高職院校中高等數學競賽的指導

[摘? ? ? ? ? ?要]? 針對高職學生的高等數學競賽可以激發學生的學習積極性，提高學生的學習興趣。為了在有限時間內提高學生的學習效率，需要對數學競賽解題的一般規律進行總結。以極限為例，對歷年試題中的極限相關試題進行總結，歸納出一般性的結論，讓學生在有限的時間內得到最大限度的提高，對高職院校高等數學競賽的輔導者和參賽者有一定的借鑒意義。

[關? ? 鍵? ?詞]? 高職院校;高等數學;競賽;極限

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2022）30-0109-03

一、引言

高等數學作為一門重要的公共基礎課，能夠指導學生正確認識客觀規律，解決實際問題，對培育學生的科學精神、創新精神，提高學生的邏輯思維能力有重要的意義[1]。現代意義上的數學競賽起源于匈牙利，是一種發現數學人才的形式，但是針對高職院校學生的數學競賽更側重于促進高等數學教學和學習。近幾年，我校每年報名參加江蘇省高等數學競賽的人數逐年上升，報名人數從最初的個位數到現在的200人以上。經過問卷調查，報名參賽的學生超過50%是剛入學的一年級新生，具有良好的高中數學基礎，參加高等數學競賽熱情較高，但是缺少有效的指導。

為了提高參加競賽學生的學習效率，教師會利用學生有限的課余時間對學生進行輔導。為了增強競賽輔導的針對性，需要教師對江蘇省歷年競賽試題進行研究，把握試題的類型、解題技巧及難度層次，讓學生在有限的時間內得到高效提升。因此本文以極限為例，對歷年競賽試題進行整理歸納，總結出一般性的方法，希望對高等數學競賽的輔導者和參賽者有一定的借鑒意義。

二、歷年極限試題的分類探討

極限是微積分的核心思想，掌握常用的求極限方法是學好微積分的關鍵。分析歷年高等數學競賽試題可知，常用求極限的方法有：數列極限的夾逼準則法、去零因子法、等價無窮小替換法、L′Hospital法則、導數定義法、泰勒公式等。下面以歷年的競賽試題為例對常用的求極限方法及極限方法的相關應用進行說明。

（一）數列極限的夾逼準則

數列極限的夾逼準則法是求解數列極限的一種重要方法，其核心思想是放縮，將無法求出表達式的數列求和轉化為可求和的數列，進而求出數列極限，充分體現了數學的技巧性和實用性，是近幾年考查的熱點，首先給出數列極限夾逼準則的定義：

（二）無窮小的比較

小結：此類習題，要求參賽者對同階無窮小、低階無窮小、高階無窮小、等價無窮小的概念能熟練運用，在一些極限中函數的形式較為復雜，此時運用等價無窮小替換可使問題簡單化，但在求極限的過程中需注意只有整個式子中的乘除因子才可用等價無窮小替換，當被代換的量作為加減的元素時就不可以使用，或者被代換的量在取極限的時候極限值不為0時候也不能用等價無窮小替換。

（三）L′Hospital法則求極限

L′Hospital法則求函數極限方法一直倍受歡迎，此方法使用起來較方便，可以解決大多數極限問題，常與等價無窮小替換法結合起來考查，以下給出L′Hospital法則的定義：

（四）綜合分析

高等數學競賽重點考查的是學生對知識理解的深入程度和對知識歸納運用的程度，輔導者在加強對學生基本知識和基本概念訓練的同時，更要注重培養學生的綜合素質，可通過一些綜合性的習題培養學生運用基本知識解決問題的能力，例如極限中也常出現涉及知識點較多的習題。

小結：有些試題參賽者覺得無從下筆，通過例7和例8分析可見，每一道看似復雜的難題只是不再單一考查一個知識點，此時需要參賽者對知識點拿捏得很準，不同的問題根據條件和形式一環扣一環地分析，邊做邊寫邊判斷，數學的學習需要在練習中才能得到較快的提升。

（五）極限的相關應用

以上極限的求法也經常運用于判斷函數的連續性及函數間斷點的類型，這里給出連續函數及間斷點的定義[2]：

小結：連續與間斷是極限的延伸，近幾年考查主要是以間斷點類型的判斷為主，要求參賽者對幾種間斷點的概念進行區別與理解，且在判斷的過程中要對幾種求極限的方法都加以掌握。

三、結語

通過以上五種問題的探索分析，針對不同的極限題選取恰當的方法，但是每種方法不能孤立開來看，需要參賽者對知識點能融會貫通。極限的問題雖在試卷中位于基礎題部分，但存在很多技巧，在以上幾種題型的探究過程中也發現歷年真題有很多相似之處，大同小異。所以，參賽者在備賽過程中要學會抓住真題，多揣摩，多加練習與總結，才可以靈活地應對競賽中的極限題[4]，輔導者在指導的過程中要加強學生基本知識和基本技巧的訓練，使學生通過參加數學競賽對高等數學的學習邁入一個新的臺階[5]。

參考文獻：

[1]張耘.淺析高職高專數學競賽對學生創新能力的培養[J].教育與職業，2013（20）：175-176.

[2]張瑜.高等數學競賽教程[M].蘇州：蘇州大學出版社，2009.

[3]華東師范大學數學科學學院.數學分析（上冊）[M].5版.北京：高等教育出版社，2019.

[4]王罡.高職院校參加高等數學競賽的相關策劃[J].高教學刊，2016（22）：236-237.

[5]付向南.高等數學競賽試題分析[J].山東工業技術，2017（18）：264.

作者簡介：梅玲玲（1991—），女，漢族，江蘇如東人，碩士研究生，助教，研究方向：高等數學教學和調和分析。