從自變量的變化特征看抽象函數性質

張靜元

【摘?要】??本文通過類比函數單調性定義，給出函數的奇偶性、對稱性、周期性的新定義，統一用“設f（x）的定義域為I，x?1，x?2∈I，當x?1，x?2滿足某種確定關系，對應的函數值f（x?1），f（x?2）都有固定的關系”來定義函數性質，用統一的格式定義函數性質，有共同特征，也有顯著不同，學習這類問題不容易混淆.另外對于抽象復合函數f（ax+b）的性質，也是一個難點，本文統一將f（ax+b）=F（x），轉化為研究F（x）的性質來揭示f（ax+b）的性質.

【關鍵詞】??抽象函數;統一定義;函數性質

函數單調性定義：“如果對于I上任意兩個值x?1，x?2，當x?1

定義揭示了兩個自變量滿足一種確定關系“x?1

（1）設f（x）的定義域為I，x?1，x?2∈I，當x?1+x?2=0時，都有f（x?1）=f（x?2），就稱f（x）為偶函數.

（2）設f（x）的定義域為I，x?1，x?2∈I，當x?1+x?2=0時，都有f（x?1）=-f（x?2），就稱f（x）為奇函數.

（3）設f（x）的定義域為I，存在一個不為零的常數T，x?1，x?2∈I，當x?1-x?2=T時，都有f（x?1）=f（x?2），就稱f（x）為周期函數，周期為T.

1.研究函數y=f（x）的性質

先思考下面問題：

若函數f（x）滿足下列關系之一：

（1）f（1-x）=f（x-1）;

（2）f（1-x）=f（x+1）;

（3）f（1-x）=f（-x-1）.

（4）f（1-x）=-f（x-1）;

（5）f（1-x）=-f（x+1）;

（6）f（1-x）=-f（-x-1）.

則函數f（x）對應的性質是什么？

分析??（1）對于函數f（x）滿足

f（1-x）=f（x-1），

設x?1=1-x，x?2=x-1，

則?x?1+x?2=0，且f（x?1）=f（x?2），

所以函數f（x）是偶函數，圖象關于y軸對稱.

對于函數f（x）滿足f（a-bx）=f（bx-a），

同樣設x?1=a-bx，x?2=bx-a，

則?x?1+x?2=0，且f（x?1）=f（x?2），

函數f（x）都是偶函數.

推廣??滿足f（a-bx）=f（bx-a）?（b≠0）?的函數f（x）是偶函數，圖象關于y軸對稱.

（2）函數f（x）滿足f（1-x）=f（x+1），

設x?1=1-x，x?2=x+1，則

x?1+x?2=2，且f（x?1）=f（x?2），

即?f（x）的圖象上任意兩點A（x?1，y?1），B（x?2，y?2）滿足

x?1+x?2?2?=1，y?1=y?2，

則?A，B兩點關于直線x=1對稱.

由于A，B兩點的任意性知

滿足x?1+x?2=2，且f（x?1）=f（x?2）的函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱.

推廣??滿足f（a+cx）=f（b-cx）?（c≠0）?的函數f（x）的圖象關于直線x=?a+b?2?對稱.

（3）函數f（x）滿足f（1-x）=f（-x-1），

設x?1=1-x，x?2=-x-1，則

x?1-x?2=2，且f（x?1）=f（x?2），

所以?函數f（x）是周期函數，周期為2.

推廣??滿足f（a+cx）=f（b+cx）?（c≠0）?的函數f（x）是周期函數，周期T=a-b.

（4）函數f（x）滿足f（1-x）=-f（x-1），

設x?1=1-x，x?2=x-1，則

x?1+x?2=0，且f（x?1）=-f（x?2），

所以?函數f（x）是奇函數，圖象關于原點（0，0）中心對稱.

對于函數f（x）滿足f（a-bx）=-f（bx-a），

同樣可設x?1=a-bx，x?2=bx-a，

則?x?1+x?2=0，且f（x?1）=-f（x?2），

所以?函數f（x）是奇函數.

推廣??滿足f（a-bx）=-f（bx-a）?（b≠0）?的函數f（x）是奇函數，圖象關于原點（0，0）中心對稱.

（5）函數f（x）滿足f（1-x）=-f（x+1），

設x?1=1-x，x?2=x+1，

則?x?1+x?2=2，且f（x?1）=-f（x?2），

即?函數f（x）圖象上的任意兩點A（x?1，y?1），B（x?2，y?2）滿足

x?1+x?2?2?=1，?y?1+y?2?2?=0，

則A，B兩點關于點（1，0）中心對稱，

由于A，B兩點的任意性知，滿足x?1+x?2=2，且f（x?1）=-f（x?2）的函數f（x）的圖象關于點（1，0）中心對稱.

推廣??滿足f（a+cx）=-f（b-cx）?（c≠0）?的函數f（x）的圖象關于點??a+b?2?，0?中心對稱.

同理，滿足f（a+cx）=m-f（b-cx）?（c≠0）?的函數f（x）圖象關于點??a+b?2?，?m?2??中心對稱.

（6）函數f（x）滿足f（1-x）=-f（-x-1），

設x?1=1-x，x?2=-x-1，

則?x?1=x?2+2，且f（x?1）=-f（x?2），

所以?f（x?2+2）=-f（x?2），

f（x?2+4）=f（x?2），

即?函數f（x）是周期函數，周期為4.

推廣??滿足f（a+cx）=-f（b+cx）?（c≠0）?的函數f（x）是周期函數，周期T=2|a-b|.

一般情況下，研究抽象函數的性質，可以先觀察自變量滿足什么特定關系，再研究對應的函數值的關系.

2.抽象函數性質歸納如下

（1）x?1+x?2=0，f（x?1）=f（x?2），f（x）是偶函數，函數值的特征關系為f（x）=f（-x）.

（2）x?1+x?2=0，f（x?1）=-f（x?2），f（x）是奇函數，函數值的特征關系為f（x）=-f（-x）.

（3）x?1+x?2=2a，f（x?1）=f（x?2），f（x）圖象關于直線x=a對稱，函數值的特征關系為f（x）=f（2a-x）.

（4）x?1+x?2=2a，f（x?1）+f（x?2）=2b，f（x）圖象關于點（a，b）對稱，函數值的特征關系為f（x）=2b-?f（2a-x）?.

（5）x?1-x?2=a，f（x?1）=f（x?2），f（x）為周期函數，周期T=a，函數值的特征關系為f（x）=?f（a+x）?.

（6）x?1-x?2=a，f（x?1）=-f（x?2），f（x）為周期函數，周期T=2a，函數值的特征關系為f（x）=?-f（a+x）?.

3.復合函數y=f（ax+b）的性質

如何理解復合函數的性質？我們先看以下三個問題：

（1）函數f（3x-2）是偶函數，則函數f（x）具有什么性質？如果f（3x-2）是奇函數呢？

（2）函數f（3x-2）圖象的對稱軸是x=2，則函數f（x）具有什么性質？函數f（3x-2）圖象關于點（2，0）中心對稱呢？

（3）函數f（3x-2）是周期為2的周期函數，則函數f（x）具有什么性質？

研究復合函數f（ax+b）的性質，一般可設f（ax+b）=F（x），先研究F（x）的性質，從而得到f（ax+b）的性質.

分析??（1）設f（3x-2）=F（x），

則?F（x）是偶函數，

即?F（-x）=F（x），

所以?f（-3x-2）=f（3x-2），

設x?1=-3x-2，x?2=3x-2，

則?x?1+x?2=-4，f（x?1）=f（x?2），

所以?f（x）的圖象關于直線x=-2對稱;

若F（x）是奇函數，則F（-x）+F（x）=0，

所以?f（-3x-2）+f（3x-2）=0，

則?x?1+x?2=-4，f（x?1）+f（x?2）=0，

故?f（x）圖象關于點（-2，0）中心對稱.

推廣??函數f（ax+b）?（a≠0）?是偶函數，則函數f（x）的圖象關于直線x=b對稱;函數?f（ax+b）?是奇函數，則函數f（x）的圖象關于點（b，0）中心對稱.

（2）F（x）圖象的對稱軸是x=2，

即?F（x）=F（4-x），

所以f（3x-2）=f[3（4-x）-2]=f（-3x+10），

則?x?1+x?2=8，f（x?1）=f（x?2），

所以?f（x）的圖象關于直線x=4對稱;

若F（x）的圖象關于點（2，0）中心對稱，

即?F（x）+F（4-x）=0，

所以?f（3x-2）+f（-3x+10）=0，

則?x?1+x?2=8，f（x?1）+f（x?2）=0，

所以?f（x）的圖象關于點（4，0）中心對稱.

推廣??函數f（ax+b）?（a≠0）?的圖象的對稱軸是x=m，則函數f（x）的圖象關于直線x=ma+b對稱;函數f（ax+b）圖象關于點（m，0）中心對稱，則函數f（x）的圖象關于點（ma+b，0）中心對稱.

（3）F（x）是周期為2的周期函數，

則?F（x）=F（x+2），

所以f（3x-2）=f[3（x+2）-2]=f（3x+4），

則?x?1-x?2=6，f（x?1）=f（x?2），

所以f（x）為周期函數，周期T=6.

推廣??函數f（ax+b）?（a≠0）?是周期為m??（m≠0）??的周期函數，則函數f（x）是周期為ma的周期函數.

我們再看以下幾個問題：

（4）函數f（3x-2）是偶函數，且圖象關于直線x=2對稱，則函數f（x）具有什么性質？

（5）函數f（3x-2）是奇函數，圖象關于直線x=2對稱，則函數f（x）具有什么性質？

（6）函數f（3x-2）是奇函數，圖象關于點?（2，0）?中心對稱，則函數f（x）具有什么性質？

通過以上研究，得到

函數f（3x-2）是偶函數f（x）圖象關于直線x=-2對稱;

函數f（3x-2）是奇函數f（x）圖象關于點（-2，0）中心對稱;

函數f（3x-2）圖象的對稱軸是x=2f（x） 圖象關于直線x=4對稱.

（4）轉化為f（x）圖象關于直線x=-2，x=4對稱，則函數f（x）是周期為6的周期函數.

推廣1???函數f（ax+b）圖象有兩條對稱軸x=m，x=n，則函數f（x）是周期為2（m-n）a的周期函數.

推廣2???函數f（ax+b）圖象有一個對稱中心（m，0），一條對稱軸x=n，則函數f（x）是周期為4（m-n）a的周期函數.

通過以上研究，我們知道一個函數如果有兩條對稱軸或一個對稱中心，一條對稱軸，函數都具有周期性，那么一個函數有兩個對稱中心，是否具有周期性？

（6）函數f（3x-2）是奇函數

f（x）圖象關于點（-2，0）中心對稱，

即?f（x）=-f（-4-x）;

函數f（3x-2）圖象關于點（2，0）中心對稱

f（x）圖象關于點（4，0）中心對稱，

即?f（x）=-f（8-x）.

所以?f（-4-x）=f（8-x），

故?函數f（x）的周期為12.

思考??對于函數f（x）圖象關于點（a，b）和點（c，d）對稱， 是否具有周期性呢？

由以上研究可知函數f（x）滿足

2b-f（2a-x）=2d-f（2c-x），

即?f（2a+x）=f（2c+x）+2b-2d，

若b≠d，則函數不能確定具有周期性，如f（x）=x，圖象關于點（0，0）和（1，1）中心對稱，但f（x）=x不是周期函數.

4.抽象復合函數f（ax+b）?（a≠0）?性質

（1）函數f（ax+b）是偶函數，則函數f（x）的圖象關于直線x=b對稱;

函數f（ax+b）是奇函數，則函數f（x）的圖象關于點（b，0）中心對稱.

（2）函數f（ax+b）圖象的對稱軸是x=m，則函數f（x）的圖象關于直線x=ma+b對稱;

函數f（ax+b）圖象關于點（m，0）中心對稱，則函數f（x）的圖象關于點（ma+b，0）中心對稱.

（3）函數f（ax+b）是周期為m的周期函數，則函數f（x）是周期為ma的周期函數.

（4）函數f（ax+b）圖象有兩條對稱軸x=m，x=n，則函數f（x）是周期為2（m-n）a的周期函數.

（5）函數f（ax+b）圖象有一個對稱中心?（m，0）?，一條對稱軸x=n，則函數f（x）是周期為4（m-n）a的周期函數.

（6）函數f（ax+b）圖象有兩個對稱中心?（m，0）?，（n，0），則函數f（x）是周期為2（m-n）a的周期函數.

5.應用

例1???設f（x）是定義在?R?上的奇函數，且f（x）的圖象關于直線x=?1?2?對稱，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=?.

解??由f（x）為奇函數，圖象關于直線x=?1?2?對稱，得

f（x）=-f（-x），f（x）=f（1-x），

f（1-x）+f（-x）=0，

令x=0，得?f（1）+f（0）=0，

因為?f（0）=0，

所以?f（1）=0，

同理?f（2）=f（3）=f（4）=f（5）=0，

所以?f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0.

例2???已知函數y=f?3x-?π?8??是偶函數，且f（x）=a?cos?2x+?sin?2x，則a=?.

解??由f?3x-?π?8??是偶函數，得

f?-3x-?π?8??=f?3x-?π?8??，

故?f（x）的對稱軸為x=-?π?8?，

所以?a?cos??2×?-?π?8???+?sin??2×?-?π?8

=±?a?2+1?，

解得?a=-1.

例3???設f（x）是定義域為?R?的奇函數，且?f（x+1）?=f（-x）.若f?-?1?3??=?1?3?，則f??5?3??=?.

解??從解析式看，f（x）是奇函數，

即?f（-x）=-f（x），

又?f（x+1）=f（-x），

所以?f（x+1）+f（x）=0，

即?x?1-x?2=1，f（x?1）+f（x?2）=0，

則?f（x）為周期函數，周期T=2，

所以?f??5?3??=f?2-?1?3??=f?-?1?3??=?1?3?.

從圖象看，f（x）是奇函數，

圖象關于（0，0）對稱，

f（x+1）=f（-x），

f（x）的圖象關于直線x=?1?2?對稱，

由相互對稱可知

對稱中心有（1，0），（2，0），（3，0），…，

對稱軸有x=?3?2?，x=?5?2?，…，

故?f?-?1?3??=f??4?3??=f??5?3??=?1?3?.

例4???設函數f（x）的定義域為?R?，f（x+1）為奇函數，f（x+2）為偶函數，當x∈[1，2]時，f（x）=ax?2+b，若f（0）+f（3）=6，則f??9?2??=?.

解??從解析式看，f（x+1）是奇函數，

f（x+1）=-f（-x+1），

即?f（x）=-f（2-x），

f（x）的圖象關于（1，0）中心對稱，

所以?f（0）=-f（2），f（1）=-f（1），

從而?f（1）=0，

故?f（0）=-4a-b，f（1）=a+b=0.

f（x+2）是偶函數，

f（-x+2）=f（x+2），

即?f（x）=f（4-x），

f（x）的圖象關于直線x=2對稱，

故?f（3）=f（1），

所以?-4a-b=6，a+b=0，

解得?a=-2，b=2，

所以?f（x）=-2x?2+2.

由上可得?f（4-x）+f（2-x）=0，

滿足?x?1-x?2=2，f（x?1）+f（x?2）=0，

f（x）為周期函數，周期T=4.

所以?f??9?2??=f?4+?1?2??=f??1?2

=-f?2-?1?2??=-f??3?2??=?5?2?.

從圖象看，f（x+1）是奇函數，

f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，

f（x+2）是偶函數，

f（x）的圖象關于直線x=2對稱.

由對稱性可知

（1，0），（3，0），（5，0），…為對稱中心;

x=2，x=4，x=6，…為對稱軸，

所以?f（0）=-f（2），f（3）=f（1）=0，

從而?f（x）=-2x?2+2，

點A關于（3，0）的對稱點B在區間[1，2]，

所以?f（4.5）=-f（6-4.5）=-f（1.5）=2.5.