用“坐標法”解向量題

朱俊鴻

【摘?要】??本文將運用“坐標法”，來解決與向量相結合的平面幾何題，力爭打破傳統的坐標法，從方法上，降低學生思考的難度，從而提高學生解決這類問題的正確率.

【關鍵詞】??坐標法;向量

在學習平面向量的時候，有一類題目很常見，就是將平面向量與平面幾何圖形相結合的題目，也就是“平面向量基本定理”與“平面向量的線性運算”相結合的應用，因為這類題目考察了學生對向量知識的綜合運用，也是高考中比較?？嫉念}目，而且常出現在選擇題和填空題中，有些學生對此類題目非常頭痛，除了傳統的方法，有沒有更容易理解，更快速的方法呢？本文將從坐標的角度入手，來求解這類題目.

1?方法初識

例1???在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則?EB??=（?）

（?A?）?3?4??AB??-?1?4??AC??.

（?B?）?1?4??AB??-?3?4??AC??.

（?C?）?3?4??AB??+?1?4??AC??.

（?D?）?1?4??AB??+?3?4??AC??.??（2018年全國卷Ⅰ）

解法1?傳統解法

因為?AD為中線，E為AD的中點，

所以??EB??=?ED??+?DB??=?1?2??AD??+?1?2??CB

=?1?2?×?1?2?（?AB??+?AC??）+?1?2?（?AB??-?AC??）

=?3?4??AB??-?1?4??AC??，

故選（?A?）.

解法2?坐標法+特殊值法

假設△ABC為等腰直角三角形，并設邊長為2.將△ABC放入直角坐標系xOy中，如圖2，可以得到各點的坐標：

A（0，0），B（2，0），C（0，2），D（1，1），E??1?2?，?1?2??，

于是題目轉化為

EB??=λ?AB??+μ?AC??，

只需要把λ，μ求出來就可以了.

又??EB??=??3?2?，-?1?2??，

AB??=（2，0），?AC??=（0，2），

于是有???3?2?=2λ，-?1?2?=2μ，

解得?λ=?3?4?，μ=-?1?4?，

故選（?A?）.

例2???在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若?AC??=?λ?AE???+μ?AF??，其中λ，μ∈?R?，則λ+μ=?.

解法1?傳統解法

由題意知??AC??=?AB??+?AD??，

AE??=?1?2??AB??+?AD??，?AF??=?AB??+?1?2??AD??，

AC???=λ?AE??+μ?AF

=??1?2?λ+μ??AB??+?λ+?1?2?μ??AD??，

于是有???1?2?λ+μ=1，λ+?1?2?μ=1，

解得?λ=?2?3?，μ=?2?3?，

所以?λ+μ=?4?3?.

解法2?坐標法+特殊值法

不妨設ABCD是邊長為2的正方形，如圖4建立坐標系xOy，得

A（0，0），B（2，0），C（2，2），E（1，2），F（2，1），

所以??AC??=（2，2），?AE??=（1，2），?AF??=（2，1）.

設?AC??=λ?AE??+μ?AF??，

于是??λ+2μ=2，2λ+μ=2，

解得?λ=?2?3?，μ=?2?3?，

所以?λ+μ=?4?3?.

2?再識方法

利用上面這種做法解題具有一定的局限性：如果題目里面規定了邊的長度，以及邊的夾角，就不能隨心所欲地取特殊圖形，需要根據題目條件來相應做題，下面再來看幾道例題，用坐標法如何解決.

例3???已知菱形ABCD的邊長為2，∠A=120?°?，E是BC邊上靠近B的三等分點，用?AC??和?BD??來表示?AE??為?.

解??可以建立如圖5所示的直角坐標系，其中，利用幾何的關系可以求得

E??8?3?，??3??3??.

同樣地，可得

AC??=（1，?3?），

BD??=（-3，?3?），?AE??=??5?3?，??3??3??.

設??AE??=λ?AC??+μ?BD??，

于是??λ-3μ=?5?3?，?3?λ+?3?μ=??3??3?，

解得?λ=?2?3?，μ=-?1?3?，

所以??AE??=?2?3??AC??-?1?3??BD??.

例4???在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，延長BE交AC于P，用?AC??和?AB??來表示?BP??為?.

分析??這道題目中，點P的位置無法確????圖6?定，如果要用傳統方法做，需要利用B，E，P三點共線來解決，而且其中的數量關系不好確定，不妨用坐標法來解決看看：

把△ABC看作等腰直角三角形，建立如圖6所示的直角坐標系，

設直角邊長為2，

易得?B（2，0），E??1?2?，?1?2??，

k??BE?=?0-?1?2??2-?1?2??=-?1?3?，

l??BE?：y=-?1?3?（x-2），

令x=0，得?y=?2?3?，

所以?P?0，?2?3??，

即?P是AC上的三等分點，

于是??BP??=?-2，?2?3??，

AB??=（2，0），?AC??=（0，2），

設?BP??=λ?AB??+μ?AC??，

于是??2λ=-2，2μ=?2?3?，

解得?λ=-1，μ=?1?3?，

所以??BP??=?AB??+?1?3??AC??.