探究高中函數概念深度學習內涵及教學策略

姚亞南

摘 要：在新課程改革如火如荼推進的今天，教師的教育理念也正在進行著革新，越來越關注數學知識的深度學習。函數是高中數學最重要的主線之一。以深度學習理論為指導，總結深度學習內涵，分析學生學習現狀，以“函數的概念”一課時為例，進行深度學習的教學設計，并形成函數概念深度學習的教學策略。

關鍵詞：函數概念;深度學習;教學策略

2014年新高考改革啟動以來，各省份積極響應，改革穩步進行，同時，數學新教材也投入使用，這一變革使得一線教師的教育理念也隨之發生變化。長期以來的應試教育體制使數學教育中的教與學過分注重解題的技巧和方法，忽視了數學的基本概念，導致學生對數學概念的學習往往流于表面，無法掌握其內在含義。隨著新教材的改革，這種形式已經不能適應時代的發展，對一些新的出題方式、新高考改革中的新題型無從下手，因此需要將深度學習理論融入課堂。數學深度學習理論是深度學習理論與數學學科特點相結合的成果，能夠讓學生對數學概念的學習由淺入深，以表層的數學知識符號為媒介實現對數學概念本質的理解與掌握。

德國數學家克萊因提出：函數概念應該成為數學教育的靈魂。以函數概念為中心，將全部數學教材集中在它周圍，充分地綜合。函數作為貫穿整個高中數學課程的主線，在數學概念教學中有著重要的地位，因此，如何促進高中函數概念的深度學習，成為新時代背景下應該探究的問題。筆者結合高中一線教學經驗，通過總結現階段學生學習的現狀，并針對這些問題，以人教版新教材第一冊第三章第一課時“函數的概念”為例，淺談促進高中函數概念深度學習的幾點教學建議。

一、學生學習現狀分析

筆者在工作期間對某實驗中學的高一學生進行觀察，同時向多名教師請教，并結合以往的教學經驗，發現學生在學習函數概念這一部分知識時主要存在以下兩方面的問題。

（一）先入為主，接受新知困難

首先，由于初中函數的概念是“變量說”，即直接針對兩個變量x、y的一種對應關系，較為直觀和具象，學生對此種概念已經較為熟悉，應用起來也得心應手，受先入為主思想的限制，對高中“對應說”這一函數概念引入的必要性認識不足，對函數概念“對應說”定義接受起來存在困難。

其次，對“為什么要重新定義函數概念”心存疑惑。學生在預習知識的時候會產生疑慮：我們在初中已經學習過函數的概念了，為什么又要重新學習？并對新的概念產生疑惑，認為沒有重新學習的必要。

最后，受畏難情緒的影響，認為函數部分的知識復雜難學，對函數的學習有或多或少的恐懼，對新的概念有排斥心理。

（二）抽象思維尚未形成，歸納總結困難

高中函數概念較為抽象，需要學生有一定的數學抽象能力。在學習時，需要學生通過具體的實例抽象和歸納得出函數概念，這要求學生通過自己的努力進行探索，對能力要求較高。高一剛入學的學生，抽象思維尚未形成，他們在嘗試通過“觀察、分析、比較、歸納、概括”得出概念時，其中任何一個環節出現問題都可能得不到函數的概念。另外，初中生對函數的理解僅停留在一些具體函數的層面上，更準確地說是局限于對函數具體解析式的理解，重計算、重例題，對抽象的函數符號理解有一定的困難。

二、“函數的概念”深度學習教學設計

（一）巧設情境——復雜問題生活化

讓學生在具體的生活情境中形成數學深度學習的理念，感悟數學本質。例如，在函數概念第一課時教學時，可以利用學生已經具備的函數知識創設問題情境，以舊引新，將復雜的函數問題以生活中的具體實例進行呈現，激發學生的求知欲，以學生為主體，調動其學習積極性，再輔以教師的引領和啟發，帶領學生討論交流，實現知識的內化、形成與遷移，從而在這個基礎上說明初中函數概念的局限性和學習新定義的必要性。如在教學時，可以以教材為基礎，同時滲透深度學習理論，設置以下幾個問題情境引入函數概念。

問題情境一：復習回顧舊知，深度參與課堂情境

教師：同學們知道函數嗎？你們都學習過哪些函數？

學生1：我學習過一次函數、二次函數。

學生2：我還學習過反比例函數。

教師：很好。那么，誰能說出函數的概念呢？

學生3：對于兩個變量x、y，每一個x都有y與之對應。

學生4：應該加上“唯一”，即每一個x都有唯一確定的y與之對應。

教師：兩位同學的說法都有不嚴謹的地方。在初中，函數的定義是指，一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。

設計意圖：通過對初中舊知的復習喚醒函數記憶，可以讓學生產生熟悉感，從而將自己代入課堂情境之中，深度參與課堂的各個環節，為下一步深入學習做鋪墊。

問題情境二：創設生活實例，深度感悟函數概念

教師：今早老師開車上班的時候，在前10分鐘是以60km/h勻速行駛的，那么在這段時間內，老師行駛的路程s（單位：km）和時間t（單位：h）的關系可以用函數來表示嗎？

學生5：可以，s=60t.

教師：那有的同學就問了，根據對應關系，如果行駛1小時，就前進了60km，大家認為這種說法對嗎？對剛才的定義，有沒有同學可以補充？

學生6：我認為在時間上應該進行限制，因為只說了前10分鐘是以60km/h勻速行駛的。

教師：沒錯，我們無法判定10分鐘后的行駛情況，也就是說單單通過函數解析式描述函數是不準確的，還要注意到自變量t的范圍。請同學們討論研究，用更精確的語言描述剛剛的問題。

設計意圖：此問題是將教材中“復興號”高速列車問題替換為更貼近生活的具體實例，將復雜的問題生活化，從而使學生更有代入感。同時，經過教師一系列的引導和學生的討論交流，學生發現單靠初中學習的知識已經不能精確刻畫函數，從而形成了認知沖突，激發了進一步學習的興趣。此時教師進一步引導學生用更精確的集合語言來刻畫函數中變量的范圍，讓學生意識到變量范圍對函數的重要性，層層深入，為下一步利用集合語言刻畫函數奠定基礎。

問題情境三：巧升問題難度，深度體會函數要素

教師：大學期間，老師曾勤工儉學，在一家便利店工作，每周至少工作1天，至多不超過5天，工資一周一結，工資標準統一是每人每天60元，那么老師的工資ω（單位：元）是我工作天數d的函數嗎？

學生7：是，ω=60d.其中，d∈{1，2，3，4，5}。

教師：那ω的范圍是固定的嗎？請大家一起給出。

學生：ω∈{60，120，180，240，300}。

教師：看來同學們已經學會用集合的語言來刻畫函數了，我們發現對于工作天數d對應集合中的任一個天數，按照對應函數式，在ω對應的集合中都有唯一確定的一個工資與它對應。

教師：請同學們觀察前兩個問題的函數解析式，它們是相同的對應關系，你覺得它們是同一個函數嗎？為什么？是什么影響了它？

設計意圖：同樣將教材中的工廠問題近似替換，在上一個問題的基礎上進行升級，將函數模型替換成離散型函數，讓學生進一步感受影響函數的幾個要素，為函數的三要素進行鋪墊，為下一步區別是否為同一函數的問題奠定基礎。

問題情境四：引入函數圖象，深度探索函數表示

教師：下圖是空氣質量指數變化圖，如何根據該圖確定這一天內任意時刻t（單位：h）的空氣質量指數的值I？你認為這里的I是t的函數嗎？

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學生8：可以從圖象上獲得I的值，I是t的函數。

教師：非常正確，那么同學們能用集合的語言描述一下兩個變量的范圍嗎？

學生9：t滿足集合{t|0≤t≤24}，I滿足集合{I|0

教師：我們可以看到，對于t滿足集合的任意一個時刻，按照圖中曲線的對應關系，在I滿足的集合中都有唯一確定的一個值與之對應，因此I是t的函數。

設計意圖：通過教材中的實例，將函數的表示用圖象來呈現，引導學生明確不是所有的函數都有準確的函數解析式，函數的對應關系同樣可以用圖象來表示。通過一步步的引領，讓學生在學習過程中深度探索函數的表示方法，感悟抽象符號在函數概念中的重要性。

問題情境五：進階函數表示，深度總結表示方法

教師：以下表格是恩格爾系數的變化情況，你認為恩格爾系數r是年份y的函數嗎？

學生10：恩格爾系數r是年份y的函數。

教師：那么請同學們按照前幾個問題那樣，用集合的語言刻畫這個函數。

設計意圖：此處引入了另一種函數的表示方法，引導學生明確表示函數不僅可以用解析式、圖象，還可以利用表格來呈現。教師進一步引導學生總結上述所有問題的表示方法，讓所有學生都參與到課堂環節中。

（二）總結特征——抽象概念具體化

在上述幾個問題情境的創設中，學生已經初步掌握了刻畫函數的幾個要素，此時需要乘勝追擊，引領學生共同總結函數特征，使抽象的函數概念走向具體化。針對這一部分設計如下幾個問題。

問題1：總結共同特征，深度形成函數概念

教師：請同學們進行小組討論，總結上述四個問題所表示函數的共同特征。

學生11：它們的變量范圍都是兩個非空數集。

學生12：它們都有一個對應關系。

學生13：對于其中一個集合中的任意一個數，在另一個集合中都有唯一確定的值與之對應。

教師：同學們說的都很好。為了更直觀地表示，我們將兩個非空數集用A、B來表示，將對應關系引進符號f來表示。同學們能進一步給出函數的概念嗎？

設計意圖：教師進一步整理特征，引導學生用集合的語言來概括函數的一般概念。由學生自己來總結概括出函數概念，教師對細節加以修正，而不是直接給出，更有利于學生感悟概念的形成過程，從過程中體會數學概念形成所要經歷的階段，從而深入理解概念，進行深度學習。

問題2：自主創設情境，深度理解函數概念

教師：函數的解析式是舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它反映的是兩個變量的對應關系，可以廣泛地應用于刻畫一類事物中的變量關系和規律。試創設一個問題情境，使其中的變量關系可以用解析式y=x（10-x）來表示。

學生14：可以用來表示周長為20的長方形的面積。

教師：是否還缺少函數的要素呢？

學生15：長方形的一邊長是x，面積為y，即y=x（10-x），其中x的取值范圍是A={x|0

教師：是否還可以表示其他的情境呢？請同學們下課進行思考，并以小組的方式進行呈現。

設計意圖：理解函數本質是一種數學模型，讓學生自主通過函數解析式來創設情境，培養其逆向思維，學生既要學會從具體的生活事例中抽象出數學模型，又要能夠將數學模型還原到具體的情境中，這樣不僅能夠培養其數學抽象的核心素養，而且可以深度學習函數概念，形成數學建模的能力。

三、函數概念深度學習教學策略

（一）關注概念的形成過程，在具體情境中形成深度學習理念

深度學習不僅是一種學習方式，更是一種學習過程。它更強調學生對知識的形成與遷移，因此在教學中應當注意引領學生關注函數概念的形成過程，并且有意識地將他們引入具體情境當中，層層遞進，引發具體思索，在情境中感悟，激發學習興趣。在教學時利用好新舊知識間的聯系，學生在初中階段已經掌握了函數的概念，那么在介紹高中函數概念之前，讓學生進行回憶，再通過引導讓學生發現舊知識已經無法解決情境中的問題，引發學生的認知沖突，可以大大激發學生的好奇心，引發自主探索，由此才能讓學生認識到學習新概念的必要性，改變對原有概念的認識，對新概念的理解更深入。

（二）引入生活化場景，在實際運用中激發深度學習興趣

函數概念放在課本上非常抽象，但是拿到具體生活中則活靈活現。在之前的教學中，總有學生對為什么學習數學產生疑問，認為它對自己的生活毫無幫助，從而失去了學習興趣。其實，數學知識最能運用到生活實踐當中，教師要善于發現，并利用生活化的場景抽象出數學問題，在實際運用中提升學生的學習興趣，而非讓學生認為學習概念只是單純地為了解數學題，在生活中無用。不僅如此，將函數概念問題生活化可以將復雜的、抽象的函數更為直觀地表示出來，例如，在講解指數函數時，可以利用其“爆炸性”增長的特質，引入生活中的指數函數模型，如經典的國王與阿基米德下棋的故事，可以更直觀地讓學生感受指數函數，從而進行深度學習。

（三）自主探究式學習，在合作探討中形成深度學習能力

所謂的深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程。在這一過程中，學生的團結協作能力顯得尤為重要，一個人的想法具有局限性，而通過合作探究就可以把視角打開，集思廣益，可以大大提升學習效率，不僅有利于培養數學核心素養，更有助于形成深度學習的能力。

參考文獻：

[1]何玲，黎加厚.促進學生深度學習[J].現代教學，2005（5）：29-30.

[2]鐘一鳴.基于數學核心素養的深度學習策略研究：以函數的概念為例[J].豫章師范學院學報，2020，35（1）：65-69.