核心素養(yǎng)指引下的高中數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐教學(xué)分析

摘? ? ? 要

數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動包括數(shù)學(xué)建模活動、數(shù)學(xué)探究活動和文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作活動。在厘清相關(guān)概念的基礎(chǔ)上給出以課題研究的方式開展數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動的基本范式，基于范式具體分析它是如何重新定義高中數(shù)學(xué)教學(xué)的。雖然三種活動的基本范式相同，但由于研究對象不同，在核心素養(yǎng)一般觀念指引下，所開展的綜合實(shí)踐活動也是各具特色。

關(guān) 鍵 詞 數(shù)學(xué)建模活動? 數(shù)學(xué)探究活動? 文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作? 數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動? 課題研究

引用格式 薛紅霞.核心素養(yǎng)指引下的高中數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐教學(xué)分析[J].教學(xué)與管理，2022（28）：49-52.

在2017年版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)中，將“數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動”[1]與其他內(nèi)容并列成為四條主線之一，“數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容之中”，并在課時(shí)、內(nèi)容要求、教學(xué)提示及學(xué)業(yè)要求等方面都給出了具體的建議或要求，人民教育出版社出版的普通高中數(shù)學(xué)（A版）教科書據(jù)此分別編寫了2個(gè)數(shù)學(xué)建模活動、2個(gè)數(shù)學(xué)探究活動、5個(gè)選學(xué)內(nèi)容。課標(biāo)指出，“數(shù)學(xué)建摸活動是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的一類綜合實(shí)踐活動”，而“數(shù)學(xué)探究活動是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動”[2]。課標(biāo)和教科書都建議用課題研究的形式開展綜合實(shí)踐活動，在踐行中將重新定義普通高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式。

一、數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動相關(guān)概念

1.數(shù)學(xué)建模活動

廣義的數(shù)學(xué)建模活動包括高中數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的所有此類活動，典型代表是“4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念”“5.6函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”。狹義的數(shù)學(xué)建模活動僅僅指課標(biāo)中有課時(shí)安排、教科書中編寫的3個(gè)數(shù)學(xué)建模活動，即必修第一冊162頁的“數(shù)學(xué)建模 建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題”、選擇性必修第三冊141頁的“數(shù)學(xué)建模 建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測”、必修第二冊218頁“9.3公司員工的肥胖情況調(diào)查分析”。上述兩類建模活動的實(shí)施辦法、目標(biāo)是有差異的：廣義數(shù)學(xué)建模活動解決的實(shí)際問題是教科書中給出的，建模的過程是在教師設(shè)計(jì)的問題指引下進(jìn)行的，知識目標(biāo)是確定的;狹義數(shù)學(xué)建模活動的實(shí)際情境選擇更加多樣，過程更加開放，模型的抽象更加復(fù)雜，學(xué)生活動自主性更強(qiáng)，知識目標(biāo)弱化，重在用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型，解決實(shí)際問題，積累活動經(jīng)驗(yàn)。換言之，廣義數(shù)學(xué)建模活動是一個(gè)與既定目標(biāo)無偏差的良構(gòu)活動，而狹義數(shù)學(xué)建模活動是圍繞既定目標(biāo)全開放的探索活動。

2.數(shù)學(xué)探究活動

數(shù)學(xué)探究活動也有廣義和狹義之分。就廣義而言，在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中有很多是可以用數(shù)學(xué)探究的方式學(xué)習(xí)的，比如“6.4.3余弦定理、正弦定理”“直線與平面垂直的性質(zhì)定理”[3]，甚至還有不足一課時(shí)的探究內(nèi)容，比如“不等式的性質(zhì)”“雙曲線的定義”等等，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一般觀念[4]。就狹義而言，數(shù)學(xué)探究活動特指必修第二冊63頁“數(shù)學(xué)探究 用向量法研究三角形的性質(zhì)”、選擇性必修第三冊39頁“數(shù)學(xué)探究 楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用”。

數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)探究活動、廣義和狹義的數(shù)學(xué)探究活動之間的關(guān)系與“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動”中的分析類似。

3.文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作

“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”是教科書中設(shè)置的選學(xué)內(nèi)容，共有5個(gè)，比如必修第一冊97頁“函數(shù)的形成與發(fā)展”等。教科書中給出了“目標(biāo)”“主題”“實(shí)施建議”“參考選題”“文獻(xiàn)綜述的結(jié)構(gòu)”等。實(shí)施的建議是：選題，分組，分配任務(wù)，收集資料，素材匯總，交流討論等。具體實(shí)踐時(shí)依然可以參照課題研究的方式進(jìn)行。

“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”是集中體現(xiàn)“數(shù)學(xué)文化”的載體，有助于學(xué)生系統(tǒng)了解數(shù)學(xué)發(fā)展史，理解數(shù)學(xué)，提升科學(xué)思維。

二、高中數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動的開展

1.以課題研究開展數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動的基本范式

基于教學(xué)實(shí)踐探索，我們提煉了基本范式，其結(jié)構(gòu)是相同的，但由于三種活動各自教學(xué)內(nèi)容不同，所以也有差異。為了清晰表達(dá)，也為了方便閱讀，分別用3個(gè)圖表示三種綜合實(shí)踐活動的基本范式。其中“教師鉆研”是教師備課環(huán)節(jié)。“示范……”對應(yīng)課題的開題環(huán)節(jié)，之后是學(xué)生先體驗(yàn)，嘗試開展課題研究;“中期交流”是學(xué)生之間進(jìn)行思維碰撞，交流心得經(jīng)驗(yàn)，并由教師指導(dǎo)課題研究的思路、方法，通過這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生更加理解課題研究“做什么”“怎么做”，之后繼續(xù)完成課題研究;“結(jié)題報(bào)告”是展示交流課題研究成果，并進(jìn)一步升華對研究對象的理解，之后完善成果，完成本課題的研究工作。

2.比較中理解數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動的基本范式

（1）分散課時(shí)，重新定義教與學(xué)

①重新定義課上、課下的功能。課題研究不同于大家熟悉的教學(xué)方法。“示范……”環(huán)節(jié)在課上進(jìn)行，教師講解，并由學(xué)生初步確定選題。之后的“中期交流”“結(jié)題報(bào)告”環(huán)節(jié)也都在課上進(jìn)行，以學(xué)生展示交流、質(zhì)疑問難為主，教師予以點(diǎn)撥指導(dǎo)。至于課下“自主……”環(huán)節(jié)，則個(gè)體研究與團(tuán)隊(duì)合作并行。課上、課下的工作是按照研究對象的邏輯順序連續(xù)推進(jìn)、逐步深入的，并非重復(fù)訓(xùn)練。課上完成需要交流碰撞的、方法方向探討的、思維層面的工作，課下完成個(gè)體獨(dú)立鉆研、小組合作研究的任務(wù)。

②重新定義課時(shí)的使用。課時(shí)的使用方式與傳統(tǒng)教學(xué)有著本質(zhì)的不同。“數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動”在必修部分課標(biāo)建議課時(shí)是6課時(shí)，在選擇性必修部分建議課時(shí)是4課時(shí)。教師教學(xué)用書中每個(gè)“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”的建議課時(shí)是1課時(shí)。不論課時(shí)多少，其使用方法都不同于傳統(tǒng)：要分散使用。換言之，即“示范……”“中期交流”“結(jié)題報(bào)告”不能連起來上。

比如，在做數(shù)學(xué)探究活動“用向量法研究三角形的性質(zhì)”時(shí)，4月3日開題，之后留給學(xué)生一周的時(shí)間進(jìn)行個(gè)體自主探究，小組內(nèi)部以及組與組之間進(jìn)行交流，教師隨時(shí)予以幫助。4月10日進(jìn)行“中期交流”，4月29日“結(jié)題報(bào)告”[5]。從“中期交流”到“結(jié)題報(bào)告”之間之所以間隔這么久，是因?yàn)樵凇爸衅诮涣鳌敝袑W(xué)生提出的探究問題涉及到教師之前沒有預(yù)想到的知識，師生都需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)。此外，學(xué)生還需要將其他小組展示的研究成果進(jìn)行梳理、理解，互相借鑒、融合，形成一個(gè)完整的研究報(bào)告。這些工作都是在課余時(shí)間進(jìn)行的，所以整體跨度比較長。期間教師予以關(guān)注、督促、指導(dǎo)，并根據(jù)進(jìn)展情況確定結(jié)題時(shí)間。

數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動課不能因下課鈴聲而終止，要創(chuàng)造條件讓學(xué)生盡情交流研討，確保課下有效的探索研究，確保課題研究過程要真實(shí)、思維有深度、成果能創(chuàng)新、熱情會提升。

③重新定義學(xué)習(xí)的物理空間。數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐的課堂也需要突破傳統(tǒng)課堂的物理空間。在學(xué)生自主做課題環(huán)節(jié)，因研究對象不同需要匹配不同的物理空間。比如，完成數(shù)學(xué)建模活動“介質(zhì)與距離對WIFI信號強(qiáng)弱的影響”，就需要到操場進(jìn)行測量收集數(shù)據(jù)[6]。課標(biāo)中所給“案例15? 測量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”需要走出校園收集數(shù)據(jù)。完成文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作，學(xué)生需要大量查閱資料。

結(jié)題報(bào)告活動，可以在自己班級進(jìn)行，還可以擴(kuò)大范圍，增進(jìn)交流，比如，開展全校評比活動，因此需要在學(xué)校的報(bào)告廳舉行。

數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)空間，根據(jù)活動內(nèi)容選取適當(dāng)?shù)目臻g，保障課題研究的順利進(jìn)行。

（2）轉(zhuǎn)變角色，教師成為導(dǎo)師

在基本范式中教師的工作分三段：備課鉆研，主導(dǎo)開題，指導(dǎo)做題。不同于傳統(tǒng)教學(xué)，在課題研究過程中，教師更重要的工作是對學(xué)生的指導(dǎo)，包括組建團(tuán)隊(duì)、選題的指導(dǎo)，學(xué)生課下自主開展的課題研究活動，以及課上展示交流。

數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動的備課對教師提出新的挑戰(zhàn)，教師要先自己親自體驗(yàn)。做設(shè)計(jì)的過程就是教師自己開展課題研究的過程，并將自己的經(jīng)驗(yàn)提煉概括用于指導(dǎo)學(xué)生，因此需要較長時(shí)間，即使對于常規(guī)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師也是如此。比如在“用向量法研究三角形的性質(zhì)”時(shí)，教師前期備課寫出了約2萬字的內(nèi)容，包括從最基本、最核心的三角形閉合回路向量表達(dá)式出發(fā)，用向量的不同運(yùn)算方法探索性質(zhì)，再基于所得結(jié)論，綜合運(yùn)用向量方法繼續(xù)探索的全過程，獲得結(jié)論30余條，從學(xué)生最熟悉的三角形中線交于一點(diǎn)到梅涅勞斯定理等，構(gòu)建了它們之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖，整體上把握了該數(shù)學(xué)探究，做到了完全可以俯瞰學(xué)生數(shù)學(xué)探究[7]。“對數(shù)的起源與應(yīng)用”雖然是一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，但備課歷時(shí)卻是比較長的，主要用于學(xué)習(xí)、甄選、處理史料等[8]。

數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動的過程中，教師對學(xué)生的指導(dǎo)是綜合性、全方位的。在數(shù)學(xué)建模活動的開題課上，要指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，開闊思路，確定選題;在數(shù)學(xué)探究活動的開題課上，要幫助學(xué)生明確研究對象的一般觀念，在其指引下發(fā)現(xiàn)和提出問題，推進(jìn)研究;在文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作的開題課上，要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會閱讀文獻(xiàn)，確定寫作主題。

與常規(guī)的輔導(dǎo)作業(yè)相比，在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動過程中教師遇到的問題更豐富、更具挑戰(zhàn)性。要幫助學(xué)生選題[9];要指導(dǎo)學(xué)生收集數(shù)據(jù)[10]，評判學(xué)生所選模型的合理性;要親自演算，了解學(xué)生探究的思路，判斷其研究方向的可行性[11];要在數(shù)學(xué)歷史當(dāng)年的背景下理解數(shù)學(xué)史料等等[12]。教師還要解決學(xué)生思想認(rèn)識方面的各種問題。有的學(xué)生認(rèn)為做數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動不如刷題有效，有的學(xué)生遇到困難就要放棄等等，都需要教師予以指導(dǎo)，需要教師鼓勵其完成活動，收獲成就感，從根本上解決認(rèn)識問題。

（3）轉(zhuǎn)換身份，學(xué)生變身數(shù)學(xué)家

在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生了徹底的改變。不僅僅是聽課做作業(yè)，而是自己觀察、發(fā)現(xiàn)值得研究的問題，并分析、解決問題;學(xué)習(xí)的特點(diǎn)不僅僅是模仿，更重要的是自主探索;不僅僅是汲取，還要分享貢獻(xiàn)自己的智慧;不僅僅是個(gè)體學(xué)習(xí)，更需要團(tuán)隊(duì)的合作;不僅僅是做對答案，更重要的是有自己的創(chuàng)造。

對于數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動，一開始學(xué)生不適應(yīng)，但只要他們被吸引進(jìn)去，其韌性和創(chuàng)造力都是超乎預(yù)料的，這就是數(shù)學(xué)本身的魅力所在。要吸引學(xué)生，關(guān)鍵是要做真實(shí)、完整的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動。在“用向量法研究三角形的性質(zhì)”中，學(xué)生一開始只是通過各種渠道收集羅列結(jié)論，在老師的指導(dǎo)下，他們轉(zhuǎn)變方式，開始探究;探究過程中，學(xué)生幾次推導(dǎo)失敗，但在老師的鼓勵下，獨(dú)立推導(dǎo)出了塞瓦定理;學(xué)生還借助技術(shù)進(jìn)行猜想，得到“奔馳定理”的一般形式。在完成課標(biāo)“案例11? 正方體截面的探究”時(shí)，學(xué)生一開始是邊寫常規(guī)作業(yè)邊開啟數(shù)學(xué)探究活動的，但隨著探究的推進(jìn)，他們開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)軟件畫圖驗(yàn)證，精心推演求得垂直于體對角線的截面面積的變化規(guī)律，徒手繪制了漂亮的函數(shù)圖象，結(jié)題時(shí)還總結(jié)出收獲——“秒殺月考題”。在該探究過程中他們學(xué)到了空間中平面方程的求法，之后還用來解決線性規(guī)劃問題，成就感油然而生，探究樂趣倍增[13]。在完成課標(biāo)“案例15? 測量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度”活動中，學(xué)生不僅創(chuàng)造性地解決了測量遠(yuǎn)處建筑物高度的問題，還總結(jié)出了獨(dú)特的解決生活中數(shù)學(xué)難題的“四維”思路，即在三維空間問題解決的基礎(chǔ)上增加了學(xué)生的元認(rèn)知，這就是創(chuàng)新[14]。在“介質(zhì)與距離對WIFI信號的影響”案例中，建模失敗的小組在結(jié)題匯報(bào)時(shí)，認(rèn)真傾聽其他小組的成功經(jīng)驗(yàn)，頓悟了本組測量數(shù)據(jù)時(shí)的失誤，這都是真實(shí)、寶貴的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生是容易被數(shù)學(xué)本身感染的，并能在其中心悅誠服地接受挫折，吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，也能沉浸其中，在數(shù)學(xué)成就感的激發(fā)下克服困難，堅(jiān)持探究，直至達(dá)成目標(biāo)。當(dāng)學(xué)生在結(jié)題課上驕傲地以自己的名字命名一個(gè)定理時(shí)，相信他已經(jīng)找到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的新方法——像數(shù)學(xué)家一樣探索數(shù)學(xué)世界的奧秘，并深刻地體會到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣所在。

3.相同范式下開展各具特色的綜合實(shí)踐活動

基本范式結(jié)構(gòu)一樣，但具體操作過程差異是很大的，這種差異是研究對象自身特點(diǎn)決定的。

對于“介質(zhì)與距離對WIFI信號強(qiáng)弱的影響”和“身高與鞋碼關(guān)系問題”中的數(shù)學(xué)建模活動而言，相關(guān)聯(lián)內(nèi)容是函數(shù)，因此其研究的基本套路是：實(shí)際問題——函數(shù)模型——模型應(yīng)用。實(shí)際問題的選擇是第一步，要求學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題，比如有學(xué)生觀察在學(xué)校供水處同學(xué)們?nèi)∮蔑嬘盟闆r，提出研究“溫水與熱水的比例為多少時(shí)口感適合”的問題;有學(xué)生觀察校園內(nèi)拐角處被汽車剮蹭的痕跡，提出研究“校園內(nèi)轉(zhuǎn)彎處適合的汽車車速”問題等等。之后要發(fā)揮代數(shù)運(yùn)算的作用，發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系，探索變量之間的函數(shù)關(guān)系。這其中重要的是應(yīng)用好函數(shù)研究的一般觀念。

“用向量法研究三角形的性質(zhì)”和“正方體截面的探究”都是數(shù)學(xué)探究活動，但其一般觀念是不同的。“用向量法研究三角形的性質(zhì)”要知道研究的工具是向量，研究對象是三角形。在一般觀念指引下，從向量的視角提出問題，比如用向量的線性運(yùn)算對三角形中的基本組成元素進(jìn)行運(yùn)算能推導(dǎo)出哪些關(guān)系？用數(shù)量積運(yùn)算呢？用它們的綜合運(yùn)算呢？再增加研究對象的元素，比如三角形中的中線、垂線、角平分線、重心、垂心等，再對之進(jìn)行向量運(yùn)算又可以得到哪些關(guān)系……“正方體截面的探究”則以立體幾何研究的一般觀念為指導(dǎo)，先研究最簡單最基本的截面——三角形，以三角形的研究為示范，其他形狀的截面可以類比進(jìn)行。在研究三角形截面時(shí)，依據(jù)立體幾何研究套路進(jìn)行。先研究其存在性，再研究何時(shí)存在特殊的三角形，并予以論證或者反駁。完成對形狀的研究之后，接下來研究其度量問題，即截面的面積和截面周長。依然是從一般性到特殊性展開研究，比如先研究任意一個(gè)截面面積的求法，再研究特殊截面面積的變化規(guī)律，如垂直于體對角線的截面等等。

“對數(shù)的起源與應(yīng)用”中所記述的數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)要有歷史觀，要“穿越”歷史回到從前，在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)背景下學(xué)習(xí)史料，置身于當(dāng)時(shí)的社會環(huán)境中了解數(shù)學(xué)家的智慧和艱辛，從而感受數(shù)學(xué)家的偉大貢獻(xiàn)。

用課題研究的方式開展數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動程序類似，但內(nèi)涵差異大，不能機(jī)械套用。能否做好活動，起決定性作用的是“教師鉆研”的深度，這就是新的學(xué)習(xí)對象、新的教學(xué)方式對數(shù)學(xué)教師提出的挑戰(zhàn)。

4.深度體驗(yàn)中做一次真實(shí)的課題研究

對比實(shí)踐效果可以發(fā)現(xiàn)，完整的、較大型的、開放的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐能讓學(xué)生有深刻的體驗(yàn)，對學(xué)習(xí)方式改變產(chǎn)生較大的促進(jìn)作用。因此建議第一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動一定要大膽嘗試，精心設(shè)計(jì)，確保成功，對后續(xù)的綜合實(shí)踐活動形成積極效應(yīng)。例如，我們組織的一場數(shù)學(xué)建模活動的大型結(jié)題報(bào)告會震動了一個(gè)學(xué)校從校長到教師各個(gè)層面，促進(jìn)了該校對課題研究的全新認(rèn)知，并由他們推動了一個(gè)市的教學(xué)理念的變革。由此可見，一個(gè)成功的開端可以掃清開展數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動的所有障礙，甚至打開教學(xué)方式改革的新局面。

還可以用項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式開展數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動，其本質(zhì)與課題研究一致，只是加強(qiáng)了成果意識和評價(jià)引領(lǐng)[15]。不論哪一種方法，第一次開展數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動時(shí)都是艱辛的，教師沒有經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生不會做，只能依賴教師的指導(dǎo)，無論是課上的交流研討，還是課下的自主活動，時(shí)刻需要教師給予指導(dǎo)。不過，只要完成一次，有了成功體驗(yàn)，后續(xù)學(xué)生將越來越獨(dú)立，教師的組織和駕馭能力也越來越游刃有余。在課題研究過程中，師生共同成長，一起領(lǐng)略數(shù)學(xué)的風(fēng)采，可謂“教學(xué)相長”“不亦樂乎”。

參考文獻(xiàn)

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