydi=hi，輸出各回收階段的車輛路徑集合Pd，xdij，ydi，ldi。

3.3算法時間復雜度

第1～2步最大計算次數O（n2）；第3～4步計算次數不大于O（n）；第5步的計算次數為O（n）；第6～10步循環的計算次數不大于O（n）；第11～12步的循環計算次數小于O（n）；所以算法GA*可在O（n2）的時間內求出回收方案。由此得到如下定理。

定理1在回收中心容量限制下，故障共享單車回收PVRP問題算法GA*的時間復雜性為O（n2），其中n為共享單車停放點的數量。

3.4算法GA*的近似比

OPT（I）表示實例I的最優解，A（I）表示應用算法GA*對實例I的解。首先分析最優解并給出以下引理。

引理1對于任一實例I，站點上的故障共享單車回收PVRP問題的最優解OPT（I）下界為（β+1）∑ni=1「qi/Qb*。

證明在無向完全網絡中，車輛服務完所有站點的回收需求后所行駛的路徑數量不少于回收量之和與車輛最大裝載量的比值，即所有回收階段使用的車輛總數l′=∑ni=1qi/Q，服務所有停放站點的次數為∑ni=1hi，則回收車輛服務完所有站點的需求至少要行駛的邊的數量為l′+∑ni=1hi，每條邊的行駛距離不小于min{cij}，具體證明如下

OPT（I）（l′+∑ni=1hi）min{cij}

=（∑ni=1qi/Q+∑ni=1「qi/Q）b*

=（β+1）∑ni=1「qi/Qb*

其中β=（∑ni=1qi/Q）/∑ni=1「qi/Q，0<β1;b*=min{cij}表示回收車輛行駛的最短路段的距離。應用算法GA*對任一實例I進行求解，算法GA*得到的解為

A（I）=∑md=1∑ni=0∑nj=0cijxdij

=∑d=1∑e（vi，vj）∈Pdicijxdij

（∑md=1∑li=1ldi+∑ni=1hi）max{cij}

=（∑md=1∑li=1ldi+∑ni=1「qi/Q）a*

其中a*=max{cij}表示回收車輛行駛的最長路段的距離。根據以上分析，給出如下定理。

定理2故障共享單車回收PVRP問題算法GA*的近似比為λβ+1（1+∑md=1∑li=1ldi∑ni=1「qi/Q）。

α=A（I）OPT（I）

=（∑md=1∑li=1ldi+∑ni=1「qi/Q）a*（β+1）∑ni=1「qi/Qb*

=λβ+1（1+∑md=1∑li=1ldi∑ni=1「qi/Q）

其中λ是a*=max{cij}與b*=min{cij}的比值。分析可知，算法GA*的近似比α與回收車輛行駛路段的最長邊與最短邊的比值λ呈正比，與回收量之和∑qi呈反比；當站點間分布相對均勻，且站點的回收量與整車容量差異越小，即β越大時，算法近似比越小。

結合定理2進一步討論近似比的變化范圍并給出以下幾個推論。

當∑md=1∑li=1ldi=∑max{hi}時，即服務回收需求次數最大的站點時途經的剩余站點也剛好一起服務完，并且每輛車剛好滿載；當且僅當最大需求次數的站點為1時，此時α的值最小。因此分析算法GA*的近似比，得到推論1如下。

推論1故障共享單車回收PVRP問題算法GA*的近似比下界為λβ+1（1+1n）。

α=λβ+1（1+∑md=1∑li=1ldi∑ni=1「qi/Q）

λβ+1（1+∑max{hi}∑ni=1「qi/Q）

λβ+1（1+max{hi}nmax{hi}）

=λβ+1（1+1n）

當∑md=1∑li=1ldi=∑ni=1「qi/Q時，即空載回收車輛每次服務任一站點后都會滿載，并返回回收中心。此時算法GA*的近似比值α最大。因此分析算法GA*的近似比，得到推論2如下。

推論2故障共享單車回收PVRP問題算法GA*的近似比上界為2λβ+1。

α=λβ+1（1+∑md=1∑li=1ldi∑ni=1「qi/Q）2λβ+1

3.5算例分析

為了驗證算法的運行效果，對算法進行仿真模擬。取λ∈［1，4］，β∈（0，1］，以及回收站點的個數取n=20。使用軟件Matlab R2016a，運行環境Intel（R）Core（TM）i7-8550U CPU/ 2.00 GHz。

通過算法近似比上下界的運行結果，進一步分析影響算法運行效果的關鍵因素，及其影響程度的大小。如圖2和圖3所示。

從圖2和圖3可以看出，算法近似比下界最大在3.8左右，上界最大值在8左右（理想最優值α=1），說明算法整體運行的效果較好。隨著λ的增大，算法近似比的增幅呈擴大趨勢，而β的影響較小。因此，可以得出站點間位置分布的均衡性，對算法運行的效果有重要影響。

4實例分析

西安雁塔區分布著眾多高校以及歷史人文景點，客流量較大，共享單車使用頻繁。本實例選取西安市雁塔區的故障共享單車進行分析。實際回收過程中，共享單車停放站點上的故障單車的回收需求量難以獲得準確的數值，由于人為損壞或單車GPS定位失靈以及其他不可抗拒的自然損耗，往往回收數量與共享單車運營后臺收到的報修數量有差異。本實例中采用2018年8月某時段，站點的平均回收量作為名義需求量，取最大擾動系數σ=0.3時站點需求變化區間如表1所示。

當回收需求量擾動系數（需求量變化程度）和控制系數（需求量發生變化的停放站點個數）為固定值時，此時該不確定問題轉化為需求已知的問題。為了驗證模型的有效性，以Γi=0為例，即回收需求量取均值的情況下，應用算法GA*對實例進行求解。

首先根據各站點的需求量計算各站點的回收次數hi=「i/Q，如表2所示。

運用算法GA*對該實例進行求解。求解得到11條回收路徑，需要分兩個階段進行回收，回收車輛的行駛總距離為29.6 km，算法的近似比為3.38，說明了該算法實際使用效果較好，求解的回收車輛路徑、回收量以及行駛距離如表3所示。

為了更好地驗證模型和算法的魯棒性（穩健性），引入需求擾動系數σ和控制系數Γi，分析當需求發生變時對目標函數值和競爭比的影響。擾動系數σ越大表示需求量取值越大，偏離需求均值的程度越大；控制系數Γi越大表示需求量發生變化的停放點數量越多。本節需求量擾動系數取σ=0.1，0.2，0.3（即需求量變化程度），需求控制系數取Γi=5，10，15（即需求量發生變化的停放站點個數），運用算法GA*求解結果如下。

從表4可以看出，當共享單車停放站點上的故障共享單車回收量變化程度σ給定后，隨著控制系數Γi的增大，最短行駛總距離呈現整體上漲趨勢；在Γi一定時，即發生需求變化的停放站點數量一定，隨著擾動系數σ的增大，最短行駛總距離也逐漸增大，當Γi=10時，最短行駛總距離目標函數值變化不明顯，說明該實例中算法具有較強的魯棒性（穩健性）；且相對于擾動系數σ，控制系數Γi對目標函數值的影響更大，即需求發生變化的站點數量比站點回收量變化程度對回收車輛行駛總距離的影響更大。

從表5可以看出，算法的近似比與控制系數Γi呈正比，但與需求擾動系數σ無明顯比例關系；總體看算法近似比基本穩定在3.5與4之間；而通過近似比的分析可以得到該實例的近似比上下界為6.84和1.8；實例分析過程中算法的近似比α靠近下界，說明該算法實際使用效果較好。

5結論與啟示

本文考慮需求不確定的停放站點上故障共享單車回收PVRP問題。以行駛總距離最小為目標，構建故障共享單車回收PVRP模型。并針對模型中不確定的回收需求量采用魯棒優化的方法，來刻畫回收需求變化情形，并設計近似算法對模型進行求解，進一步分析該算法的近似比和近似比的上下界。最后進行實例分析，結果表明：回收量的波動程度和需求變化的站點數量，都對目標函數值有重要影響，且需求變化的站點數量影響更大。

因此，在實際回收過程中，共享單車企業在設置回收站點時，應當注重站點的位置分布的均勻性，站點數量的上限控制，以及站點容量的整車化，能有效地應對回收需求的不確定性。另外，共享單車回收卡車還會執行共享單車投放任務，面對乘客出行需求呈現的早晚高峰的時間差異，如何錯峰回收和需求轉移等問題將有待深入研究。

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