讓策略認知向青草更青處漫溯

摘 要：《數學課程標準》指出，教師在教學過程中需要幫助學生體驗解決問題策略的多樣性，形成解決問題的基本策略?！暗雇啤辈呗允且环N特殊的教學策略，其要求教師引導學生用倒推（還原）的方法追溯問題的起始狀態，分析與問題相關的數量關系等，這樣不僅能有效增強學生運用策略分析問題的意識，提高其解決問題的能力，還能促進學生的逆向思維的良好發展?；诖?，文章闡述了“倒推”策略的含義及其在解決問題中的重要性，并總結了幾點引導學生掌握“倒推”這一問題解決方法的教學策略。

關鍵詞：策略;倒推;認知

作者簡介：賈青（1968—），女，江蘇省南京市月牙湖小學。

我們都知道，事情從開始到結束需要一個過程。在這一過程中，事物要么是在數量多少上發生變化，要么是在方向、路線、時間等其他方面發生變化。研究其中蘊含的數學問題往往有兩條線索：一條事物的起始狀態開始，根據事物將要發生的變化，推斷其結束時的狀態;另一條以事物的結束狀態為起點，根據事物已經發生的變化，追溯其起始狀態。學生比較習慣用前一條線索分析數量變化關系和解決實際問題，但是有些問題用后一條線索來解決更為方便。后一條線索屬于倒推思路?！暗雇啤?，通俗地講就是“倒過來想”，即從事情的結果往前追溯它在開始時是怎樣的?！暗雇啤笔且环N策略，引導學生在事物變化中感受、體會、反思，應用不同的思路去解決新的問題。為促進學生的策略認知向青草更青處漫溯，本文結合《解決問題的策略——倒推》，總結了幾點關于“倒推”策略的教學方法。

一、“倒推”策略的含義及其在解決問題中的重要性

“倒推”策略是一種以期望的目標為基準，從后往前來推測事物變化的策略方法。在以往的教學過程中，在分析和解決問題時，教師多習慣引導學生從現有的條件出發，根據條件分析和探索得出問題答案，即根據條件求出結果。而反過來，我們已知結果也能根據題目中的已知條件，通過反向推導求出事物先前的狀態。但是，受傳統思維的制約，很多學生并不了解“倒推”策略在分析和解決問題中的重要性，因此也不能很好地應用“倒推”策略解決問題?；诖?，教師要幫助學生認識和理解“倒推”策略。本文是筆者結合課堂教學的具體案例和反思，經過研究和思考后得出的一些結論。本文結合具體案例《解決問題的策略——倒推》分析，力求學生能從數學的角度發現、提出和分析問題，綜合應用所學知識解決問題，最終形成解決問題的策略。教學實踐證實，創設與現實生活有密切聯系的情景，能激發學生的策略意識;創設與“倒推”策略應用相關的數學問題，能使學生拓展思路;幫助學生進行自我比較、升華解題策略以及課后延伸，不僅能有效增強學生運用“倒推”策略分析問題的意識，也能提高其解決問題的能力[1]。

二、解決問題的策略——倒推教學策略

（一）創設與現實生活有密切聯系的情景，培養學生策略意識

培養學生的策略意識，是促進學生策略認知“向青草更青處漫溯”的基礎。我們在生活中時常會應用“倒推”這一策略，只是很多人沒有對其進行系統性的理解與學習。學生有一定的生活問題解決經驗，教師需要幫助學生提煉、總結“倒推”策略的一般思路，引導學生充分地理解這一生活內隱策略，使用簡潔的語言表述其中蘊含的數學思想。為了激發學生運用“倒推”策略分析和解決問題的意識，在教學過程中，筆者依據實際生活場景設計了一個“教師找U盤”的問題情景，這一情景貼近學生生活，容易使學生產生共鳴，從而能激發其研究與探索問題的意愿?！敖處熣襏盤”情景的主要內容為：教師上課時發現自己裝有課件的U盤不見了，可是教師剛剛下公交車的時候，U盤還在她的口袋里，轉眼就不見了，該怎么辦呢？創設這樣的情景后，筆者便讓學生思考如何解決教師的問題。學生按照其慣性思維和生活經驗，想到要找回教師丟失的U盤，最有效的方法就是原路返回去找。但是單純知道原路返回去找這一方法還不夠，我們還需要知道原路返回的路線。因此，筆者給學生出示了問題情境中教師的行動路線圖，然后引導學生根據路線圖思考和分析尋找U盤的最佳路徑。最終，學生順利幫助筆者在某個地方找到了U盤[2]。

（二）創設與“倒推”策略相關的數學問題，形成思路策略

培養學生運用“倒推”策略解決問題的意識后，教師還需積極創設與“倒推”策略相關的數學問題，并讓學生運用“倒推”策略分析具體的數學問題，讓學生逐步感悟基本的數量關系，幫助學生掌握具體問題情境中數字的變化，從而促使學生認識和思考問題的本質，進而能采用“倒推”策略有效解決實際問題。例如，筆者在教學過程中設置了倒果汁的問題。

1.設計“倒果汁”問題，讓學生初步學習“倒推”策略的應用

“倒果汁”問題如下：甲杯中原來有一些果汁，被小紅喝了50毫升后，又被倒入70毫升，現有220毫升果汁在杯中，那么甲杯中原有果汁多少毫升？在引導學生解答這一問題的過程中，筆者主要采用引導學生觀察果汁變化示意圖，應用“倒推”策略等方法幫助學生分析問題。學生通過觀察“倒果汁”的示意圖，可以很直觀地發現杯中果汁含量的變化，學生依據自己的感性直覺獲得了多樣化問題解決方法。在學生通過自己的問題解決方法得出結果后，教師引導學生再倒回去檢驗，讓學生理解“倒推”策略的合理性。最后，筆者幫助學生提煉出使用“倒推”策略解決問題的一般思路，使學生初步感受“倒推”策略的應用。在引導學生采用“倒推”策略分析上述問題的過程中，筆者先讓其按題意有序整理題目中的已知條件，然后根據已知條件從最終結果“倒推”和反向計算，便能快速得到甲杯中原有多少毫升果汁，即220-70+50=200（毫升），從而幫助學生形成一定的“倒推”思路。待學生用“倒推”策略解決分析問題后，筆者還引導學生將利用“倒推”得出的答案代入問題，再進行正向檢驗計算結果，以進一步幫助學生理清思路[3]。

2.拓展設計“倒果汁”問題，強化學生對“倒推”策略的理解和運用

在上述解題過程中，學生采用“倒推”策略分析和解決問題，初步掌握了“倒推”思路，但是上述問題相對簡單，學生對“倒推”策略的理解不夠深入。為此，筆者進一步拓展了“倒果汁”問題，新的問題設計如下：有甲、乙兩個杯子，老師這里有400毫升的果汁，準備按照圖1（a）所示方法將果汁倒入甲、乙兩個杯子，同學們覺得這樣做公平嗎？為什么？根據圖1，學生可以直觀地看到甲、乙兩個杯子中所有的果汁量并不相同，因此，按照上述方法來倒果汁顯然不公平。若甲杯往乙杯中倒入40毫升的果汁，兩杯果汁量相同。那么兩杯中原有果汁多少毫升？在這一問題的解決過程中，筆者將學生分為幾個學習合作小組，讓每個小組的成員先進行獨立思考，然后再在小組內交流，勇于表達自己的解法和思路。通過自主探究，不少學生提出了自己的解法，如一學生的解題思路為：先預設平均分配后甲、乙兩杯中分別有多少毫升果汁，即400÷2=200（毫升），再倒推甲杯：200+40=240（毫升），乙杯：200-40=160（毫升）。另一學生的解題思路為：可以先求甲、乙兩杯果汁相差的部分：40+40=80（毫升）;再求乙杯：400-80=320（毫升），320÷2=160（毫升）;最后求甲杯：400-160=240（毫升）。建構主義認為，知識能否高效建構的關鍵是與新知有一定聯系的舊知是否清晰。上述片段的教學中，筆者把教學的著力點放在“你是怎樣解決問題的”這一主題上，以匯報的形式讓學生展示自己的問題解決方法和結果呈現方式，使學生體驗“倒推”策略。這樣的方式能促使學生積極主動尋找不同的問題解決方法，自主感悟“倒推”的基本思路。這樣的教學使學生產生了學習內驅力，其課堂參與效率自然就能獲得提高，其課堂參與面也更廣泛了[4]。

（三）注重學生在聯系中的自我比較，升華解題策略

在學生基本形成解決“倒推”問題的思路后，筆者還設計了一些相似的題組，讓學生自主觀察和比較這些相似的題目，并判斷哪些題組適合采取“倒推”策略來解決，進一步讓學生明白適合采取“倒推”策略的問題情境。筆者設計了這樣的題組：“小明原來有一些郵票，今年新收集了24張，送給小軍30張郵票后，自己還剩52張。那么小明原來有多少張郵票？（題1）”“小明原來有一些郵票，他拿出郵票的一半送給小軍，自己還剩24張，那么小明原來有多少張郵票？（題2）”“小明原來有24張郵票，他將自己一半的郵票送給小軍，小明還剩多少張郵票？（題3）”筆者給出題組后，讓學生思考解決這些問題的方法以及這些問題是否均能采用“倒推”策略進行解答。通過整理題目的已知條件，利用流程圖表達題中的信息，不少學生能得知題1、題2可以應用“倒推”策略解答，如題1的信息流程圖為“小明原有郵票x張→今年收集了24張→送給小軍30張→還剩 52 張，因此，小明原有郵票數量為52+30-24=58（張）”;題2的信息流程圖為“小明原有郵票x張→拿出郵票的一半（1/2x）送給小軍→還剩24 張，即1/2x=24，可知x=48，即小明原有郵票48張”。而題3則不適合采用倒推策略進行解答，因為題3的信息流程圖為“小明原有24張郵票→拿出郵票的一半送給小軍→剩x張郵票，24-24×1/2=12（張）”，所以可以直接進行計算。引導學生觀察和比較上述題組的原因在于現代教學論認為，學習不是學生對教師所授予的知識的被動接受，而是學生利用自身已有的知識和經驗參與學習活動，歷經知識的形成過程，主動實現意義建構。在上述知識建構的過程中，學生親身體驗了“倒推”策略，感悟“倒推”題型的特點、建構雛形，學會辨析，獲得了豐富的學習經驗[5]。

（四）課后延伸，進一步升華解題策略

為促進學生進一步感知“倒推”策略在問題解決中的應用，以及進一步深化學生對“倒推”策略的掌握，筆者還給學生布置了“李白飲酒題”的課后習題。早在1000多年前，我國唐代著名數學家張遂就對“倒推”策略進行了深入研究，并以“李白飲酒”為題材編制了一道可用“倒推”策略解決的問題，即“李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見花喝一斗。三遇店和花，喝光壺中酒。借問此壺中，原有多少酒？”利用“倒推”策略解題可知，壺中在李白最后“見花喝一斗”前有酒0+1=1（斗）;最后“遇店加一倍”，則原有1÷2=1/2（斗）;第二次“見花喝一斗”，原有1/2+1=3/2（斗）;第二次“遇店加一倍”，則原有3/2÷2=3/4（斗）;第一次“見花喝一斗”，原有3/4+1=7/4（斗）;第一次“遇店加一倍”，則原有7/4÷2=7/8（斗）。因此，此壺中原有7/8斗酒。

結語

引導學生采用“倒推”策略解決數學問題的過程中，教師應重視指導學生應用流程圖整理題意。另外，教師還需要關注學生對“倒推”策略的感受、體驗和理解，讓學生體會“倒推”策略在解決特定問題時的優越性。學生在解決實際問題的過程中不斷反思，感受“倒推”策略對特定問題的價值，其推理能力會得到進一步發展?？傊?，開展有關解決實際問題策略的教學，教師應遵循學生的心理特征和思維特點，從具體的問題出發，尊重學生個性，重視學生的感悟和理解，探尋有效的教學策略，發展學生的抽象思維能力，培養學生的數學素養。

[參考文獻]

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