從知識的生長點與延伸點淺談簡約教學

鐘泳詩

【摘 要】大道至簡，簡約的教學才能充分提高學生的自我效能感，才能幫助學生更好地建立學科自信。簡約教學的實施本質在于對知識的生長點與延伸點的探索。“知識從哪里來”和“知識將延伸到哪里去”是我們需要思考的問題。弄清楚“怎么承接”“怎么延伸”這兩個問題，再配合有效的課堂開展方式與追問引導技巧，“簡約”的教學目的就達到了。

【關鍵詞】簡約教學 生長點 延伸點

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。一方面了解數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義，了解課程內容和教學內容的安排意圖;另一方面強化對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構。這就要求教師注重研究知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性。當學生不是在學習一個單一的知識點，而是在建構一座數學的知識大廈時，學生就不需要靠記憶去完成每節課的學習，而是可以更開放、發散地開展數學探索，從而減輕學習壓力。教師思考“知識的生長點”，根據學生知識的最近發展區設計課堂的導入方式，能幫助學生更簡單、直接地進入新知的探索中，達到簡約探索新知的目的;教師思考“知識的延伸點”，根據新知的內涵與外延，設計變式題或追問的“問題串”，可以幫助學生更快捷、根本地解決知識“是什么” “為什么” “怎么用”的三大問題，達到簡約獲取新知的目的。

一、挖掘最近發展區，簡化知識生長過程

我們必須了解學生的最近發展區，只有了解了學生的最近發展區，我們的導入才是直接的、簡單的。我們要給學生做好知識的承接工作，就要思考要接什么：一是接學生原有的學習狀態、學習基礎與學習習慣;二是接學生的真實生活與經驗;三是接新舊知識與方法，架設新舊知識、新舊方法之間的橋梁。

（一）舊知“接”新知

當新知的生長點是舊知的時候，我們要追溯學生已有的認知結構，幫助學生建立新舊知識之間的聯系，體現知識的一致性與整體性。例如，在學習加減計算時，如果脫離新舊知識聯系，單純講授整數、小數、分數加減法的算法，那對學生來說，三套算法就是三倍的學習壓力。但是，只要厘清知識的生長點與延伸點，就能發現：小數和分數的加減法算理與整數的一致，都源于“加減計算時要統一計算單位”，結果都是為了“用統一的單位描述和差關系”。如此，學生在學習小數和分數加減法的時候就會豁然開朗，尤其在分數加減法中，學生就能明白分數加減法算理與整數是同源的，通分只是讓不同單位的分數統一單位的方法和手段，加減法計算的前提還是要統一計算單位。

對于從舊知過渡形成的新知，教師可以如何幫助學生做好知識的承接工作呢？教師需要利用類比、轉化等數學思想方法，幫助學生厘清新舊知識間的聯系，幫助學生找到最簡約、最直指根本的探索路徑，從舊知中遷移，獲得新知。例如：在教學“小數的初步認識（一）”時，教師要厘清在有分數的基礎上，為什么還要學習小數？小數和分數的聯系又是什么？它們的聯系是小數是分母為10、100、1000……的特殊分數，小數是滿足十進制的特殊分數。明白這個聯系后，就能發現小數的意義的生長點：分母是10、100、1000……的特殊分數意義，則分數的意義是小數意義的最近發展區。為此，我們做了以下學習前的知識準備：

三幅線段圖中分數的分母從普通分母到分母是10的特殊分母過渡，為學生后面理解小數是分母為10、100、1000……的特殊分數做鋪墊。這個導入，是為了讓學生通過回顧分數的意義，觀察分數中分母的區別，為下文繼續延伸小數的意義、小數與分數之間的關系提供了一條可觸碰、可猜想的便捷且指向學習目標的路徑。

在以上的例子中，知識的生長點是“舊知”。教師根據學生認知的最近發展區順勢設計符合學生認知規律的導入方式，從舊知到新知，讓學生體會知識的整體性與一致性，體會類比與轉化等數學思想方法。簡單、根本、開放的承接方式，讓所有學生都“有話可說”，提高了學生的自我效能感。

（二）生活“接”新知

當新知的生長點是生活規律的時候，我們要挖掘生活現象，幫助學生發現、總結生活規律，體會數學源于生活又應用于生活的學科特點。例如，在理解“兩點之間線段最短”這一公理時，如果脫離生活實際，單純構造模型進行講授，學生就比較難理解。但是，先挖掘這一公理的生長點——生活中的“最短路線”問題，再抽象、總結這一生活規律，學生便能更好地理解這一公理。

對于從生活中來的新知，教師如何幫助學生做好知識的承接工作呢？我們需要利用分類、抽象、歸納的數學思想方法把生活實例根據特征進行歸納，幫助學生體會新知和生活的聯系，從生活中抽象歸納新知模型。例如：在教學“線的認識”時，教師提供多種生活中的“線”讓學生進行分類，讓學生把不同類型的線用圖示的形式進行抽象，歸納不同類型的線的特征，從而認識“線段、射線與直線”。我們為學生提供了如下的生活背景作為感知儲備：

觀察下圖的線，進行分類并說明分類原因。

這樣的導入，挖掘了學生日常能接觸到的生活現象，是學生的最近發展區。教師讓學生直觀感受并引導學生理性抽象出不同現象的異同點。這樣簡單的生活例子，對于新知的探索來說，學生不僅有濃厚的探究興趣，而且有可嘗試、能思考的方法路徑。

二、思考知識內涵與外延，簡單達成知識延伸

了解了知識的來源，我們就要研究如何進行新知的延伸。如何讓大部分學生輕松、簡單地掌握知識？我們認為，首先要弄清楚知識的“三個點”，即矛盾點、模糊點、躍遷點。矛盾點就是本節課中新知與舊知之間的沖突或者新知與新知之間的沖突。矛盾點的突破，需要教師設計新舊知識之間的沖突，引發學生討論。模糊點就是新知中、概念里或者方法技巧上的一些容易混淆、出錯的地方。模糊點的整理，需要教師通過追問或者提供簡單的題目來幫助學生進行梳理。躍遷點就是可以讓學生舉一反三的知識的本質。躍遷點的感受，需要教師通過變式，讓學生體會知識的運用方法。

在傳統的課堂中，教師習慣于設計很多自己認為“環環相扣”的環節，一步一步指引著學生達成教學目標，再加以練習。上課前總覺得內容很多，擔心講不完，一直想著如何讓自己的語速更快，讓學生聽得更多;想著如何能讓學生順利地從這一個環節過渡到下一個環節;還要想非常多的預設，生怕學生會卡在某個環節上過不去。這些設計，確實是環環相扣的串聯模式。但是，只要學生在一個環節上卡住，那么接下來的環節基本是不可能跳過的。這樣的過程，無疑使學生形成兩極分化。這種課堂對學生來說是一種壓力。

在我們追求的簡約課堂中，教師只要做好引領就可以了。“引”，一是引領學生的學習方向;二是引發學生的學習興趣與學習需求;三是引起多維的對話。我們以“假設—驗證”作為矛盾點的激發手段，以小組討論和展示作為矛盾點的碰撞載體;以教師的追問和總結作為模糊點的厘清方法;以歸納特征和變式練習作為躍遷點的感悟途徑?？偟膩碚f，新知中，“三點”的梳理，是通過追問問題或者數學題目讓學生最直接地感受知識的本質。學生能最大限度地在問題中厘清知識的“樣子”，而不是教師一直在講知識長什么樣子。這樣的課堂是簡單愉悅的。

具體從下面的例子中看看如何做到簡約地“引”。在“合格率”的學習中，教師設計了以下環節：下表是質檢工人對甲、乙兩個牌子罐頭的抽查情況。你認為哪種罐頭質量更好？

通過抽查箱數一樣而合格箱數不一樣、合格箱數一樣而抽查箱數不一樣的產品，進行同分母或同分子大小比較，降低學習門檻，學生能夠很容易總結出比較方法：要比較質量優劣，得先統一其中一項變量。這樣低門檻的引入給學生指明了探討方向。接下來，進行抽查箱數與合格箱數都不一樣的優劣情況對比，從單一變量到多重變量的過渡，教師挖掘矛盾點使學生產生思維碰撞，引發學生的學習興趣與學習需求，學生很容易得出結論。

接下來，我們并沒有局限于討論任務求“合格率”或者用百分數來解決問題，而是改為開放的思路。學生可以用小數、分數、百分數等多種表示方法驗證自己的猜想，用任意的方法判斷產品優劣，引發學生的多維對話。

最后，教師引導學生進行對比，發現用百分數形式更有利于進行大小比較。學習并感受了特殊百分數“合格率”后，教師總結“合格率的樣子”——“合格數量占產品總數量的百分之幾”，進而給出題目，延伸出“成活率” “發芽率” “出勤率”“出生率”等特殊百分數的意義與求解方法。

請同學們類比“罐頭合格率”，判斷正誤：

1.一批產品的合格率是200%。（）

2.同學們植樹，有99棵成活，1棵死亡，成活率是99%。? （）

3.某校六年級共有99個學生，今天全部到校上課，該校六年級今天的出勤率為99%。? ?（）

4.王師傅用400千克的油菜籽榨出菜籽油168千克，這批油菜籽的出油率是42%。? （）

這幾道題目的設計抓住“合格率”的本質進行延伸，讓學生深刻感受部分與整體之間的關系、感受“合格率”的求解方法。

整節課由教師提供問題背景并引領學生思考，學生自行猜想并驗證，以開放的思路獲取了最簡單本質的知識與方法。教師在教學過程中只是作為引領者，總結了使用百分數的便利。最后通過變式題達到“一通百通”，學生在學習時學到的不只是一個“合格率”，而是整體與部分的一種新的表示方法。這種新的表示方法不是孤立的新知識，而是相對于之前的小數、分數的表示方法而言的一種更加便利直觀的表示形式。

教師只有深刻分析每節課的“生長點”和“延伸點”，課堂才能真正地做到“簡約”。思考學生的最近發展區，有利于學生更直接地進行新知的探索，給學生提供一條切實可行的路徑。這樣生長起來的知識才不會是孤立的，而是系統的，系統的知識對學生來說才是簡單的。思考知識的內涵與外延，設計問題串追問知識的本質，可以幫助學生厘清知識，進而幫助學生了解知識“是什么” “怎么用”。只有讓學生明白知識的“樣子”與“應用途徑”的課堂才是高效的，對學生來說才是輕松的、有收獲的。