重視探究過程，升華基本作圖

闕成

【摘要】尺規作圖作為初中數學幾何教學中的一個基本內容，對學生培養空間想象、數學推理以及探究應用能力起到了重要的作用.在考試中，也出現過不少基于基本作圖方法的題型.但在實際教學中，筆者發現學生對于基本作圖的原理和作法掌握比較牢固.但對于需要分析題意，將"尺、規"作為工具達到問題解決的探究型問題比較茫然，無從下手.以下針對這一問題進行教學反思.

【關鍵詞】尺規作圖;基本作圖;探究應用題呈現

"直角"在初中幾何學習中無處不在.如圖1，已知∠AOB，請仿照小麗的方式，再用兩種不同的方法判斷∠AOB是否為直角（僅限用直尺和圓規）.

本題的作圖不再是機械的作法，而是考察了作法背后靈活的思維以及知識遷移能力.最后，再通過尺規作圖的基本作圖方法規劃作圖步驟.所以，作圖前的分析過程雖未呈現在答案中，但價值卻在作法之上.

解析

方法1想到勾股定理逆定理中通過三角形三邊之間的數量關系判定直角三角形的方法.若以點O 為端點在射線OA、OB上任取C、D兩點，OC、OD、CD 滿足OC2+OD2=CD2，則可說明∠AOB為直角.為了實現這一目的，我們可以先假設直角成立，為方便起見選取一組勾股數作為直角三角形邊長，如3、4、5.由于圓規可用來截取相等的線段，我們只需要利用圓規作出表示3份和4份的兩條直角邊 OC、OD，再利用直尺連接CD，利用圓規驗證 CD長度是否為對應的5份，

以此來判定∠AOB是直角.

方法2 想到圓中直徑對直角，只要在射線 OA、OB上任取兩點C、D以C、D為直徑作圓，若點O 在圓上，則∠AOB=90°。

在這道題的解決過程中，很多同學無從下手.在與學生的交流中發現學生遇到了以下幾點困惑：

1.學生在平時的練習中，更多接觸到的是尺規基本作圖，以及給出作法后的理由闡述問題.對于這一道題沒有做好心態和方法上的準備;

2.學生在閱讀材料后，難以聯想到其他思路，也沒有找到分析的方法;

3.即便是想到了利用勾股定理逆定理可以用來判定直角，但依舊無法利用尺規來實現.

針對這幾個問題，我也開始反思教學中存在的一些不足.

2教學回顧

在實際教學中，以蘇科版數學教材為例，五種尺規基本作圖以.閱讀作法，根據作法中的步驟操作"為主，在教學中，會有以下幾點疏漏：

（1）學生很容易將其當做獨立的學習內容，難以與其他知識點聯系在一起.

（2）對于尺規作圖的教學集中在具體的作法上，教師介紹作法，學生根據作法動手操作，但忽視了對作法原理的探究.使得作圖與教材前后的內容相割裂.

（3）書本以及練習中配套的練習往往比較簡單，是對基本作圖的方法的不斷重復.對于作圖前的分析階段鍛煉不夠.

同時，課標要求會利用基本作圖作三角形與圓的相關圖形，在實際教學中，也存在僅僅.就事論事"的情況，忽略了作圖與三角形、圓中性質的聯系.學生學完以后，基本上都還只局限在上課教過的圖形作法上.把尺規作圖當成是學習的目標，而不是解決實際問題的工具.

3教學改進嘗試

根據這些教學中暴露出的問題，筆者也作出了幾方面的教學嘗試.

3.1深挖基本作圖教學

以作一個角的平分線為例.學生在接觸尺規作圖之前，學生已經通過量角器、折紙、刻度尺、角尺等手段從幾何直觀和理性推理兩方面得到了各種各樣的作法，進而不難發現可以用"SSS，證明畫法的正確性.這時，可以讓學生體會到畫角平分線的實質是構造兩個用一條公共邊的全等三角形.從而找到用"直尺和圓規，替換以上工具的來畫角平分線的的辦法.這程，實際上也是引導學生主動探索用直尺與圓規作角平分線的方法和原理.

3.2關注知識間的聯系與交互

在一定量的按要求作圖后，針對學生并沒有真正應用尺規解決新問題，可以設計一些需要分析、整合已學內容的問題.如：

例題

本題以作四邊形 ABCD為背景，考查了作平行線與做一條線段等于已知線段的兩倍.其中作平行線的方法就是對學生推理能力，幾何直觀，轉化思想的考驗.可以請學生聯系所學內容，分析探究.

法1直線的平行關系可通過構造同位角、內錯角的相等關系轉化.這就將問題轉化為"作一個角等于已知角，的基本作圖.

法2根據"垂直于同一條直線的兩直線互相平行，構造平行線.具體來說，作 AB的垂線，再作過點C 且垂直于這條垂線的垂線.這樣，就轉化為"過一點作已知直線的垂線，的基本作圖.其中，學生也提出"作 AB的垂線，作法不唯一，嘗試、交流中發現可以過點C 作AB的垂線，或直接作 AB的中垂線.這又涉及到"作一條線段的垂直平分線，的基本作圖.

法3根據"平分、等腰得平行，進行構造.作∠ABC的平分線，再以點 C為圓心，CB長為半徑作弧，交角平分線于一點.連接點C與該點即為AB的平行線.這里，用到了"作一條線段等于已知線段，和"作一個角的平分線，兩種基本作圖.

以上三種作法，通過作圖前的分析，尋找能夠得出兩直線平行的相關判定與方法，形成知識間的遷移.而且在學生探究的過程中，體驗到了作圖方法與幾何推理間的密切聯系.最終，學生發現還是通過五種基本作圖來完成，但體會卻更為深刻.

學生在進一步思考后還有很多非常好的想法.

法4以BA、BC為一組鄰邊構造平行四邊形.利用平行四邊形對邊平行的性質得到平行線.

至此，學生體會到各個知識間豐富的交互與遷移，應用意識、創新思維達到真正的鍛煉.

3.3深挖例題資源

回到文章一開始的問題，很多學生在做題過程中其實并沒有仔細讀題，"小麗的方法，實際上是一跳而過.在本題的評講過程中，很多學生也只是記下了正確答案，之后就將本題棄之一邊.那么這道題的價值就沒有足夠的體現，之后遇到探究型作圖學生依舊一籌莫展.針對這一情況，課堂評講可設置問題如下：

（1）小麗的方法原理是什么？

設問分析這實際上也是中考中常見的"給出作法，說原理，問題.對于學生來說，思維是正向的，切入難度低.學生可以從兩三角形全等的角度闡述原理，也可以根據等腰三角形三線合一的相關知識分析.學生在試圖說理的過程中，就是在進行知識間的遷移.

（2）解析給出的兩種方法都是構造直角三角形，還有沒有其他方式或模型可以遷移呢？

設問分析作圖前的分析是解決本題，也是此類問題的關鍵所在.這個問題的設置，也是為了讓學生明白，方法是多樣的，是不唯一的.這是對學生靈活應用已有知識的考驗，也是對創新精神的磨煉.

4結語

綜上，從這一道題的分析與作圖可以看出學生在尺規作圖的學習中還存在很多的問題，基本作圖只是一種工具，更需要學生靈活的思維，遷移知識的能力.而這，也是今后教學過程中需要注意的.我們不僅要培養學生具體操作的能力，更需要讓學生學會分析，學會聯想，真正發展學生的數學素養.

參考文獻

[1]張萬梅.一道中考尺規作圖題畫法賞析和思考[J].中小學數學（初中版）.2020（06）

[2]陸蓉.一道尺規作圖題的閱卷收獲[J].初中數學教與學.2020（03）

[3]孫喜軍.一道中考尺規作圖題的多解及探究[J].數學教學，2020（06）：19 -21.